Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МОТС ИТМО

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

11.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 309 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

числами. Поэтому матрица A квадратичной формы ортогонально подобна матрице с действительными собственными значениями матрицы A :

diag{ ,	,..., } T T AT,(T 1	T T ) ,	(5.10)
1 2	n
где T [T1,T2 ,...,Tn ] – ортогональная матрица,			составленная из

столбцов координат ортонормированных собственных векторов матрицы A в том же базисе, в котором задана A .

Определение 5.7 (О5.7).			Квадратичная форма F2 (x) ( Ax, x)
называется положительно определенной, если ( Ax, x) 0 при						x 0 , и
неотрицательно определенной			если ( Ax, x) 0	при	любых	x E n .
Аналогично	определяются		отрицательно	определенная			и
неположительно		определенная	квадратичные формы. Если форма
F (x) принимает		разные знаки при некоторых			x En ,	то	она
2

называется неопределенной. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны (критерий Сильвестра).

Пусть 1 2 ... n				–	собственные	значения положительно
определенной			матрицы	A ,	тогда для	всех векторов x En
справедливы неравенства
		xT Ax	.			(5.11)
	n		.			(5.11)
	n	xT x	1
		xT x

Определение 5.8 (О5.8). Если все собственные значения матрицы квадратичной формы имеют одинаковый знак, то форма называется

эллиптической,	а уравнение xT Ax c , где c const , определяет в
пространстве E n	гиперэллипсоид постоянного значения (уровня) c .
Рассмотрим основные правила дифференцирования функций от

векторов и матриц по скалярным, векторным и матричным переменным.

	1. Пусть A A(q) – матрица, элементы которой суть функции
A	A (q) скалярной переменной q .Тогда производной	A A(q)		от
ij	ij	q	q
			q

матрицы A(q) по q является матрица, составленная из производных

Aij q	Aij ( q )		ее элементов по переменной q , что может быть записано

		q
		q
в форме

Aq		row{col( Aij ;i		1,m	); j	1,n	}.

Для производной от суммы и произведения матриц, зависящих от скалярной переменной q по этой переменной справедливы

представления

C(q) A(q) B(q) A B ;

D(q) A(q) B(q) A B(q) A(q) B .

Для

степенной

матричной

функции

f A q A q p

от

квадратной

n n

–

матрицы

A(q) , где p –

целое положительное

число, производная по скалярной переменной

q вычисляется в силу

соотношения

A q p A

A q p 1

A q A A q p 2

A q p 1 A .

Для

вычисления

производной

от

обратной

матрицы

A q 1 сформулируем и докажем следующее утверждение.

Утверждение

5.1

(У5.1).

Производная

A q 1 от

обратной

матрицы

A q 1

по

скалярной

переменной

q вычисляется

по

формуле

A q 1 A q 1 A A q 1 .

□

(5.12)

Доказательство утверждения строится на дифференцировании по

скалярному параметру

q матричного уравнения A q 1 A q I ,

где I – единичная матрица, в результате которого получим

A q 1 A q I

A q 1 A q A q 1 Aq 0.

Разрешение полученного матричного уравнения относительно

производной

A q 1

приводит к (5.12).

■

Пусть

J J (x)

– скалярная функция векторного аргумента

x [x ,...,x ]T . Тогда,

обозначив символом оператор градиента, для

производной

от

этой функции по

векторному аргументу

градиента можно записать следующие представления:

J T

x J

,...,

– вектор–столбец;

( x J )T

,...,

– вектор–строка;

2 J

x12

xn x1

– n n – матрица.

2 J

x1 xn

xn2

3. Пусть y [ y (x), y

(x),...,y

(x)]T

– m – мерный вектор–столбец

скалярных функций от n – мерного вектора x (векторная функция от векторного аргумента), тогда

			y1
			x
x y x y1	, x y2	,..., x ym	1
			1

			y
			1
			xn
			xn
– матрица	размерами (n m) .

производная

	ym
	x

	1	(5.13)
	.
	ym


	xn
Аналогично		определяется

					y1
					x
					1
( x	y)T x	y1, x	y2 ,..., x	ym T	1
( x	y)T x	y1, x	y2 ,..., x	ym T
					ym
					x1
					x1

. (5.14)

4.Пусть z z(x) и y y(x) – векторы–столбцы размерности m , и

x– вектор–столбец размерности n . Тогда производная по x от

скалярного произведения векторов		z	и y (градиент скалярного
произведения) определяется следующим образом:
x ( y, z) ( x y )T z ( x z )T y .						(5.15)
Примеры и задачи
5.1.* Записать квадратичную	форму		F (x) 2x2 5x2			4x x	2	с
			2	1	2	1	2
симметричной матрицей этой формы.
	3	0	1
	2	0		2
	2			2
5.2.* Привести матрицу A	0	1	0	квадратичной формы
1		0	3
	2	0	2
	2		2
ортогональным преобразованием к каноническому виду.
TT T I .						(5.16)
5.3.* Найти значение x , при котором положительно определенная
форма F2 (x) (Rx , x) 2(x, Sb) C ,		где	R 0, C const		принимает
минимальное значение. Вычислить это значение.

