мат_модели_logistics
.pdf
2)I2 =130 +100 -145 = 85 т. P(I2 ) = 0,3× 0,4 = 0,12 ,
3)I3 =130 +100 -160 = 70 т. P(I3 ) = 0,3× 0,4 = 0,12 ,
4)I4 =130 +100 - 210 = 20 т. P(I4 ) = 0,3× 0,1 = 0,03 ,
5)I5 =130 +150 - 70 = 210 т. P(I5 ) = 0,4 × 0,1 = 0,04 ,
6)I6 =130 +150 -145 =135 т. P(I6 ) = 0,4 × 0,4 = 0,16 ,
7)I7 =130 +150 -160 =120 т. P(I7 ) = 0,4 × 0,4 = 0,16 ,
8)I8 =130 +150 - 210 = 70 т. P(I7 ) = 0,4 ×0,4 = 0,16 ,
9)I9 =130 + 200 - 70 = 260 т. P(I9 ) = 0,3×0,1 = 0,03 ,
10)I10 =130 + 200 -145 =185 т. P(I10 ) = 0,3×0,4 = 0,12 ,
11)I11 =130 + 200 -160 =170 т. P(I11 ) = 0,3×0,4 = 0,12 ,
12) |
I12 =130 + 200 - 210 =120 т. |
P(I12 ) = 0,3× 0,1 = 0,03 , |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Imin = I4 |
= 20 т., |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Imax = I9 = 250 т. |
|
|
|
|
|||||
Составляем вариационный ряд (табл. 5.4). |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 5.4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
20 |
70 |
85 |
120 |
|
135 |
|
160 |
|
170 |
185 |
210 |
260 |
P(I) |
|
0,03 |
0,16 |
0,12 |
0,19 |
|
0,16 |
|
0,03 |
|
0,12 |
0,12 |
0,4 |
0,03 |
|
|
|
|
|
åPi = 1 |
|
|
|
|
|||||
Формируем таблицу интегральной функции распределения складских запасов грузов и находим в таблице значения интеграль- ной функции распределения, между которыми попадает заданная
доверительная вероятность |
[P] = 0,95 , |
[P] = 0,95Î[0,93;0,97] |
(табл. 5.5):
I* = {P(I £ I* ) = 0,95}=185 + 0,95 - 0,93 (210 -185) »198т. 0,97 - 0,93
Для срока хранения грузов на складе имеем
τ |
хр |
= |
I* |
= |
198 |
=1,32 суток. |
||
|
|
|
||||||
M éQп ù |
150 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ë û |
|
|
|
|
|
80
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 5.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайный |
|
|
Вероятность |
|
Интегральная |
|
|
||||||||||||
№ запаса |
|
|
|
функция рас- |
Примечание |
|
||||||||||||||
запас грузов |
|
|
запаса грузов |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пределения |
|
|
|||
1 |
20 |
|
|
|
|
|
0,03 |
|
|
|
|
|
|
0,03 |
|
|
||||
2 |
70 |
|
|
|
|
|
0,16 |
|
|
|
|
|
|
0,19 |
|
|
||||
3 |
85 |
|
|
|
|
|
0,12 |
|
|
|
|
|
|
0,31 |
|
|
||||
4 |
120 |
|
|
|
|
|
0,19 |
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
||||
5 |
195 |
|
|
|
|
|
0,16 |
|
|
|
|
|
|
0,66 |
|
|
||||
6 |
160 |
|
|
|
|
|
0,03 |
|
|
|
|
|
|
0,69 |
|
|
||||
7 |
170 |
|
|
|
|
|
0,12 |
|
|
|
|
|
|
0,81 |
|
|
||||
8 |
185 |
|
|
|
|
|
0,12 |
|
|
|
|
|
|
0,93 |
искомый |
|
||||
9 |
210 |
|
|
|
|
|
0,04 |
|
|
|
|
|
|
0,97 |
интервал |
|
||||
10 |
260 |
|
|
|
|
|
0,03 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
Годовой грузопоток прибытия грузов на склад при работе склада |
||||||||||||||||||||
в году T = 260 суток, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
é |
п |
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qг = M ëQ |
|
|
ûT =150 × 260 = 39000 т/год. |
|
|
||||||||||||||
Оборачиваемость грузов на складе |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
η = |
|
Т |
|
= |
260 |
|
» 200 |
1 |
. |
|
|
||||||||
|
τ хр |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1,32 |
|
|
|
|
|
год |
|
|
|||||||
Коэффициент неравномерности прибытия грузов: |
|
|
||||||||||||||||||
|
K |
|
|
= |
|
Qп |
|
= |
|
200 |
=1,33 . |
|
|
|||||||
|
п |
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
M |
|
éQп ù |
150 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент неравномерности выдачи грузов со склада:
K |
|
= |
Qв |
|
= |
210 |
=1,4 . |
|
в |
max |
|
|
|||||
M éQв ù |
150 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ë |
û |
|
|
|
|
Для определения расчетного складского запаса и обоснования установления потребной вместимости склада применяют также метод имитационного моделирования складов на ЭВМ. Он заключается в том, что многократно имитируют прибытие и отправление со склада различных транспортных партий грузов, объемы и время прибытия и отправления которых подчиняются некоторым известным вероятност- ным закономерностям. В результате в памяти ЭВМ формируется рас- пределение имеющихся складских запасов, по которому также на ос-
81
нове заданной доверительной вероятности можно определить расчет- ный складской запас или емкость склада.
