мат_модели_logistics

На основании этих данных построим зависимость Об=f(K) (рис. 2.2).

Об

Р и с. 2.2. График зависимости объема

от качества

С помощью графика (рис. 2.2) можно решать два вида задач.

1.По заданному качеству продукции К выявить возможный объ- ём её выпуска Об.

2.По заданному объёму определить возможное качество К. Та- ким образом, за качество продукции надо платить уменьшением объ- ёмов её выпуска. В связи с этим задача максимизации объема Об при максимизации качества К не может быть выполнена. Возможно най- ти лишь компромиссное решение.

Эта задача в общем виде записывается следующим образом:

30

Таким образом, применяя метод последовательных уступок, сложно установить зависимость объёма выпуска продукции от каче-

ства и на основании этой зависимости выбирать связанные между собой оптимальные значения параметров Об и К. Следовательно, реализовать оптимальное решение можно лишь при строгом соблю- дении зависимости между этими параметрами. А такой зависимо- стью является получаемая в результате применения метода последо- вательных уступок графическая зависимость, представленная на рис. 2.2. Не вызывает сомнения, что этот метод можно обобщить на случай большого числа параметров. Если стоит задача максимизации по к параметрам, то один из них следует принять в качестве целевой функции, а в остальные ввести ограничения.

ЛЕКЦИЯ 4

2.3. Метод экспертных оценок.

Непосредственное назначение коэффициентов веса

Этот метод основан на построении единого (интегрального) по-

казателя эффективности посредством суммирования произведения имеющихся показателей на соответствующие весовые коэффициенты (коэффициенты важности показателей).

Одним из распространенных методов определения степени от- носительной важности является назначение коэффициентов веса, ко- торые, как правило, находят с помощью методов экспертных оценок. Назначение коэффициентов веса с помощью экспертизы представля- ет собой, по существу, обычное обсуждение, с той лишь разницей, что свое мнение эксперты выражают не словами, а цифрами. Методы

31

экспертных оценок достаточно широко распространены в спорте, например, в фигурном катании, гимнастике. Нет основания считать

неприемлемым коллективное мнение специалистов при принятии оптимальных решений. Методов определения экспертных оценок достаточно много. Рассмотрим метод непосредственного назначение коэффициентов веса. Согласно этого метода каждый i-тый эксперт для каждого к-того параметра должен назначать коэффициент αik

таким образом, чтобы сумма всех коэффициентов веса, назначенных одним экспертом для различных параметров, равнялась единице:

метров: объёма выпуска продукции и её качества. Пусть для экспер- тизы пригласили 8 человек. Результат экспертизы приведён в табл. 2.7.

Здесь значения экспертных оценок α1 = 0,75, α2 = 0,25 .

Если k ³ 3 , то, как показывает опыт, удовлетворение требования

n

åαk =1 затруднено. Для того чтобы избежать выполнения этого

k =1

требования, можно определить коэффициенты другими методами.

32

Т а б л и ц а 2.7

2.4. Оценки точности параметров в баллах

В этом случае каждый i-тый эксперт назначает каждому к-му параметру оценку по десятибалльной системе. Наиболее важный па- раметр оценивают более высоким баллом, при этом различным па- раметрам может быть назначен одинаковый балл. В результате экс- пертизы заполняется табл. 2.8.

Т а б л и ц а 2.8

Для каждого эксперта определяется сумма:

n

åβik = βi

k=1

инаходятся значения коэффициентов веса:

αik = ββik .

i

Эти данные представляют строку для i-того эксперта; аналогично определяются значения весовых коэффициентов для остальных экс-

33

пертов.

Здесь данные экспертизы оформляются в виде табл. 2.9 и 2.10.

2.5. Статистический метод экспертных оценок

В результате опроса экспертов принимают среднее значение экспертных оценок. Такой подход не учитывает разброса оценок, да- ваемых каждым экспертом в отдельности, а разброс является показа- телем того, что-либо вопрос поставлен недостаточно однозначно, либо признаком некомпетентности экспертов, либо следствием и то- го и другого. Вместе с тем, неучёт разброса экспертных оценок мо- жет привести к неправильным выводам.