5.4.* Вычислить производные от следующих скалярных функций от вектора x :

а) J T Ax ;

б) J xT x ;

в) J xT Ax .

5.5.*	Пусть X	–
J ( X ) trX	– след	этой

элементов. Показать, что

а)	trX trX	I ;
x	X
	X

квадратная матрица размером (n n) и матрицы, равный сумме ее диагональных

б)	tr(AX )	AТ .	(5.17)
	X

5.6. Определить дефект линейной формы F1(x) на пространстве

Rn .

5.7. Показать, что любой вектор z пространства R n может быть представлен единственным образом в виде z x y , где y N (F1) ,

x – фиксированный вектор R n , – действительное число.

5.8. Определить расстояние (x, H ) от произвольного вектора z En до гиперплоскости (n, x) b .

5.9. Для каждой из квадратичных форм найти ортогональное преобразование T неизвестных, приводящее эту форму к каноническому виду, и записать полученный канонический вид:

а) 2x12 5x22 2x32 4x1x2 2x1x3 4x2 x3 ; б) 3x22 4x1x2 10x1x3 4x2 x3 ;

в) x12 x22 5x32 6x1x3 4x2 x3 ;

г) 2x12 x22 4x1x2 4x2 x3.

5.10. Выяснить, являются ли положительно определенными следующие квадратичные формы:

а) x12 2x1x2 4x22 4x2 x3 2x32 ;

б) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3 ; в) 3x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3.

5.11.Доказать, что положительно определенная матрица является неособенной.

5.12.Доказать, что если A – положительно определенная

симметричная матрица, то A 1 – также положительно определенная матрица.

5.13. Доказать, что если det A 0, то AT A и AAT – положительно

определенные матрицы; если det A 0 , AT A и AAT – неотрицательно определенные матрицы.

				3	1	1
5.14.	Привести		матрицу	A 1	0	2	квадратичной		формы к

					2
				1	2	0
каноническому виду и записать полученный канонический вид.
5.15. Доказать справедливость для любой симметричной матрицы
A спектрального разложения:
A T		T ... T ,			где		, ,..., – собственные
	1 1 1	2 2 2		n n n			1 2	n
значения	матрицы		A: 1, 2 ,..., n –			ортонормированная			система
собственных векторов этой матрицы.
5.16.	Доказать,		что xT Ax tr(AxxT ) ,				где tr	обозначает след

матрицы.

5.17. Вычислить производные от следующих функций:

а) J (x) ( y Ax)T Q( y Ax), где QT Q 0; б) J ( X ) tr( AX T );

в)

J ( X ) tr( X T AX );

г)

J ( X ) tr( X 1);

д)

J ( X ) det X

5.18. Определить минимальное значение квадратичной формы

F2 (x) (Rx, x) 2(x, Su) (u,Tu) , где R 0; S,T – матрицы, u – не

зависящий от x вектор.

Решение вариантов задач

Решение задачи 5.1. Матрица

A исходной формы: A

Любая действительная матрица может быть

представлена

виде:

A Ac

Ak ,

где

( A AT )

–

симметричная

матрица,

( A AT )

– кососимметричная матрица. Поскольку для любого

вектора x

Ak x x ,

то xT Ak x 0,

поэтому имеем F (x) xT Ac x , где

Ac в данном случае равна Ac

Решение задачи 5.2. Вычисление корней характеристического

уравнения

det A I 0

дает

следующие

собственные

значения

матрицы A квадратичной формы:

1 2

3 2 . Решив систему

уравнений (A I ) 0, получим два ортонормированных собственных

вектора,

соответствующих

собственному

значению

							T ,			0	1 0 T .
	2		0	2			T ,			0	1 0 T .	Решив систему		уравнений
1	2				2				2

A 2I 0 ,				получим третий вектор ортонормированной системы,
соответствующий										собственному		значению		2 :
								T
3		2 2 0		2		2		T		В	итоге	матрица	ортогонального
3		2 2 0		2		2		.		В	итоге	матрица	ортогонального


		2	2	0	2
преобразования равна T 1, 2 , 3			2		2
преобразования равна T 1, 2 , 3	0			1	0	.

		2		0	2
		2	2	0	2
			2		2

Матрица канонического вида формы равна diag{1,1, 2} так что

T T AT , при этом T T T I .