ЛЕКЦИЯ 10
5.7. Решение задачи определения вместимости контейнерного терминала с использованием модели «гибели и рождения»
Во многих случаях для определения такой важной характери- стики как вместимость грузообрабатывающего предприятия (склад, терминал, логистический центр) используют математический аппа- рат систем массового обслуживания.
Контейнерный терминал рассматривается как открытая система массового обслуживания (СМО) с ожиданием рис. 5.4.
входящий |
|
|
|
выходящий |
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
накопитель |
|
|||
поток |
|
поток |
||
|
||||
|
|
|
|
|
блок
обслуживания
Р и с. 5.4. Открытая система массового обслуживания
Терминал рассматривается как многоканальная СМО, причем
под блоком обслуживания понимается место размещения некоторой транспортной партии, в частности, контейнеров. Состояние СМО с ожиданием определяется числом контейнеров, находящихся в зоне хранения (целые неотрицательные числа). Процесс перехода из со- стояния в состояние является марковским процессом.
При этом следует учитывать, что изменение состояния имеет две причины:
1)поступление новых контейнеров из входящего потока;
2)уход обслуженных контейнеров из зоны хранения.
Изменение состояния по первой причине обладает Марковским
свойством, поскольку входящий поток является простейшим. Посту-
82
пление контейнеров в зону хранения на любом отрезке времени не зависит от того, сколько контейнеров поступило до начального мо- мента этого отрезка. С другой стороны, если в какой-то момент вре- мени контейнер покидает зону хранения, то вероятность окончания обслуживания не зависит от того, сколько длилось хранение. Таким образом, изменение состояния СМО по второй причине также обла- дает Марковским свойством. В связи с этим можно определить веро- ятности переходов. Переход из состояния q в состояние q +1 за вре-
мя t связан с поступлением одной партии груза (одного контейнера) в систему. Эта вероятность определяется законом Пуассона
Pк (t) = |
(λt)k |
e(−λt) |
(5.20) |
|
k! |
||||
|
|
|
||
и при k = 1 она равна |
|
|
|
|
Pк (t) = λte(−λt) , |
(5.21) |
|||
где λ – интенсивность входящего потока.
Длительность обслуживания распределена по экспоненциально-
му закону с интенсивностью обслуживания μ : |
|
P(tобсл >1) = ∞òμe−μt dt = e−μt . |
(5.22) |
t |
|
Если k – число занятых мест зоны хранения в q-ом состоянии, а п – общее число мест в зоне хранения, то число занятых мест зоны хранения при q £ n равно q и при q ³ n равно n .
