МОТС ИТМО

справедливой рекуррентная процедура:

Проверка условий (7.55)–(7.56), выполняется условие (7.55), тогда

109

Примеры и задачи

7.1.Даны вектора–столбцы:

и вектора–строки:

з) 15 14 13 ; и) 12 11 10 ; к) 9 8 7 ; л) 6 5 4 .

Построить кронекеровские произведения векторов на парах векторов по выбору.

7.2. Даны матрицы:

Построить кронекеровские произведения пар матриц по выбору и вычислить элементы алгебраического спектра собственных значений этих произведений.

7.3.На матрицах примера 7.2 построить кронекеровские суммы пар матриц по выбору и вычислить элементы алгебраического спектра собственных значений построенных кронекеровских сумм.

7.4.Вычислить алгебраический спектр собственных значений

кронекеровской суммы A B A I B I A B матриц

7.5. Вычислить псевдообратные матрицы для матриц–столбцов:

110

Вычислить псевдообратные матрицы одним из приведенных в тексте раздела способов.

Решение вариантов задач

Задача 7.4. Вычислить алгебраический спектр собственных

Теперь составим характеристическое уравнение

111

Полученное уравнение имеет решение 1 0; 2 3; 3 1; 4 2 . ■

112

8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ «ВХОД-ВЫХОД» (ВВ) ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Математическими моделями динамических объектов будем называть математический инструментарий, создаваемый вне аппаратной среды объекта, позволяющий изучать его поведение под воздействием физических сигналов (независимых переменных: задающих, командных, управляющих и возмущающих воздействий) с целью контроля степени близости изменения выходного сигнала объекта к желаемому его характеру. Этот математический инструментарий зависит от виды преобразуемых сигналов. Если преобразование сигналов происходит непрерывно по времени, то динамические объекты именуются непрерывными, а математический инструментарий преобразования сигналов строится на базе аппарата дифференциальных уравнений. Если преобразование сигналов происходит дискретно по времени с интервалом дискретности t в моменты времени t k t , где k –дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности, то динамические объекты именуются дискретными, а математический инструментарий преобразования сигналов строится на базе аппарата рекуррентных (разностных) уравнений.

Так как аппарат дифференциальных и разностных уравнений связывает входной сигнал, размещаемый в правой части уравнений, а выходной – в их левой, то математические модели, основанные на указанных уравнениях, принято называть моделями «вход–выход»

(ВВ).

К классу моделей ВВ относятся и передаточные функции, которые строятся на отношениях изображений Лапласа правой и левой частей линейных дифференциальных уравнений непрерывных объектов при их нулевом начальном состоянии и z–изображений правой и левой частей линейных рекуррентных (разностных) уравнений дискретных объектов также при нулевом начальном состоянии.

8.1. Математические модели ВВ непрерывных объектов управления. Весовая и передаточная функции

Рассмотрение проблем, вынесенных в заголовок параграфа, начнем с общего случая нелинейного непрерывного одномерного динамического объекта (ДО), то есть объекта, имеющего один вход и один выход, динамика которого в терминах «вход–выход» описываются нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка:

113

где g(t) – входной (независимая переменная) сигнал объекта, y(t)

– выходная зависимая переменная объекта. Если осуществить линеаризацию уравнения (8.1) относительно некоторой траектории y0 t y g0 t ,t , принятой за номинальную и зависимые переменные

оставить в левой части, а независимые переменные в правой, то получим каноническое представление линейного (линеаризованного) дифференциального уравнения

a0 (t) y(n) t a1(t) y(n 1) t ... an (t) y t b0 (t)g(m) t ... bm (t)g t .

(8.2)

Выражение (8.2) называют уравнением в отклонениях или в вариациях. Динамические объекты, математические модели которых могут быть представлены в виде уравнения (8.2), называются

непрерывными линейными (точнее линеаризованными) объектами.

Если объект является стационарным по времени, то все коэффициенты уравнения (8.2) являются постоянными величинами, т.е.

непрерывного динамического объекта с постоянными параметрами

является линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами типа «вход–выход» вида (8.3).

Уравнение (8.3) допускает алгебраизацию. Действительно,

Тогда дифференциальное уравнение (8.3) получает алгебраическое операторное представление

114

Поставим задачу поиска явного представления зависимой переменной y(t) путем решения дифференциального уравнения (8.3).

Прежде, чем начать решение поставленной задачи, выскажем некоторое физическое суждение. Выходная зависимая переменная, очевидно, описывает движение объекта в некоторой системе координат. Физически причиной всякого движения являются два фактора: запасенная энергия и вынуждающая сила. Запасенная энергия определяется начальными условиями, в которых пребывал объект на момент t0 0 начала его движения

Вынуждающая сила представлена входной независимой переменной g t .

Тогда общее решение уравнения (8.3) справедливо на основе принципа суперпозиции причинно–следственных факторов, состоящем в том, что следствие от суммы причинных факторов представимо в виде суммы следствий от каждого из этих факторов, можно записать в форме

115

является решением однородного дифференциального уравнения

полученного из неоднородного дифференциального уравнения (8.3) подстановкой в его правую часть g t 0 , если величина k обнуляет

характеристический полином D так, что D k 0.

Доказательство утверждения строится на непосредственной подстановке экспоненциальной функции (8.7) в левую часть однородного дифференциального уравнения (8.8). Тогда с учетом правила дифференцирования экспоненциальной функции (8.7) получим

является частным решением однородного уравнения (8.8). Общим решением уравнения (8.8), очевидно, является линейная комбинация решений вида (8.7) так, что для yс (t) можно записать

Примечание 8.2 (П8.2). Общее решение однородного дифференциального уравнения (8.8), представляющее собой

116

свободную составляющую движения, определяемого неоднородным

есть хотя бы одна пара комплексно–сопряженных корней, скажем, определенности ради 1,2 j , то этой паре будет соответствовать

два частных вещественных решения однородного дифференциального уравнения (8.8) вида

соответствуют частных вещественных решений однородного дифференциального уравнения вида

И наконец, если среди решений уравнения есть хотя бы одна пара комплексно–сопряженных корней, скажем, определенности ради1,2 j и эта пара характеризуется кратностью равной , то этой

паре будет соответствовать 2 линейно независимых вещественных

уравнения (8.3), для чего сформулируем утверждение.

дифференциального уравнения (8.3) может быть сформирована в силу соотношения

в котором неизвестная функция k t задается формулой

117

неоднородного дифференциального уравнения (8.3) на основании справедливости принципа суперпозиции и соотношения (8.13) может быть представлена в форме

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (8.3) как аддитивная композиция свободной и вынужденной составляющей решения принимает вид

значение y(t) при t , это эквивалентно тому при условии, что

объект устойчив, что установившееся движение описывается соотношением:

(системы), именуемой весовой функцией объекта (системы). Содержательно весовой функцией w t объекта называется реакция (отклик) объекта на внешнее воздействие вида дельта–функция t Дирака, задаваемое следующим образом

118