Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Рязанский государственный радиотехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

практикум_3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

236.76 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Дистанционный курс «Математика для заочников» 1 семестр

Практикум 3. Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей

В данном практикуме будут рассмотрены примеры решения заданий №4, №5, №6, №7, №8, №9 контрольной работы.

1. Раскрытие неопределенности

Рассмотрим предел, в котором возникает ситуация неопределенности :

		lim f x		Pn	x
			lim					,
			lim		x			,
		x	x Q		x
				m
где Pn x , Qm x – многочлены степеней n, m соответственно:
P x a xn a xn 1 a xn 2 ... a							x a ,		a	0
n	0	1	2			n 1		n	0
Q	x b xm b xm 1		b xm 2		... b			x b	,	b 0.
m	0	1	2			m 1		m		0

В этом случае для раскрытия неопределенности необходимо выне-

сти за скобки в числителе и знаменателе дроби множитель xk ,

где k max m, n – наибольшее из степеней m, n . После вынесения сократить дробь на этот множитель и произвести оценку полученного предела, учиты-

вая, что функции

1 ,

, ...,

являются бесконечно-малыми функциями:

lim

0, ..., lim

0 .

x x

Пример 1. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):

lim

2 х х2 7х3

2х 15х3

Решение

В пределе имеем неопределенность , многочлены

P (x) 7х3 х2 х 2 ,

Q (x) 15х3 2x .

Выносим

за

скобки

в числителе и

знаменателе

дроби

множитель x3

(3 max 3, 3 ). Получаем

х3 2 x3

2 х х2

7х3

1х2

2 x3 1х2 1x

lim

2х 15х

2 х2 15

х2 15

Практикум 3. Вычисление пределов функций1 . Раскрытие неопределенностей

lim 2

3 lim 1

lim

lim 7

0 0 7

lim 2

lim15

0 15

Пример 2. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):

lim

2х3 7х2 x4

3х5 4х4 7

Решение

В этом пределе P (x) x4

2х3 7х2

, Q (x) 3х5

4х4 7 .

Выносим

за

скобки

числителе

и знаменателе

дроби

множитель x5

( 5 max

5 ). Тогда получаем

7 х3 1x

2х3 7х2 x4

lim

х5 2 x2

lim

2 x2 7 х3

lim

3х

4х

х5 3

4 х 7 х5

3 4

х 7 х5

lim

2 lim

lim

0 0 0

0 .

lim3 lim 4

lim 7

3 0 0

Пример 3. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):

lim

2х3 7х2 x4

3х5 4х4 7

Решение

Вычисляем предел

х3 5 3 x 4 x3

5х3 3х2 4

5 3 х

4 x3

lim

2 х2 3 х

х3 2

х2 3

3х

х х3 1х3

х 1

lim5

lim 3

lim 4

5 0 0

lim

3 lim

lim

0 0 0

Вообще, можно доказать, что

a / b , если n m,

P (x)

a xn

a xn 1

a xn 2

... a

x a

lim

n 1

если n m,

b xm 1

b xm 2

x b

x Q (x)

x b xm

... b

m 1

если n m.

Практикум 3. Вычисление пределов функций2 . Раскрытие неопределенностей

2. Раскрытие неопределенности 00

Рассмотрим предел, в котором возникает ситуация неопределенности 0 0 :

				Pn x			0
		lim						( x0 ),
		lim		Qm	x		0	( x0 ),
		x x0		Qm	x		0
		x x0
где Pn x , Qm x – многочлены степеней n, m соответственно:
Pn x a0 xn a1xn 1					a2 xn 2			... an 1x an ,		a0 0
Q	x b xm b xm 1 b xm 2 ... b								x b	, b 0.
m	0		1			2		m 1	m	0
Многочлены Pn x , Qm x таковы, что
		Pn x0 Qm x0 0 .
Для раскрытия неопределенности 0 / 0 , возникающей в пределе, необхо-
димо выделить в многочленах Pn (x),					Qm (x) линейный множитель
						x x0

(он и дает неопределенность!). После сокращения числителя и знаменателя на множитель x x0 , необходимо снова оценить предел и при возникновении не-

определенности 0 / 0 повторно применить этот способ.

