Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МОТС ИТМО

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

11.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

0 0		3			3
A 1	0		2	; B		0	; C 0	0 1
			2
0	1					0
			1

С помощью критериев управляемости и наблюдаемости исследовать объект на управляемость и наблюдаемость, составить передаточную функцию (матрицу) объекта.

9.2. Построить структурные схемы непрерывных объектов управления, описываемых функциями перехода и выхода вида:

	2
а) : x1 2x1		3x1u;	: y x12	2x2 u;
x2 x1x2 u3 ;
x	x ;
1	3			: y x1 2x2 15x32 ;
б) : x2 x2 ;				: y x1 2x2 15x32 ;
	100x1 10x22 5x1x2
x3	100x1 10x22 5x1x2			;

в)

г)

д)

е)

x	x	(sin	2	)x	2	(sin	2	)u	2
: 1	1 1
x2	(sin 1)x1 2 x2				(cos 2 )u2

: y1 (cos 1)x1 (sin 2 )x2 ;y2 ( sin 1)x1 (cos 2 )x2 ;

x	x			;
: 1	1	2								: y
x2 2u 2						u		x2 1x1;
x	x				;
1	1		2
: x2 3 x3 2							x3		x3 1x2 1u;
	2u 4 x1;
x3	2u 4 x1;
: x Ax Bu;						: y Cx; где

(cos 1 )u1;

(sin 1)u1;

10x1

: y 0.1x3;

	0	1	0	0
A	0	0	1	; B 0	; C	0 0 ;
					3
				1
	3	2	1

ж) : x Ax Bu;					: y Cx;
где A,B из пункта е), а C 3								2	1 ;
з) : x Ax Bu;					: y Cx; где
0	0	3			3
A 1 0			;	B		0	;	C 0		0 1 ;
		2
0	1					0
		1
и) : x Ax Bu;					: y Cx ,
где A,C из пункта 3), а B 3								2	1 T ;
к) : x Ax Bu;					: y Cx Du,

159

где A, B и C те же, что в пункте з), а D 0 .

л) : x			Ax Bu;				: y Cx; где
	2			5	3		1	0		1	1	0
										1	1	0
A	1		2		3 ; B 0			2 ; C				;
		3	15 12				3	4		0 1 1

м) : x			Ax Bu;				: y Cx; где
		4		4	2		1	0		1 1		2
										1 1		2
A		2		2	1	; B 1		1	; C			;
	4			4 2			0 1			2 0		1

н) : x			Ax Bu;				: y Cx; где
	0		1	0	0		1	3
										0 1		3 5
A 3			0 2 0 ; B 2					0 ; C		0 1		3 5	;
	0		2 0 3				0	2
	0		2 0 3				0	2		2 4		0 8

	0		0	1	0		3	1
о) : x			Ax Bu;				: y Cx; где
		1		2	0	3		2	7
												0 2 3 .
A 1			2		0 3		; B 4		5 ; C		1	0 2 3 .
		0		0 2 0			6		3
		0		0 2 0			6		3		0	4 5 0

		1		2	0	3	8		1

9.3.Определить передаточные матрицы и функции сепаратных каналов линейных непрерывных объектов, описываемых функциями перехода и выхода из 9.2: п.п. е) о)

9.4.Определить, управляемы и наблюдаемы ли объекты

управления, а также управляемы и наблюдаемы ли они по каждому из входов и выходов (в случае r 1,m 1), если объекты описываются

функциями перехода и выхода из п.п. е) о)

9.5.С использованием алгоритма А9.1 построить модели ВСВ линейных непрерывных объектов в форме функций перехода и выхода по заданным передаточным матрицам (функциям) «вход– выход»:

а) (s)		10	,									б) (s)	s		,
а) (s)		s3	,									б) (s)	s		,
		s3											s
в) (s)										,		г) (s)			1s 2									,
в) (s)	s3 s2					2	s		3	,		г) (s)		s3 s2				2	s				3	,
			1			2			3						1			2					3
		s2			s			3						s3			s2					s
д) (s)			1	2				3			,	е) (s)	1			2					3					4	,
д) (s)	s3 s2						s				,	е) (s)		s3 s			2				s						,
	s3 s2					2	s		3					s3 s			2			2	s				3
			1			2			3						1					2					3

