практикум_2

1

Дистанционный курс «Математика для заочников» 1 семестр

Практикум №2. Вычисление пределов числовых последовательностей

В данном практикуме рассматриваются примеры (аналогичные заданиям №2, №3 из контрольной работы) по вычислению пределов числовых последовательностей. Рассмотрим ситуацию, когда в пределе

lim an

n bn

возникает неопределенность вида . Метод раскрытие данной ситуации неопределенности непосредственно зависит от того, какой вид имеют общие

1. Предположим сначала, что числовые последовательности an , bn таковы, что их общие члены an , bn есть многочлены степеней m, k соответственно относительно натуральной переменной n :

an cmnm cm 1nm 1 ... c1n c0 , cm 0 bn dk nk dk 1nk 1 ... d1n d0 , dk 0.

В этом случае для раскрытия неопределенности необходимо выне-

сти за скобки в числителе и знаменателе дроби общий множитель nl ,

где l max m, k – наибольшее из степеней m, k . После вынесения сократить дробь на этот множитель и произвести оценку полученного предела, учиты-

Решение

Впределе имеем неопределенность , числовые последовательности

an , bn заданы общими членами (многочленами относительно n )

Практикум №2. Вычисление пределов числовых последовательностей

2

an n3 n2 2n, bn 2n3 4n 1.

Решение

Впределе имеем неопределенность , числовые последовательности

an , bn заданы общими членами (многочленами относительно n )

Практикум №2. Вычисление пределов числовых последовательностей

2. Предположим теперь, что числовые последовательности an , bn таковы, что их общие члены an , bn задаются при помощи факториалов от натураль-

ной переменной n .

Напомним, что факториалом n! натурального числа n называется произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n :

n! 1 2 ... n ,

1! 1, 2! 1 2 2, 3! 1 2 3 6, ...

Замечание. Для определенности считают, что 0! 1.

При решении задач будем пользоваться следующим свойством факториала:

n 1 ! n! n 1 ,

n 2 ! n 1 ! n 2 n! n 1 n 2 .

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 3. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):

Затем вынесем за скобки общий множитель n 1 !, сократим на него дробь и запишем ответ:

Практикум №2. Вычисление пределов числовых последовательностей

знаменателе дроби общий множитель n 1 ! – факториал с наименьшим номером. Для этого используем свойства факториала:

Вполученном пределе вновь возникает неопределенность . Числитель

изнаменатель дроби есть многочлены относительно переменной n . Выносим за

скобки общий множитель n2 (см. пункт 1 данного практикума), сокращаем на него и получаем ответ

3. Пусть обе числовые последовательности an , bn таковы, что их общие члены an , bn содержат показательные выражения вида

cn c 0, c 1 .

Для раскрытия неопределенности рекомендуется в числителе и знаменателе дроби вынести общим множителем показательное выражение

d n d 0, d 1 ,

где d есть наибольшее из всех оснований показательных выражений.

Практикум №2. Вычисление пределов числовых последовательностей

5

После вынесения выражения d n и сокращения на него воспользоваться действиями над сходящимися последовательностями. При этом учесть, что в пределе возникнут бесконечно малые последовательности.

Пример 5. Вычислить предел (раскрыть неопределенность

lim 3n 1 2n

n 3n 2n 1

Решение

Для раскрытия неопределенности вынесем в числителе и знаменателе

дроби общий множитель

3n ,

который является показательным выражением с наибольшим основанием из оснований 2 и 3:

Далее учитываем (см. лекция №2), что числовая последовательность с общим членом

Практикум №2. Вычисление пределов числовых последовательностей

6

Задания для самостоятельной работы

Вычислить пределы числовых последовательностей (раскрыть неопределенность ).

Практикум №2. Вычисление пределов числовых последовательностей