Теоретически предлагаемая схема выглядит так:

Pn x

Pn x0

n 1 x x x0

n 1

lim

... ,

Q x

x x

x x0

m 1

x x0

m 1

m 0

где

n 1 x ,

m 1 x

– многочлены степеней n 1, m 1 соответственно.

При выделении общего линейного множителя x x0

руководствуются тем

фактом, что так как при x x0

многочлены Pn x , Qm x обращаются в нуль,

то они без остатка делятся на x x0

(например, столбиком или при помощи

схемы Безу), откуда и получаются многочлены

n 1 x ,

m 1 x .

Пример 4. Вычислить предел (раскрыть неопределенность 0 / 0 ):

lim

x3 8

x3 4x

Решение

x 2

0 / 0 ,

В пределе имеем неопределенность

так как многочлены в точке

x0 2 обращаются в нуль:

x x3 8 , P

2 23 8 0

x x3 4x , Q

2 23 4 2 0 .

Разложив многочлены на множители по формулам сокращенного умножения, выделим общий множитель x 2 :

P3 x x3 8 x 2 x2 2x 4 ,

Практикум 3. Вычисление пределов функций3 . Раскрытие неопределенностей

Q3 x x3 4x x x2 4 x x 2 x 2

После сокращения на множитель x 2 снимаем неопределенность:

x3 8

x 2 x2 2x 4

2x 4

lim

x x 2 x 2

x 2

lim x2 lim 2x lim 4

4 4 4

x 2

2 4

2 .

lim x lim x 2

x 2

Пример 5. Вычислить предел (раскрыть неопределенность 0 / 0 ):

lim

3x4 4x3 5x 2

x3 1

Решение

x 1

3x4 4x3 5x 2

Оценивая предел lim

, получаем неопределенность

x3 1

3x4 4x3 5x 2

x 1

lim

3 4 5 2

1 1

x 1

Значит,

числитель P

x 3x4

4x3

5x 2

и знаменатель Q

x x3 1

делятся на линейный множитель x 1.

Проводя деление столбиком, получим

(знаменатель x3 1 раскладываем по формуле разности кубов):

3x4 4x3 5x 2

x 1

3x4 3x3

3x3 7x2 7x 2

7x3 5x

7x3 7x2

7x2 5x

7x2 7x

2x 2

x 1

7x 2

lim 3x4 4x3

5x 2 lim

3x3

7x2

lim 3x3

7x2 7x 2 19 .

x 1

x3 1

x 1

x2 x 1

Пример 6. Вычислить предел (раскрыть неопределенность 0 / 0 ):

lim

x4 4x3

x2 12x 12

x3 5x2 8x 4

х 2

Решение

Выделяем в числителе и знаменателе дроби множитель x 2 (делим многочлены на x 2 ):

Практикум 3. Вычисление пределов функций4 . Раскрытие неопределенностей

4x3 x2 12x 12

x3 2x2 3x 6 x 2

lim

x3 5x2 8x 4

x2 3x 2

х 2

lim

x3 2x2 3x 6

x2 3x 2

х 2

x3 2x2 3x 6

В полученном пределе lim

имеем снова неопределенность

x2 3x 2

х 2

0 / 0 . Выделяя повторно множитель x 2 , получим

2x2 3x 6

x2 3 x 2

x2 3

lim

3x 2

x 1 x 2

x 1

х 2

Рассмотрим далее предел вида

f x

lim

( x0

x x0

g x

в котором функции

f x ,

g x

обращаются в нуль в точке x x0 :

f x0 g x0 0 .

Данный предел отличается от рассмотренного выше предела тем, что

функции

f x , g x в общем случае не являются многочленами от переменной

x , но содержат корни различных степеней. Для раскрытия неопределенности0 / 0 , как и выше, необходимо выделить в числителе и знаменателе линейный

множитель x x0 , дающий неопределенность.

На практике выделение множителя x x0 можно проводить различными

методами: сопряженных выражений, замены переменной или разложением на множители. Рассмотрим на практике эти методы.