160

ж) (s)			(s )								,

		s(s )(s					2		)
			1				2
и) (s)			s							,

	s(s )(s					2		)
			1			2
			11		12

л) (s)			s 11					s
л) (s)
			21	122 s 222

								s
								s

з) (s)

к) (s)

2
13s 13
s(s 13 )
		.
	23

	s 23
	s 23

									,

(s )(s				2	)(s		3	)
	1			2			3
	11		12

	s
		11	22			,
		11
	21
	21
			s 22
			s 22

9.6. Построить структурные схемы дискретных объектов

управления, описываемых функциями перехода и выхода:

x1(k) Tx2 (k) 2 T u(k)

: y(k) x1(k),

а) : x1(k 1)

(k 1)

x2 (k) Tu(k)

T 3u(k)

x1(k 1) x1(k) Tx2 (k)

x3 (k)

б) : x2

(k 1)

x2 (k) Tx3 (k)

u(k)

: y(k) x1(k),

x (k 1) x (k) Tu(k)

в) : x(k 1) Ax(k) Bu(k); : y(k) Cx(k) ,
1	1	0	1	1
A 0 1		0	, B 0	0	, C 1 0	0 .

0	0	1	1	0

г) : x(k 1) Ax(k) Bu(k); : y(k) Cx(k) ,
	0.9	0.06	0	0	0	0
										1 .
A 1.5		0.1	0	0	, B 1	0 , C	1	0	0	1 .
	0	0.01	0.9	0.6	0	0		1	1
	0	0.01	0.9	0.6	0	0	0	1	1	0
		0.004	1.5
	0.02	0.004	1.5	0.1	0	1

9.9. Определить передаточные матрицы и функции дискретных объектов примеров 9.6

9.8. С использованием алгоритма А9.2 построить модель ВСВ дискретных объектов, заданных передаточными функциями (матрицами):

z 1		z2	2	z	3
а) (z) z 1 ;	1
	б) (z)					;
		z3 1z2 2 z 3

161

										11		12
	z 2		z 1
	z 2	2	z 1			3				z	11
в) (z)	1	2				3		; г)	Ф(z)		11	22
в) (z)	z 3 z 2				z 1			; г)	Ф(z)
	z 3 z 2				z 1					0
	1			2			3			0		z

													22

9.9. Для значений интервалов дискретности 0.01 сек. и 0.1 сек. построить матрицы A, B, C дискретного описания непрерывных объектов из задачи 9.2.

Решение вариантов задач

Решение задачи 9.1. Запишем функции и в координатной форме:

x1 0x1 0x2 3 x3 3u

x2 1x1 0x2 2 x3 . x3 0x1 1x2 1x3

y 0x1 0x2 1x3

Для построения структурного представления объекта необходимы 3 интегратора, у которых входом j-го интегратора является переменная

x j , представленная в		виде линейной комбинации выходов
интеграторов xi j,i		и входного воздействия u , описываемой j-ой
	1,n

строкой функции перехода , при этом линейная комбинация формируется сумматором. Выход y объекта управления является

линейной комбинацией составляющих вектора состояния, который формируется с помощью усилительных элементов с коэффициентами усиления, равными коэффициентам при соответствующих составляющих xi вектора состояния х в функции выхода , и

устройством суммирования. Для оценки управляемости и

наблюдаемости объекта					составим					матрицы управляемости Wу и
наблюдаемости Wн в силу выражений (9.17) и (9.20):
				3				0	0
		2				0	3		0		,
Wу B	AB A		B			0	3		0		,
						0		0
									3
								T	0		0		1
T	T T		T		2		T	T
Wн C	A C		A		2	C			0		1	1			.
Wн C	A C		A			C			0		1	1			.
									1			2
									1			2		2
											1	1		2

В соответствие с критериями управляемости и наблюдаемости в первых формулировках объект управления является полностью управляемым и наблюдаемым, так как

rang Wу 3 dim x , rang Wн 3 dim x .