Вероятность того, что за время t ни одно из занятых мест не ос- вободилось, равна
P0 (t) = (e−μt )k . (5.23)
Следовательно, для q £ n имеем
83
Pq,q+1 (t) = λte−λt (e−μt )q . |
(5.24) |
Учитывая известное разложение функции ex , имеем |
|
e−λt =1- λt + o(t), |
(5.25) |
(e−μt )q = e−qμt =1- qμt + o(t). |
(5.26) |
Тогда |
|
Pq,q+1 (t) = λt (1- λt + o(t))(1- qμt + o(t)) = λt + o(t). |
(5.27) |
Аналогично, при q ³ n имеем |
|
Pq,q+1 (t) = λt (1- λt + o(t))(1- nμt + o(t)) = λt + o(t), |
|
Pq,q−1(t) = nμt + o(t). |
(5.28) |
Переход q → q −1 связан с отсутствием поступлений контейне-
ров в зону хранения и уходом из зоны хранения одного контейнера. При q £ n имеем
Pq,q−1 (t) = e−λt (e−μt )q |
−1 Cq1 μte−μt = qμt + o(t) , |
(5.29) |
Аналогично, при q ³ n : Pq,q−1 |
(t) = nμt + o(t) . |
|
Таким образом, функционирование рассматриваемой СМО опи- сывается процессом «гибели и рождения». При этом
ìkμ, при k £ n,
λk = λ, μk = íînμ, при k ³ n.
Граф состояний такой системы имеет вид, представленный на
(рис. 5.5).
Здесь: q0 – зона хранения терминала пуста;
84
q1 – в зоне хранения находится один контейнер; q2 – в зоне хранения находится два контейнера;
…………………………………………………………
qn – в зоне хранения находится n контейнеров (свободных мест
нет).
λ |
λ |
λ |
λ |
λ |
λ |
q0 |
q1 |
q2 |
qk |
|
qn |
μ |
2μ |
3μ |
kμ |
|
nμ |
Ри с. 5.5. Граф состояний процессов «гибели-рождения»
Всоответствии с теорией массового обслуживания финальные вероятности в процессах «гибели и рождения» находятся из соотно- шений:
|
|
|
|
|
ì |
P = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
∞ |
|
|
λ λ ...λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
1+ å |
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
μ μ |
...μ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.30) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ0λ1...λj−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ïP = P |
|
, |
|
|
j ³1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
μ μ |
|
...μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ï |
j |
|
|
0 |
|
2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
После подстановки λk и μk в (5.30) получим финальные вероят- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ности при k £ n : |
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
λk |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
P(q |
|
) = |
× |
|
|
|
|
|
|
|
×...× |
= |
|
|
|
|
P , |
|
(5.31) |
||||||||||||||
|
|
|
kμ |
|
(k -1)μ |
μ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μk k! o |
|
|
|||||||||||||||||||
а также при k ³ n : |
λ |
|
|
λ |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
λk |
|
|
|||||
P(q |
|
) = |
×... × |
|
× |
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
×...× |
= |
|
P . |
(5.32) |
|||||||||||||||
|
nμ |
nμ |
|
|
|
(n -1)μ |
μ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
nμ |
|
|
|
|
|
|
|
μk n!k o |
|
||||||||||||||||||
Так как процесс обслуживания заявок в рассматриваемом случае представляет собой пребывание груза в зоне хранения в течение
|
|
|
|
1 |
. |
|
среднего времени τ |
хр , то интенсивность выходного потока μ = |
|||||
|
|
|||||
|
|
|
τ хр |
|||
Вероятность того, что в зоне хранения терминала будет находиться k партий груза (k < n), равна:
85
|
|
|
P(qk ) |
= |
|
λkτ |
хрk |
|
P(q0 ) . |
|
|
|
|
|
|
(5.33) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вероятность того, что зона хранения груза будет заполнена пол- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ностью: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λnτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
P(qn ) |
= |
|
хрn |
|
P(q0 ) . |
|
|
|
|
|
|
(5.34) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вероятность того, что зона хранения грузов заполнена не полно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
стью, и вновь прибывшая партия может быть обслужена, равна: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
P(k < n) |
=1- |
|
λkτ |
хрk |
P(q0 ) . |
|
|
|
|
|
|
(5.35) |
|||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как åP(qk ) =1, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ö−1 |
||
P(q0 ) = |
æ |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
1 |
|
n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ç1 |
+ λτхр + |
|
|
λ τхр |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
λ τхр |
+ ... + |
|
|
λ τхр |
÷ |
= |
||||||||||||
2! |
|
|
3! |
n!! |
|||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.36) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ å |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Здесь I = λτхр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