Пример 7. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность 0 / 0 ):

			lim			x 4 1
						x2 9
Решение			x 3

В пределе lim	x 4 1	имеем неопределенность 0 / 0 , так как
	x2 9
x 3
	f x	x 4 1,			f 3 3 4 1 0 ,
	g x x2 9 x 3 x 3 , g 3 3 2 9 0 .
Применим здесь метод сопряженных выражений. Умножим и разделим
числитель и знаменатель функции на						x 4 1 – выражение, сопряженное к
x 4 1 (вообще, выражения			a	b ,		a b называют сопряженными, их
произведение a	b a		b a b ). Получим

Практикум 3. Вычисление пределов функций5 . Раскрытие неопределенностей

x 4

x 4 1

lim

x 3 x 3

x 4 1

x 3 x 3

x 4 1

x 3

lim

x 3

lim

x 3 x 3

x 4 1

x 3

x 3 x 3

lim x

3 lim

x 4

6 2

x 3

Из решения примера видно, что применив метод сопряженных выражений,

мы избавились сначала от корня в числителе:

x 4 1

x 4 2 12 x 4 1 x 3 ,

выделив множитель x 3 , и сократив на него, избавились от неопределенности.

Пример 8. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность 0 / 0 ):

lim

x2 1 1

x2 2 2

Решение

x 0

Воспользуемся методом сопряженных выражений для выделения множи-

теля x (он и дает неопределенность). С этой целью умножим числитель и зна-

менатель дроби на выражение x2 1 1, сопряженное к выражению

x2 1 1:

1 1

x2 1 1

lim

x2 2 2

x2 1 1

x2 2 2

x2 1 1

x 0

x2 2 2

x 0

lim	x2 1 1	lim	x2	.
	x2 2 2 x2 1 1		x2 2 2 x2 1 1
x 0		x 0
Видно, что умножение числителя и знаменателя на выражение x2 1 1
привело к выделению множителя			x2 только в числителе. Поэтому применим

метод сопряженных выражений к знаменателю (умножим и разделим на выра-

жение

x2 2

– сопряженное к знаменателю):

x2 2 2

lim

x2 2 2

lim

x2 2 2

x2 1 1

x2 2 2

x2 1 1

x 0

x2 2 2

x 0

x2 2 2

lim

x2 2 2

lim

2 2

2 .

1 1

x 0

Практикум 3. Вычисление пределов функций6 . Раскрытие неопределенностей

3. Первый замечательный предел. Следствия из первого замечательного предела

Как нам известно, первый замечательный предел имеет вид

lim sin x 1 (1)

х 0 x

и он позволяет раскрывать неопределенность 0 0 в пределе, в котором при-

сутствуют тригонометрические функции. Наряду с формулой (1) используются также следующие формулы (следствия из первого замечательного предела)

lim tgx

1, lim arcsin x 1,

lim arctgx

х 0 x

х 0

На практике при решении примеров применяются следующие формулы

lim

sin x

1, lim

arcsin x

1, lim

tg x

lim

arctg x

x 0

или соответствующие им эквивалентности (здесь всюду x 0 )

sin x ~ x ,

arcsin x ~ x ,

(2)

x ~ x

arctg x ~ x

Заметим, что при решении задач часто приходится пользоваться следующей формулой тригонометрии

1 cos 2sin2 2 .

Пример 9. Вычислить предел (раскрыть неопределенность 0 0 ):

lim sin 4x

х 0 tg3x

Решение

Так как в точке x 0 : sin 0 0 , tg0 0 , то в пределе имеем неопределенность вида 0 0 . Для решения предела воспользуемся эквивалентностями (2): sin 4x ~ 4x , так как x 4x 0 при x 0 ,

tg3x ~ 3x , так как x 3x 0 при

x 0 .

В результате получим lim

sin 4x

lim

tg3x

х 0

Пример 10. Вычислить предел (раскрыть неопределенность 0 0 ):

lim

arcsin tg6x

х 0

1 cos3x

Решение

Практикум 3. Вычисление пределов функций7 . Раскрытие неопределенностей

Так как в точке x 0 :

arcsin tg 6 0

0 ,

arcsin tg

arcsin 0

1 cos 3 0

1 cos0 1 1 0 ,

то в пределе имеем неопределенность вида 0 0 .

Применяя эквивалентности (2), получим

arcsin

tg6x ~ tg6x ~ 6x , так как x 6x 0

при x 0 ,

1 cos3x 2sin

3x 2

9x2

при x 0

~ 2

В результате получим lim

arcsin tg6x

lim

1 cos3x

х 0

х 0 9x2

х 0

Пример 11. Вычислить предел (раскрыть неопределенность 0 0 ):

lim

tgx sin x

x(1 cos 4x)

Решение

Упростим числитель и знаменатель (выделим синусы), чтобы привести к

эквивалентностям (2):

2sin2 x / 2

sin x

cos x

tgx sin x

sin x sin x

1 sin x

sin x

cos x

1 cos 4x 2sin2 2x .