Для того, чтобы воспользоваться критериями управляемости и

162

s3 1 s2 2s 3

наблюдаемости во вторых формулировках (КУ2 и КН2) построим

матрицы		Q W W T и							P W T нW			, которые				для		рассматриваемого
					у	у					н
объекта управления принимают вид
	2											1							2	2
υ3		0	0						1			1						1		2
Q	0 υ32		0		,	P		1				1 12					1 1 2 13							.
	0 0 υ			2				2						3	1		2		2		4	2
	0 0 υ														1				2			2	2
			3				1			2	1	1 2	1			1			2	1		1	2
Положительная определенность матрицы Q очевидна.
Для матрицы P W T нW										имеем
									н
1 1,			2 1,			3 1.

Таким образом, Р – положительно определенная матрица. Определим передаточную функцию (матрицу) «вход–выход»

объекта. По определению передаточной функции (матрицы)

Y s

U s

C sI A 1 B

C adj

sI A T

det sI A

1 s 2

1 3s

0 1

s2 s

									3
									3				3
				1			2						3
s	3	1 s	2	2s 3	1 s	s		0		s	3	1 s	2	2s 3	.
s		1 s		2s 3				0		s		1 s		2s 3

Поставленные задачи решены. Решение задачи 9.5г.

По передаточной функции «вход–выход» ЛНДО

(s)	1s 2				, построить A, B, C–«вход–состояние–
(s)	s3 s2		s		, построить A, B, C–«вход–состояние–
1		2		3

выход» представление на основе алгоритма А9.1. В соответствие с этим алгоритмом:

1.Выбираем канонический управляемый (фробениусов строчный) базис представления; 2.Пункт 2 алгоритма А9.1 выполнен исходным задание передаточной

функции, которая представляет собой отношение двух полиномов относительно переменной «s»;

3.Записываем передаточную функцию по отрицательным степеням переменной Лапласа «s» , так чтобы в знаменателе образовался единичный свободный член, для чего числитель и знаменатель делим

на член « s3 », в результате чего получаем представление передаточной функции

163

			1				1
							s3
(s)		1 s2				2	s3			;
	1	1			1				1	;
	1			2 s				3 s3
	1 s			2 s		2		3 s3

3.,4. Выполняем п.п.3 и 4: строим структурное представление в каноническом управляемом базисе и размечаем его, результат выполнение этих пунктов алгоритма А9.1 представлен на рисунке 9.6

y t

	x3 t
u t		1
		s

		1		2
x2 t		x1 t
x3 t	1	x2 t	1	x1 t
	s		s
1		2		3

						Рисунок 9.6
5.Списываем матрицы A, B,C описания x t									Ax t Bu t ,	y t Cx t
с отмеченного структурного представления рисунок 9.6 и получаем
	0		1		0	0
A	0		0		1	; B 0 ;C	2		0 .	■
							2	1
		3		2		1
		3		2	1

164

10. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКЗОГЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Рассматривается задача построения математических моделей физических сред, в которых формируются непрерывные (t) и дискретные по времени (k) экзогенные (рожденные вне т.е. внешние) воздействия. Как и ранее, t – непрерывное время, k – дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительности t так, что для дискретных представлений воздействий выполняется соотношение t (t) k .

Определение 10.1 (О10.1). Непрерывное скалярное воздействие(t) называется конечномерным, если оно может быть представлено в виде суммы конечного числа элементов

	q
(t)
(t)			(t) ,			(10.1)
	1
где q – конечное целое положительное число, аддитивные
компоненты		которого		(t)	формируются	автономными

непрерывными динамическими системами конечной размерности, –

коэффициенты из поля F .

