МОТС ИТМО

имеет вид

(9.44)

Как и в непрерывном случае рассмотрим три возможные структурыA алгебраического спектра собственных значений матрицы A .

2. Простая комплексно–сопряженная структура собственных значений матрицы:

становится справедливым представление решения (9.44) в виде

Если теперь перейти к векторным и матричным нормам, то для нормы x k вектора состояния x k c учетом свойств норм в том

149

(9.46)

3. Кратная вещественная структура собственных значений (простоты

Тогда становится справедливым представление решения (9.44) в виде

Анализ решений автономной системы (9.43) для трех возможных структур алгебраического спектра собственных значений матрицы состояния позволяет сделать вывод о том, что необходимым и достаточным условием выполнения предельных переходов для

удовлетворение значений модулей всех собственных чисел неравенству i 1; i 1, n . Это же неравенство является условием устойчивости исходной модели ЛДДО (9.18)–(9.19).

150

9.4. Структурные свойства объектов управления: управляемость и наблюдаемость, управляемость и наблюдаемость собственных значений матрицы состояния над бесконечными полями. Каноническое структурное представление Р.Калмана. Полнота моделей ВСВ и ВВ динамических объектов

Остановимся на важных структурных свойствах динамических объектов как непрерывных, так и дискретных, которые удалось установить специалистам по теории систем лишь при изучении моделей ВСВ этих объектов. Ниже ограничимся рассмотрением двух базовых структурных свойств объектов управления (ОУ):

управляемости и наблюдаемости.

управляемым, если его можно из произвольного начального состояния

применив подходящим образом выбранное управляющее воздействие

может быть определено на основе наблюдений за выходом y(t) / y(k) (а возможно, и входом u(t) / u(k) ) в течение интервала наблюдения. □

Сформулируем критерии управляемости и наблюдаемости,

которые инвариантны относительно специфики динамических объектов.

Утверждение 9.1 (У9.1). (Критерий управляемости 1 (КУ1))

Объект с парой матриц ( A, B) / ( A, B ) является полностью управляемым

тогда и только тогда, когда матрица управляемости объекта,

построенная в силу матричного соотношения

Доказательство сформулированного утверждения проведем на примере дискретного объекта управления с использованием его рекуррентного модельного представления (9.19).

Поставим задачу перевода дискретного ОУ (9.19) из произвольного ненулевого начального состояния x(0) за n dim x –

интервалов дискретности (тактов управления) в желаемое конечное

151

x(n). Вычислим последовательность управляющих воздействий,

образующих «стратегию управления», осуществляющих этот перевод. Для этой цели воспользуемся суммарной моделью дискретного объекта (9.26)

x k Ak x 0 Ak 1Bu 0 Ak 2Bu 1 ABu k 2 Bu k 1

k1

Ak x 0 Ak 1 i Bu i .

i0

Запишем последнее выражение для момента k n в форме, поменяв

Разрешим полученное выражение относительно вектора «стратегии управления», осуществляющего перевод за n тактов ОУ из начального состояния x(0) в желаемое конечное x(n) , в результате получим

существование искомого управления является обратимость матрицы,

определенности матриц. Суть критерия Сильвестра состоит в следующем.

Пусть произвольная квадратная матрица E имеет вид

Рассмотрим определители подматриц (главные диагональные миноры) матрицы Е

152

Тогда критерий положительной определенности матрицы E состоит в выполнении условий

1 0; 2 0; k 0, k 1,n .

Примечание 9.3 (П9.3). Критерий управляемости 2 обладает

содержательной геометрической прозрачностью, состоящей в том,

что, если вычисление собственных значений уi матрицы Q (9.51) дополнить вычислением ее собственных векторов уi i 1, n , то

появляется возможность пространство X n состояний ОУ разбить на подпространства, натянутые на собственные вектора уi i 1, n . При

этом подпространство неуправляемости объекта натянутым на собственные вектора матрицы

соответствуют нулевым (минимальным по величине) собственным значениям, а подпространство наилучшей управляемости совпадает с собственным вектором, которому соответствует наибольшее собственное значение.

Утверждение 9.2 (У9.2). (Критерий наблюдаемости 1(КН1)).

