МОТС ИТМО

2.2.2*. Определить ортогональную проекцию вектора

x 1

1 T

на линейную оболочку L(y) натянутую на вектор y

1 T .

3

2.2.3. Выяснить, являются ли системы векторов арифметических

пространств линейно зависимыми.

a) x1 3

1 5 T , x2 6

2

15 T ;

б) x1 1

2 3 T , x2 2

5 7 T , x3 3 7

10 T .

2.2.4. Проверить, что векторы

e1 2

2

1 T , e2 2

1

2 T , e3 1 2

2 T

образуют

базис пространства R3 и найти координаты вектора

x [1 1

1]T в

этом базисе.

2.2.5. Вектор x в естественном базисе пространства R 2

имеет ко-

ординаты

x 1

1 T , а оператору A в этом базисе соответствует мат-

рица A

2

-1

. Определить координаты векторов x

и Ax в базисе,

1

1

элементами которого являются столбцы матрицы A .

2.2.6. Определить область значений и ядро оператора с матрицей

0

1

A

в естественном базисе R 2 .

0

0

2.2.7. Применить алгоритм

ортогонализации Грамма–Шмидта к

следующим системам векторов:

a) e1 1

2

2 T ,

e2 1 0

1 T ,

e3 5

3

7 T ;

б) q1 2

3 4

6 T ,

q2 1

8 2

16 T ,

q3 12

5 14

5 T ,

q4 3 11 4

7 T .

2.2.8. Найти матрицу A оператора A в R3 , отображающего векто-

ры:

1 T в y1 2

3 5 T ;

x1 0 0

x2 0 1

1 T в y2 1

0 0 T ;

x3 1 1

1 T в y3 0

1 1 T :

а) в естественном базисе;

б) в базисе векторов x1, x2 , x3 .

2.2.10. Найти базис ортогонального дополнения L линейной обо-

лочки L системы векторов пространства R 4 :

e

[1, 3, 0, 2]T , e

[3, 7, 1, 2]T , e

[2, 4, 1, 0]T .

1

2

3

2

0

4

1

2

1

0

4

0

3

a) A

; б) A

2

1 2 ; в) A

0 .

0

2

1

1

1

2

0

1

матрицы A , LA – любое дополнительное к N(А) подпространство. То-

гда для любого x X n

имеет место единственное представление

x xN xL , где xN N A ,

xL LA .

Поскольку y Ax A(xN xL ) AxL Jm(A) , так как AxN 0 , то

любой вектор y Jm(A) имеет прообраз из подпространства LA , при-

Jm(A) и L

A

совпадают. Но dim X n

dim N(A) dim L

и

dim L

r ,

A

A

A

откуда n nA rA .

Решение задачи 2.2.2. Если x – ортогональная проекция вектора x

на оболочку L( y) ,

то x

y , где const . Поскольку (x x) L , то

имеем

(x x, y) 0 ,

или

xT y xT y ,

откуда

получим

xT y

xT y

3

T

3

1 3

x

y

y

,

.

( y, y)

2

4

4

y

Эта задача может быть также решена с использованием матрицы

Грама.

■

(n n) – матрица M , связывающая матрицы

A и A матричным

соотношением подобия

(3.1)

M

A

AM .

Матричное соотношение подобия (3.1) имеет два матричных

аналога

M 1 AM и A M

M 1 .

(3.2)

A

A

матрицы

оказываются

своими

называются

матричными

неинвариантами.

Рассмотрим матричные инварианты на примере двух подобных

матриц A и A вида (3.2).

1. Первым

матричным

инвариантом

являются

форме I MM 1 MIM 1 , тогда получим

скалярно-матричное

соотношение

det( MIM 1 MAM 1) det{M ( I A)M 1}

(3.4)

Таким образом, установлено равенство det( I A) det( I A) .

■

2. Вторым матричным инвариантом являются алгебраические

спектры A и A

собственных значений подобных матриц A и

,

A

что записывается в форме

A A

:

n a

n 1 ... a

a

0;i

.

(3.5)

n

1, n

i i

1 i

n 1 i

3. Третьим матричным

инвариантом

являются детерминанты

n

det( A) det(

A

) i 1 2 ... n 1 n

(3.6)

i 1

4. Четвертым матричным инвариантом являются следы tr( A)

и

tr( A) подобных матриц A и A ,

определяемые выражением

n

tr( A) tr(

A

) i 1

2

n 1 n ,

(3.7)

i l

и вычисляемые с помощью соотношений

n

tr( A) Aii A11

A22

... An 1,n 1 Ann ,

(3.8)

i 1

n

tr(

A

)

A

ii

A

11

A22

... An 1,n 1 Ann .

(3.9)

i 1

Примечание 3.1 (П3.1). Матричным инвариантом являются

также ранги rang ( A) и rang( A)

подобных матриц A и A , как число

линейно независимых столбцов, как размерности

dim(Im(A))

и

A

2

A

1

n

A

2 ;