□

Определение 10.2 (О10.2). Дискретное по времени скалярное воздействие (k) называется конечномерным, если оно представимо в виде суммы конечного числа элементов

	q
(k)
(k)			(k) ,			(10.2)
	1
где q – конечное целое положительное число, аддитивные
компоненты		которого		(k) 1	формируются	автономными

дискретными динамическими системами конечной размерности,			–
коэффициенты	из	поля	F .
□
Примечание 10.1 (П10.1). В дальнейшем рассматриваются

воздействия, коэффициенты	( 1, q)	которых в (10.1) и	(10.2)

принадлежат полю действительных чисел ( F R ).

Понятие «воздействие» предполагает наличие динамического объекта или динамической системы, на которые осуществляется воздействие, которое относительно этих объекта и системы оказывается внешним (экзогенным). В этой связи выделим два типа внешних воздействий на динамический объект (динамическую систему).

1 В дальнейшем вместо «дискретное по времени» будем использовать понятие «дискретное».

165

Первый тип экзогенного воздействия именуется задающим, которое обозначается для непрерывного случая в форме g(t) , а для дискретного – g(k) . При этом, если g(t) ( g(k) ) являются

конечномерными, то выполняются равенства
g(t) (t) ,	g(k) (k) .			(10.3)
Второй тип экзогенного воздействия именуется возмущающим,
которое для непрерывного случая обозначается как				f (t) , а для
дискретного – f (k) . Если f (t)		и	f (k) являются конечномерными, то
выполняются соотношения
f (t) (t) ,	f (k) (k) .			(10.4)
Задающее	g(t) , ( g(k) )	и	возмущающее f (t) ,	( f (k) ) несут

различную функциональную нагрузку.

Так, если динамическая система характеризуется выходным сигналом y(t) , ( y(k) ), то она должна быть спроектирована таким образом, чтобы при подаче на вход системы задающего воздействия g(t) , ( g(k) ) выходной сигнал (или просто выход) y(t) , ( y(k) ) с течением времени максимально приближался бы к задающему воздействию, что можно записать в форме

lim y(t, g(t) 0) g(t) ,	(10.5)
t
lim y(k, g(k) 0) g(k) .	(10.6)
k

Если система удовлетворяет условиям (10.5), (10.6), то она решает задачу слежения выходной переменной за задающим воздействием.

Возмущающее воздействие является «мешающим» фактором, поэтому динамическая система должна быть спроектирована так, чтобы при подаче на вход системы возмущающего воздействия f (t) ( f (k) ), выход системы y(t) ( y(k) ) с течением времени должен максимально приближаться к его реализации, которая имела место при отсутствии возмущающего воздействия, что можно записать в форме

lim y(t, f (t) 0) lim y(t, f (t) 0)		,	(10.7)
t	t
lim y(k, f (k) 0) lim y(k, f (k) 0).			(10.8)
t	t

Если система удовлетворяет условиям (10.7), (10.8), то она решает задачу стабилизации выхода путем парирования возмущающего воздействия.

Поиск модельных представлений конечномерных воздействий в классе автономных динамических систем имеет технологическую, вычислительную и алгоритмическую нагрузки.

166

10.1 Модели конечномерных непрерывных типовых экзогенных воздействий

В теории и практике управления непрерывными объектами в составе непрерывных систем используются конечномерные воздействия следующих типов:

1. Полиномиальные воздействия, представление (10.1) которых имеет вид

q 1
(t) t ;	(10.9)

2.Экспоненциальные, представление (10.1) которых имеет вид

q	q
(t) e t exp( t) ;		(10.10)
1	1

3. Гармонические, представление (10.1) которых имеет вид

(t) sin( t )

q
	(	s	sin t	c	cos t) ;	(10.11)
		s		c

4.Затухающие (расходящиеся) гармонические, представление

(10.1) которых имеет вид

(t)		e t sin(		t ) .		(10.12)

	1
Модельные			представления		источников	конечномерных

воздействий (ИКВ) перечисленных типов (10.9)-(10.12) в виде автономных динамических систем, имеющих векторно-матричное описание (ВМО) вида

z(t) Ez(t) , z(0) z(t)		, (t) P z(t) ,	(10.13)

	t 0

где z	– вектор состояния ИКВ, E, P – соответственно матрицы

состояния и выхода, размерности которых определяются конкретным типом (t) , сформируем в виде системы утверждений.