Объект с парой матриц ( A, C) / ( A,C ) являются полностью

наблюдаемым тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости объекта, построенная в силу матричного соотношения

Доказательство сформулированного утверждения проведем на примере непрерывного объекта с использованием его дифференциального модельного описания (9.5)–(9.6) при D 0

x(t) Ax(t) Bu(t); y t Cx t Du t .

Для получения n условий для вычисления n – компонентного вектора состояния x по результатам измерения векторов выхода y(t)

и управления u(t) , а возможно и производных продифференцируем (n 1) раз по времени вектор выхода y(t) , что породит следующий

состав измерения y(t) Cx(t) ;

y(t) Cx(t) CAx(t) CBu(t) ;

y(t) CAx(t) CBu(t) CA2 x(t) CABu(t) CBu(t) ;

153

y (t) CA2 x(t) CABu(t) CBu(t)

;

CA3 x(t) CA2 Bu(t) CABu(t) CBu(t)

y(n 1) (t) CA(n 1) x(t) CA(n 2) Bu(t) ... CABu(n 1) (t) CBu(n 2) (t)

Сформируем на основе полученных соотношений вектор

Вектор измерений z(t) позволяет систему уравнений, построенных

положительные собственные значения.

Примечание 9.4 (П9.4). Критерий наблюдаемости 2 обладает

содержательной геометрической прозрачностью, состоящей в том,

что, если вычисление собственных значений матрицы P (9.55) дополнить вычислением ее собственных векторов, то появляется

возможность пространство X n состояний ОУ разбить на подпространства, натянутые на собственные вектора. При этом подпространство ненаблюдаемости объекта оказывается натянутым на собственные вектора матрицы P , которые соответствуют нулевым собственным значениям, а подпространство наилучшей наблюдаемости совпадает с собственным вектором, которому соответствует наибольшее собственное значение. Движение в подпространствах ненаблюдаемости не проектируются на выход объекта, а движение в

154

подпространстве наилучшей наблюдаемости характеризуются максимальной нормой его проекции на выход.

Введение понятий управляемости и наблюдаемости позволяет представить исходный объект управления ОУ в виде объединения его структурных компонентов

Аналитическая конструкция (9.56) иллюстрируется структурным представлением, изображенным на рисунке 9.5.

ОУнун

ОУнну

ОУнунн

Рисунок 9.5

В представлениях (9.56) и рисунок 9.5 , которые носят название

каноническое представление ОУ Р.Калмана: ОУ ну – полностью

управляемая и наблюдаемая часть ОУ; ОУ нну – неуправляемая, но

наблюдаемая часть ОУ; ОУ нуу –управляемая, но ненаблюдаемая часть

ОУ; ОУ ннну – неуправляемая и ненаблюдаемая часть ОУ. Следует заметить, что все модели «вход–выход» (ВВ) описывают поведение только полностью управляемой и наблюдаемой ОУ ну части ОУ при

нулевом начальном состоянии объекта в целом. Таким образом, модели ВВ оказываются модельно менее полными, чем модели «вход– состояние–выход» (ВСВ). Очевидно, размерность вектора состояния

модельного компонента ОУ ну объекта меньше размерности объекта

управления в целом, как следствие модель ВВ ОУ имеет меньшую размерность, чем модель ВСВ объекта. Аналитически редуцирование размерности модели ВВ происходит путем сокращения общих

155

сомножителей полиномов числителя и знаменателя сепаратных передаточных функций ВВ

Завершая рассмотрение свойств и системных характеристик модельных представлений «вход – состояние – выход» объектов управления, опирающихся на возможности векторно – матричного формализма линейной алгебры сделаем следующее примечание.

и называются нормальными относительно наблюдения, если являются

наблюдаемыми все пары матриц A,Cl ;l 1,m , где Cl l я строка

матрицы С выхода объекта.

Свойство нормальности объектов управления пока не нашло конструктивного использования в современной теории управления. Проблемы управления объектами с нормальной парой матриц A, B и наблюдения с нормальной парой матриц A,C гарантирующей богатство вариантов решений, ждут разработки.

Оформим в форме примечания и определений еще одно положение, обогащающее структурные свойства объекта управляемость и наблюдаемость на примере ЛНДО, которое вводит понятия управляемости и наблюдаемости собственных чисел матрицы

156