– средний запас грузов в зоне терминала. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Стоящее в знаменателе (5.36) выражение при достаточно боль-
шом n представляет собой ряд Маклорена для функции eI , поэтому
приближенно можно считать
P(q |
) = |
1 |
, |
(5.37) |
|
eI |
|||||
0 |
|
|
|
||
P(q |
) = |
1 |
, |
(5.38) |
|
eI |
|||||
0 |
|
|
|
Для контейнерных терминалов интенсивность входящего потока определяется достаточно большим числом – количеством поступаю- щих контейнеров λ =150 ÷ 300 , и формула Пуассона (5.38) аппрок-
симируется формулой нормального распределения с параметрами
σk = 
I и mk = I :
P(qk ) = |
|
1 |
|
e |
− |
(k −I )2 |
|
|
|
|
|
2I . |
(5.39) |
||
|
|
|
|
||||
2π I |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
По этой формуле были построены графики распределений коли-
86
честв фактически хранящихся контейнеров k при разной средней вместимости зоны хранения терминала (рис. 5.6). На рис. 5.7 пред- ставлены зависимости интегральной функции распределения от чис- ла хранящихся контейнеров при разной средней загрузке терминала:
n |
1 |
|
e− |
(k −I )2 |
|
||
F (qk ) = å |
|
|
2I . |
(5.40) |
|||
|
|
|
|||||
2π I |
|||||||
k =1 |
|
|
|
|
|||
Ри с. 5.6. Графики распределений количеств фактически хранящихся
контейнеров при разной средней вместимости площадки
Рис. 5.7. Зависимость интегральной функции распределения F (k )
от числа фактически хранящихся контейнеров при разной средней вместимости площадки
87
Построенные графики дают возможность определить потребную вместимость терминала с заданной доверительной вероятностью. Из графиков видно, что средний запас грузов на складе соответствует наиболее вероятному запасу, однако он может быть превышен. С
увеличением размера терминала абсолютная величина возможного отклонения действительного количества хранящегося груза от сред- него значения увеличивается. При доверительной вероятности p = 0,95 относительное отклонение не превышает 15 ÷ 20 %.
5.8. Выбор между организацией собственного склада и использованием услуг наемного
Логистическая цепь может быть организована с использованием собственных складов или складов общего пользования. Выбор между организацией собственного склада и использованием для размеще- ния запаса склада общего пользования относится к классу задач «сде- лать или купить».
Методика принятия решения представлена на рис. 5.8.
затраты |
Z |
руб./год |
F3 |
|
F2
F1
0 |
Гб грузооборот |
Р и с. 5.8. Зависимость затрат от грузооборота
График функции Z строится на основании рыночных цен за хра- нение товаров на наемном складе:
Z – зависимость затрат по хранению товаров на наемном складе от объема грузооборота;
88
F1 – зависимость затрат на грузопереработку на собственном складе от объема грузооборота;
F2 – зависимость условно-постоянных затрат собственного склада от объема грузооборота;
F3 = F1 + F2 – зависимость суммарных затрат на хранение това- ров на собственном складе от объема грузооборота;
Гб – грузооборот «безразличия», при котором расходы на хра- нение на собственном и наемном складе равны.
График функции F2 параллелен оси абсцисс, так как принимаем,
что условно-постоянные затраты не зависят от грузооборота. Они включают расходы на аренду складского помещения, амортизацию техники, оплату электроэнергии, заработную плату управленческого персонала и специалистов.
Вопрос об использовании собственного склада возникает, если объемы грузооборота выше Гб . Решение принимается на основе со-
поставления разности затрат по использованию собственного и на- емного складов с капитальными вложениями, необходимыми для организации собственного склада.
5.9. Логистические центры. Состав типичного регионального центра
В последнее время большинство логистических операций во всем мире осуществляется в логистических центра. Различаются два типа логистических центров:
–региональные,
–логистические центры предприятия.
Региональные логистические центры имеют второе более точное название – «мультимодальные грузовые терминалы». Как правило, это крупные, хорошо оснащенные предприятия, предназначенные для оказания услуг другим предприятиям. Спектр их услуг обычно очень широк, поэтому региональные логистические центры имеют большое число различных подразделений, предназначенных для их оказания. Региональные логистические центры обычно специализи- руются на массовой переработке грузов по заказам различных ком- паний.
Логистические центры предприятий (компаний) очень многооб- разны. И структура зависит от профиля и размеров предприятия. На
89