Утверждение 10.1 (У10.1). Полиномиальные конечномерные воздействия вида (10.9) формируются ИКВ, имеющим ВМО (10.13) с

матричными компонентами E Rq q и P R1 q вида

q 1

I(q 1) )q 1)

P 1

row(P

1, q 1 ,

(10.14)

01 (q 1)

z(0) col z (0);

при

векторе начального состояния

1, q

компонентами

z (0) ( !) ; 1, q .

□(10.15)

Доказательство. Решение системы (10.13) относительно векторов

состояния z(t)

и выхода (t) имеет вид

167

z(t) eEt z(0) , (t) P eEt z(0) .											(10.16)

Матрица E в силу представления (10.14) имеет форму Жордана с

нулевыми диагональными		элементами					( E	0; 1, q ),			поэтому
матричная экспонента exp(Et) в						силу	(6.31)	и	учетом		того, что
exp(E t) 1, принимает вид
			1		2			1	q 1
1	t (2!)			t		[(q 1)!] 1t q 2
0	1	t				[(q 2)!] t
eEt exp(Et)										.	(10.17)

0	0	0					t
	0	0					1
0	0	0					1

Подстановка (10.17) в соотношение для (t) (10.16) с учетом вида (10.14) матричных компонентов дает

(t) z	(0) z	2	(0)t z	(0)(2!) 1t2	z	q	(0)[(q 1)!]tq 1
1		2	3			q
q 1
( !) 1 z 1 (0)t .								(10.18)
0
Если в (10.18) подставить (10.15), то получим (10.19).								■

Анализ матричных компонентов (10.14) ВМО источника полиномиального конечномерного воздействия показывает, что ИКВ полиномиального типа представляет собой цепь из q интеграторов, на выходе которой формируется (t) . В теории и практике управления для исследования динамических свойств систем управления в классе полиномиальных конечномерных воздействий выделяются типовые воздействия вида:

–статическое воздействие ( (t) 0 const );

–кинетическое воздействие ( (t) 1t) ;

–динамическое воздействие ( (t) 2t2 ).

Первое	(статическое)	типовое	воздействие	обычно
характеризуется величиной		0 1 и	именуется	единичным

воздействием, его источник (10.13) имеет матричные компоненты (10.14) и начальное состояние (10.15) вида

E [0		];	P [1]; z		(0)	0	.				(10.19)
	1 1			1		0
Второе (кинетическое) типовое воздействие характеризуется
постоянной		скоростью			(t) 1 ,			его источник			(10.13) имеет
компоненты (10.14) и (10.15) вида
E	0	1	; P 1	0 ; z(0) 0						T	(10.20)
E			; P 1	0 ; z(0) 0					1	.	(10.20)
									1
	0	0

Третье (динамическое) типовое воздействие характеризуется постоянным ускорением (t) 2! 2 , его источник (10.13) имеет

компоненты (10.14) и (10.15) вида

168

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.201927.12 Кб0Монополия.docx
#
20.03.201625.6 Кб26монопсония.doc
#
27.04.201927.48 Кб24Монохроматичность.docx
#
14.04.201515.38 Кб92Московская русь.docx
#
04.11.201837.95 Кб3Московское государство.Отличный конспект.docx
#
14.04.201511.04 Mб77МОТС ИТМО.pdf
#
16.08.20191.41 Mб17МСУ.doc
#
16.07.2019101.38 Кб9МУ к лаб раб.doc
#
20.03.20161.16 Mб27МУ МИКРО 2013.doc
#
16.11.20191.28 Mб11МУ по стат..DOC
#
02.11.201813.05 Mб14МФ и ТД 2011.doc