Практикум 41

11

ординат, поэтому математическое ожидание такой случайной величины равно 0.

Дисперсию будем вычислять по формуле:

Задача 11. Сколько игральных костей необходимо бросить для того, чтобы математическое ожидание числа костей, на которых выпало два очка, равнялось шести?

Решение. Пусть ξ – число костей, на которых выпало два очка. Эта случайная величина имеет биномиальное распределение, так как вероятность того, что при n испытаниях она примет значение m вычисляется по формуле Бернулли. Вероятность выпа-

дения двух очков при одном бросании p = . Математическое

ожидание случайной величины, имеющей биномиальное рас-

пределение равно M[ξ] = np, поэтому n∙ = 6, отсюда получа-

ем, что n = 36.

Задача 12. Случайная величина ξ подчинена нормальному закону распределения с параметрами M[ξ] = 2,σ[ξ] = 1. Найти

Практикум №4 «Случайные величины»

12

P(0 < ξ < 3).

Решение. Так как случайная величина ξ имеет нормальное распределение, то вероятность попадания данной случайной величины на промежуток (α;β) вычисляется по формуле:

Лапласа, значения которой можно найти в таблице.

Задача 13. Рост взрослого мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание этой случайной величины M[ξ] = 175, σ[ξ] = 6.

Найти вероятность того, что хотя бы один из случайно выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180.

Решение. Пусть случайная величина ξ – рост взрослого мужчины, она имеет нормальное распределение, можно вычислить вероятность попадания этой случайной величины на заданный промежуток по формуле, приведенной в задаче 11, тогда

= Φ −Φ − = 2∙Φ(0,83) = 2∙0,2967 = 0,5934 ≈ 0,6

Пусть событие ={мужчина будет иметь рост от 170 до 180}, вероятность появления данного события в отдельном испытании равна 0,6. Найдем вероятность того, что в пяти испытаниях событие ни разу не произошло, эту вероятность вычислим по формуле Бернулли: P , = C (0,6) (1 −0,6) = (0,4) =

= 0,01024.

Так как событие, состоящее в том, что хотя бы один из пяти мужчин имеет рост от 170 до 180, противоположно событию,

Практикум №4 «Случайные величины»

13

состоящему в том, что из пяти мужчин ни один не имеет рост от 170 до 180, то искомая вероятность равна: 1-0,01024≈ 0,99 .

Задача 14. Закон распределения случайной величины ξ задан с помощью функции распределения:

0, x ≤ 0 F(x) = x ,0 < x ≤ 1 1, x > 1

Найти начальные и центральные моменты первых трех порядков данной случайной величины.

Решение. Прежде всего, найдем плотность распределения данной случайной величины, так как f(x) = F (x), то

Начальные моменты k-го порядка находятся по формуле:

x2

=2 3 | = 3

Центральные моменты k-го порядка находятся по формуле:

μ = ∫ x− m f(x)dx.

Так как m = α = , то

Практикум №4 «Случайные величины»

Задача 15. Случайная величина ξ имеет нормальное распределение, плотность распределения вероятностей задает функцией:

f(x) = γe

Найти математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение случайной величины и коэффициент γ.

Решение. Воспользуемся выделением полного квадрата для квадратного трехчлена, чтобы преобразовать показатель данной функции:

−2x +8x −10 = −2(x −4x+5) = −2((x −2) −2 +5) =

Практикум №4 «Случайные величины»

15

M[ξ] = m = 2, 2σ = σ = σ = ;

γ∙e = √ = √ = γ = e .

Задачи для самостоятельного решения.

1.Подбрасываются две симметричные монеты. Рассматривается случайная величина ξ – число выпавших гербов. Составить ряд распределения данной случайной величины, найти функцию распределения и построить ее график.

2.В коробке 7 карандашей, из которых 4 красные. Наудачу извлекают 3 карандаша. Составить ряд распределения случайной величины ξ – числа красных карандашей среди извлеченных, найти ее математическое ожидание и дисперсию.

3.Закон распределения случайной величины ξ задан с помощью функции распределения:

Найти вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (1,2).

4.Найти математическое ожидание случайной величины η=8ξ+5, если известно, что M[ξ] = 1,5.

5.Плотность распределения вероятностей случайной ве-

личины ξ задана функцией:

0, x ≤ 0 f(x) = 3x , 0 < x ≤ 1

0, x > 1

Найти математическое ожидание случайной величины.

Практикум №4 «Случайные величины»

16

6.Случайная величина ξ распределена по нормальному за-

кону, причем M[ξ] = 10, D[ξ] = 4. Найти P(12 < ξ < 14).

7.Дискретная случайная величина может принимать толь-

деления случайной величины, если M[ξ] = 3,5; D[ξ] = 0,25 .

8.Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [3;8]. Записать аналитическое выражение для плотности распределения, найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины.

Практикум №4 «Случайные величины»