Тогда применяя эквивалентности (2), получим

tgx sin x

sin x

2sin2 x / 2

sin x sin2

x / 2

cos x

lim

x(1 cos 4x)

2sin

x sin

cos x

x 0

lim

x x / 2 2

lim

x 2x 2 cos x

x 0

0 16cos x

x 0 cos x

Практикум 3. Вычисление пределов функций8 . Раскрытие неопределенностей

4. Второй замечательный предел.
Раскрытие неопределенности				1
Раскрытие неопределенности				1
Второй замечательный предел имеет вид
	1	x	e
lim 1	x		e
x	x

Имеет место более общая формула

x 0

e ,

lim 1

(3)

которая применяется для вычисления пределов вида

lim f x g x

x x0

lim g x . Неопре-

(их называют “пределами типа e ”), причем lim f x 1,

x x0

деленность 1

есть один из видов степенно-показательных неопределенностей.

Пример 12. Вычислить предел (раскрыть неопределенность 1

x 1

lim

x x

Решение
Первоначально оцениваем предел и получаем неопределенность	1	.
Для решения “пределов типа e ” необходимо выделить функцию	x

( lim x 0 ) и затем “подогнать” предел под формулу (3). В нашем примере

x x0

x 1

приравняем дробь

к выражению 1

x , откуда и найдем x :

x 1

1 x .

x 1

Отсюда x

, причем

lim

. При-

x 1

x x

меняя формулу (3), получим

x x

x 1

x x

1 x

lim

x x 1

x 0,

После выделения числа e по формуле (3) в последнем пределе необходимо

вернуться к переменной x , учитывая, что x

x 1

lim e x x

2 x

lim e

x 1

lim e

x 1

x 0,

Пример 13. Вычислить предел (раскрыть неопределенность

Практикум 3. Вычисление пределов функций9 . Раскрытие неопределенностей

a x e x

3x 4

lim

x2 4

x 8

Решение

x 2

Имеем

3x 4 1 x ,

x 8

3x 4

2x 4

lim

x 8

x 2

lim x lim

2 x 2

x 2

x 8

2 x 2

x2 4

lim

1 x

lim e x 8

x2 4

x 0,

x 2

2 x 2

x 2

lim

lim e

x 8

x 2 x 2

ex 2 x 8 x 2

10 4

x 2

5. Следствия из второго замечательного предела

На основании формулы (3) можно непосредственно доказать следующие

пределы ( a 0 , a 1):
lim	loga 1 x	loga e , lim	ln 1 x	1	,	(4)
	x		x
x 0		x 0

lim	a x 1	ln a ,	lim	e x 1	1
	x			x
x 0			x 0

и соответствующие им эквивалентности (следствия из формул (4), (5)) loga 1 x loga e x ln1a x при x 0 ,

ln 1 x x при x 0 ,

1 ln a x при x 0 ,

1 x при x 0 .

Рассмотрим примеры на применение формул (6) – (9).

Пример 14. Вычислить предел (раскрыть неопределенность 00 )

lim	esin x 1	.
	ln 1 2 x
x 0

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Практикум 3. Вычисление пределов функций10 . Раскрытие неопределенностей

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.09.2019221.7 Кб3практика 5.doc
#
15.04.2015260.8 Кб23Практикум 2.pdf
#
15.04.2015211.14 Кб66Практикум 3.pdf
#
15.04.2015312.84 Кб100Практикум 41.pdf
#
15.04.2015172.38 Кб14практикум_2.pdf
#
15.04.2015236.76 Кб14практикум_3.pdf
#
16.08.2019159.74 Кб4Преддипломная практика.doc
#
15.04.201560.93 Кб17Предлагаю Видеоуроки по программе Solid Works.doc
#
15.04.2015931.84 Кб350Приложение с ответами ко всем вопросам)).doc
#
15.04.2015243.71 Кб32ПРИМЕР_ПОЯСНИТЕЛЬНОЙ_ЗАПИСКИ.doc
#
16.04.201978.79 Кб2програм.docx