Решение задачи 5.3. Рассмотрим решение данной задачи методом, не связанным с вычислением производных. Дополним форму F2 (x) до

полного квадрата:

xT Rx 2xT Sb c xT Rx 2xT RR1Sb bT S T R1Sb c

(5.18)

bT S T R1Sb (x R1Sb)T R(x R1Sb) c bT S T R1Sb

Из выражения (5.18) и положительной определенности матрицы R следует, что данная квадратичная форма принимает минимальное

значение

при

x R1Sb 0 ,

откуда получим

min

R1Sb

c bT ST R1Sb .

2 min

Решение задачи 5.4.

а) Положим AT C , тогда исходную функцию можно записать в

виде J CT x . Согласно выражению (5.13) имеем

(CT x)

(C x ... C x ) C ,

1 1

откуда получаем

x J AT

(5.19)

б) Поскольку xT x (x, x) то

(x, x) (

xT )x (

xT )x 2(

xT )x .

Но

I ,

поэтому

окончательно получим

x J 2x

(5.20)

в)Положим

y Ax ,

тогда

можем

записать

J xT Ax ( Ax, x) ( y, x) . Согласно выражению (5.15)

( yT x) (

yT )x (

xT ) y .

Но

( Ax)T

[

,...,

] AT

по формуле

(5.13),

x 1

x xT

I ,

поэтому в итоге получим x J AT x Ax . Если матрица A

симметричная, то будем иметь

x J 2 Ax.		(5.21)
Решение задачи 5.5.
а) Поскольку, trX x11 ... xnn , то из формулы (5.13) имеем
xtrX x x11 ... x xnn	I .
б) Поскольку tr( AX ) a11x11	a12 x21 ... ann xnn , то
xtr(AX ) a11 x x11 ... ann x xnn .		(5.22)

Но x xij есть матрица размером (n n) , имеющая единственный

отличный от нуля и равный единице элемент, стоящий в i -й строке и j -м столбце. Сложив все слагаемые правой части выражения (5.22),

получим требуемый результат.

n n

6. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ. МАТРИЧНАЯ ЭКСПОНЕНТА

Рассматривается – квадратная матрица A, на которой конструируются функции от матрицы f ( A) трех типов: скалярная функция от матрицы, векторная функция от матрицы и матричная

функция от матрицы.
Определение 6.1 (О6.1). Скалярной	функцией (СФМ)	от
квадратной матрицы A называется функция	f ( A) , которая реализует

отображение f ( A) : Rn×n R, где R – множество действительных чисел.

Примерами скалярных функций	от	матрицы явля-
ются: f (A) det( A), f (A) tr(A), f ( A) C A ,	f ( A)	A	– детерми-

нант, след, норма и число обусловленности матрицы соответственно, СФМ является квадратичная форма f ( A) xT Ax.

Определение 6.2 (О6.2). Векторной функцией от квадратной матрицы A называется функция f ( A) , которая реализует отображение

f ( A ) : Rn×n Rn, где Rn – n–мерное действительное пространство.

Примерами векторных функций от матрицы (ВФМ) являются
такие, как f (A) col i ;i 1,n , f (A) col i ;i 1,n	– векторы,

построенные на элементах алгебраических спектров соответственно собственных значений i ;i 1,n и сингулярных чисел i ;i 1,n матрицы A.

6.1. Матричные ряды и матричные функции от матриц

Матричная функция от матрицы (МФМ) реализует отображение f ( A ) : Rn×n Rn×n. Исходное определение матричной функции от

матрицы задается следующим образом.

Определение 6.3 (О6.3). Пусть f ( ) – скалярный степенной ряд (многочлен) относительно скалярной переменной .

f ( ) a	a a 2				... a		p .		(6.1)
0	1	2				p
Тогда скалярный ряд					f ( ) порождает матричную функцию				f ( A)
от матрицы A в виде матричного ряда, если в представлении (6.1) для
f ( ) скалярную переменную заменить на матрицу A так, что									f ( A )
запишется в форме
f ( A) a I a A a			2	A2 ... a			p	A p	(6.2)
0	1		2				p
Поставим задачу построения перехода от исходного
представления	МФМ		f ( A) в				форме (6.2) к ее минимальному

представлению, то есть к представлению матричным многочленом минимальной степени. Начнем решение этой задачи с теоремы Гамильтона–Кэли(ТГК).

( A) 0

Утверждение 6.1 (У6.1) (Теорема Гамильтона–Кэли).