Для исключения этого недостатка необходимо исходить из того, что оценка, данная отдельным экспертом, представляет собой реали- зацию случайной величины и поэтому обработка результатов экспер-

тизы должна производиться по правилам действий со случайными величинами. Проведение экспертизы рассматривается на примере определения коэффициентов веса αi параметров xi . Определение

34

экспертных оценок ведётся следующим образом:

1) каждый эксперт должен независимо от других выразить коли- чественно важность параметров x1, x2 ,..., xk , придав коэффициентам

веса α1,α2 ,...,αk соответствующие положительные значения таким

n

образом, чтобы åαik =1, i – число экспертов, к – число параметров;

k=1

2)приведенные результаты эксперимента свести в таблицу;

3)по результатам произведённой экспертизы для каждого коэф- фициента веса найти оценку математического ожидания:

затем определить отклонение в оценке каждого эксперта от оценки математического ожидания:

4)обсудить результаты проведенной экспертизы, предоставить слово для обоснования своей оценки в первую очередь тем экспер- там, у которых отклонения наибольшие; с помощью вопросов и об- щей дискуссии добиться устранения возможного недопонимания то- го, что имеется в виду под оцениваемыми параметрами;

5)провести повторную экспертизу, результаты которой свести в

таблицу экспертных оценок, но без столбцов со значением ik; затем по данным таблицы определяются оценки математического ожида- ния и оценки дисперсий:

35

При обработке окончательных результатов экспертизы для ха-

рактеристики степени согласия мнения исследователей о ранжировке коэффициентов веса вычисляют коэффициент конкордации:

2.6. Метод бинарных (парных) соотношений

Если совместная оценка всех параметров вызывает затруднения, их можно сравнивать попарно, т.е. методом попарных соотношений. Например, пусть задано 5 параметров x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Каждый i-

тый эксперт назначает парные соотношения:

ì1, если k - тый параметр важнее j - того,

γkj = íî0, в противном случае

идля i- того эксперта составляется табл. 2.13, причем

5 5

ååγ kj =10 .

j=1 k =1

Определяем экспертную оценку

5

åγ kj

αk = 5k =15

ååγ kj

k =1 j=1

для i-того эксперта. В результате получим α1 = 0,3 ; α2 = 0,2 ; α3 = 0 ;

36

α4 = 0,3 ; α5 = 0,3 .

Т а б л и ц а 2.13

Из последней строки нижней таблицы видно, что, несмотря на отсутствие, казалось бы, какой-либо закономерности в оценках, дан- ных экспертами, все параметры имеют примерно одинаковую отно- сительную важность.

Приведенные методы определения коэффициентов веса дают возможность получить достаточно достоверные исходные данные, позволяющие оценить важность каждого оптимизируемого парамет- ра.

2.7. Пример решения задачи методом экспертных оценок

Вернёмся к задаче многопараметрической оптимизации, которая

представляет собой попытку найти некоторый компромисс между теми параметрами (целевые функции), по которым требуется опти- мизировать решение. Возможной реализацией такого компромиссно- го подхода является формирование специальной функции. При этом

компромиссная целевая функция должна удовлетворять следующим требованиям: оптимизируемые параметры (целевые функции), имеющие, как правило, различную размерность, должны быть при- ведены к безразмерной форме, максимизируемые параметры входят со знаком плюс, минимизируемые – минус:

F = åK αk xk → max .

k =1 xkn

В этой целевой функции оптимизацию производят по K пара- метрам. Безразмерность параметров обеспечиваем введением норми- рующей величины xkn , а степень компромисса назначается с помо-

щью коэффициентов αk .

37

Нормирующая величина может задаваться различными спосо- бами. В одном случае значение нормирующей величины xkn прини-

мается из какого-нибудь утверждающего документа, например, тех- нического задания. Если такой утвержденной величины нет, то мож- но решить задачу оптимизации при максимизации этой величины,

т.е. F = Fmax , и полученное в результате оптимизации значение Fk* принять за нормирующее: Fk* = Fкн . Коэффициенты веса назначаются

n

при условии åαk =1 с помощью экспертных оценок.

k =1

Для рассмотренного выше примера целевая функция записыва- ется следующим образом:

F = α1 Об + α2 K ® max .

Обн Kн

В качестве нормирующих значений Обн и Kн принимаем их максимальные значения, полученные в результате оптимизации от- дельно по каждому параметру: Обн =1340 , Kн =1028 . Математиче- ская модель задачи имеет вид:

Результаты решения этой задачи при различных значениях ко- эффициентов веса α1 и α2 приведены в табл. 2.14.

Анализ табличных данных даёт основание сделать нижесле- дующие выводы.

1. С точки зрения объёма выпускаемой продукции наиболее вы- годным является 1 вариант. По мере снижения коэффициента веса α1 её выпуск уменьшается. Самой невыгодной является продукция П1, которая при α1 вообще не производится.

38

2.Наиболее выгодной с позиции качества является продукция ПЗ. Наиболее невыгодной – П2, которая при α2 =1 не выпускается.

3.Для обеспечения дальнейшего роста объёма выпуска продук- ции необходимо увеличить трудовые и материальные ресурсы, а для повышения качества продукции – материальные и финансовые.

Та б л и ц а 2.14

Данные расчёты показывают, как влияют назначенные коэффи- циенты веса на результат. Таким образом, зная желаемый компро- мисс, следует принять коэффициенты веса, которые определяют по- лученное решение.

39