Квадратная n n - матрица A с характеристическим полиномом

D( ) det( I A) n a1 n 1 a2 n 2 ... an 1 an , обнуляет свой характеристический полином так, что выполняется матричное соотношение

D( A) An a	An 1 a	2	An 2 ... a			n 1	A a	n	I 0,	(6.3)
1
где 0 – n n нулевая матрица.										□
Доказательство	справедливости						сформулированного
утверждения осуществим для случая матрицы							A простой структуры,
характеризующейся			алгебраическим							спектром
A i : i j ;i j;Jmi 0;i					вещественных и					некратных
				1,n

собственных значений так, что на нем может быть сконструирована
диагональная	матрица	diag i ;i 1,n .	Если	теперь

воспользоваться матричным соотношением подобия (2.30), то матрицу

A можно представить в форме A M M 1 , что в свою очередь для (6.3) позволяет записать

D( A ) M n a1 n 1 a2 n 2 ... an 1 an I M 1

■

M diag i n a1 i n 1 a2 i n 2 ... an 1 i an I ;i 1,n M 1 0.

Теорема Гамильтона-Кэли позволяет ввести следующие определения.

Определение 6.4 (О6.4). Многочлен (степенной ряд) ( )

относительно скалярной переменной называется аннулирующим многочленом квадратной матрицы A , если выполняется условие

(6.4)

Очевидно, аннулирующим многочленом матрицы A в силу

теоремы Гамильтона-Кэли является в первую очередь ее характеристический полином. Ясно, что существует множество аннулирующих многочленов матрицы A степени большей, чем n . Но могут существовать аннулирующие многочлены степени m n .

Определение 6.5 (О6.5). Аннулирующий многочлен

наименьшей степени m со старшим коэффициентом при m , равным единице, называется минимальным многочленом матрицы A .

Построим	разложение	многочлена f ( ) (6.1), задающего
матричную функцию f ( A)		от матрицы в форме (6.2), по модулю
минимального	многочлена	матрицы		A ,	представив	его
выражением
f ( ) ( ) ( ) r( ),						(6.5)
где многочлен r( ) имеет			степень deg(r( )) меньше степени
deg( ( )) m	минимального		многочлена	( )	матрицы	A .

Выражение (6.5) позволяет дать следующее определение матричной функции от матрицы.

Определение 6.6 (О6.6). Пусть многочлен f ( ) относительно

скалярной переменной допускает представление в форме (6.5), тогда матричная функция f ( A) может быть задана в минимальной форме

f ( A) r( A) .

(6.6)

Заметим, что основной проблемой при задании матричной функции от матрицы в форме (6.6) является вычисление многочлена r( ) .

Основной способ вычисления многочлена r( ) в силу (6.5)

опирается на то, что r( ) является остатком от деления			f ( ) на
минимальный многочлен
r( ) rest	f ( )	.	(6.7)

( )
Если f ( ) не является рядом или многочленом вида			(6.1), а

является произвольной аналитической функцией со значениями на алгебраическом спектре собственных значений матрицы A , то формирование матричной функции f ( A) от матрицы A , опирается на

представление f ( ) в соответствии с интерполяционной схемой Лагранжа в виде мультипликативной структуры из двучленов ( i )

или в соответствии с интерполяционной схемой Ньютона в виде ряда по степеням двучленов ( i ) , число членов которых определяется

минимальным многочленом (). Для реализации интерполяционной

схемы Лагранжа, которая в случае размещения интерполяционных узлов на собственных значениях i матрицы A , приобретает название

интерполяционной схемы Лагранжа–Сильвестра, требуется знание значений f (i ) . Для реализации интерполяционной схемы Ньютона

требуется знание значений f (i ), f (i )...f						(mi 1)		(i ) .

Если минимальный многочлен ( ) степени m в силу его
определения записать в форме
( ) ( )m1	( )m2 ...( )mr					,			(6.8)
1	2			r
где m1 m2 ... mr m , i ;i					A ,
				1, r
то можно построить представление для функции f ( ) в форме
f ( ) = r( ) ,									(6.9)
где r( ) – интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра
или Ньютона, сформированный			на алгебраическом спектре A
собственных значений i ;i			матрицы
		1, r					A ,		характеризующийся
степенью меньшей	степени m		минимального						многочлен ( ) , а

потому удовлетворяющий условиям (6.5), (6.7).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 309 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.201927.12 Кб0Монополия.docx
#
20.03.201625.6 Кб30монопсония.doc
#
27.04.201927.48 Кб33Монохроматичность.docx
#
14.04.201515.38 Кб103Московская русь.docx
#
04.11.201837.95 Кб12Московское государство.Отличный конспект.docx
#
14.04.201511.04 Mб93МОТС ИТМО.pdf
#
01.07.202554.5 Кб2МР НИР Э_ФМ (магистры).docx
#
16.08.20191.41 Mб39МСУ.doc
#
01.04.2025392.7 Кб12МУ закваски 260303.doc
#
16.07.2019101.38 Кб20МУ к лаб раб.doc
#
20.03.20161.16 Mб61МУ МИКРО 2013.doc