Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1329 вузов, 5502 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

МОТС ИТМО

.pdf
Скачиваний:
96
Добавлен:
14.04.2015
Размер:
11 Мб
Скачать
☆

c j

 

L 1 F s 2 j 1 F s est ds f t .

□(П1.10)

c j

 

В (П1.9) и (П1.10) f t – оригинал с абсциссой сходимости c ,

F s – лапласов образ (преобразование Лапласа, изображение Лапласа)

функции f t действительного аргумента t.

 

ПРИМЕЧАНИЕ П1.1(ПРП1.1). Нетрудно понять, что

преобразование Лапласа существует только для

тех функций f t ,

абсцисса сходимости которых конечна. В этой связи существуют

 

 

 

функции, которые не преобразуемы по Лапласу. Примером такой

 

 

 

функции является функция

f t et2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные свойства преобразования Лапласа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица П1.1.

 

 

 

Свойство

преобра-

 

 

Оригинал f t

 

Изображение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зования

Лапласа

 

 

 

 

 

 

F s

L f t

 

 

 

 

 

 

 

(ПЛ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Линейность ПЛ

 

f t a f1 (t) b f2 (t) ,

F s a F1 (s) b F2 (s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a,b константы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Правило

 

 

а) f (t)

 

 

а) L f t sF (s) f (0)

 

 

 

вычисление

ПЛ

от

б)

 

f

(r)

(t) , r 1

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

производной

от

 

 

L f r t sr F (s) sr 1 f (0)

оригинала

по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

(r 1)

 

 

 

 

времени

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

f

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Правило

 

 

а)

 

f (t)dt = f

1 t

a) L f 1 t

F (s)

 

 

f 1 0

вычисление ПЛ от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

s

интеграла от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оригинала по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f k 0

 

 

 

 

 

 

L f

 

 

t

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

f t dtdt dt f r t

 

 

F (s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

времени

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sr

 

 

 

 

 

sk

 

 

 

– r кратный интеграл

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Правило

 

 

 

 

 

f (at) , ( a 0)

 

 

L af t

1

 

 

s

 

 

 

 

изменения масштаба

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Правило

 

 

 

 

 

f (t b) , (b 0)

 

 

L f t b e bs F (s)

вычисление ПЛ от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оригинала со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сдвинутым

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аргументом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Правило

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L eat f t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формирование

 

 

 

 

eat f (t)

 

 

 

 

F(s a)

изображения со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сдвинутым

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

269

комплексным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аргументом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Теорема о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

начальном значении

 

lim f (t) =?

 

lim

f (t) = lim sF (s)

оригинала

 

t 0

 

 

t 0

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Теорема о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

конечном значении

 

lim f (t) =?

 

lim

 

f (t) = lim sF (s)

оригинала

 

t

 

t

 

s 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Правило

 

f t

 

L f t F s

формирование

 

t

 

 

 

 

 

изображения от

 

f1( ) f2 (t )d

 

F1(s)F2 (s)

 

 

 

свертки оригиналов

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Правило

 

f t f1 t f2 t

L f t F s

формирования

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

изображения в

 

 

 

 

 

 

 

2 j 1

c j

 

 

 

форме свертки

 

 

 

 

 

 

 

F1 s F2 d

изображений

 

 

 

 

 

 

 

 

c j

 

 

 

сепаратных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оригиналов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Правило

 

а) f

t

 

 

g(t, )

а)

 

 

 

 

 

формирование

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L f t F s

 

изображения

 

 

 

 

 

 

 

 

G(s, )

 

 

 

a2

 

 

производной и

 

б)

f t g(t, )d

б)

 

 

 

 

 

интеграла оригинала

 

 

 

a1

 

 

 

 

 

a

по параметру ,

 

 

 

 

 

 

 

L f t F s

2G(s, )d

независящему от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

аргументов t и s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изображения Лапласа оригиналов - типовых воздействий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица П.1.2.

 

Оригинал

 

 

 

 

 

 

Изображение

 

 

 

№

f (t)

 

 

 

 

 

 

L f t F s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

f (t) = (t) – дельта функция

 

L t F s =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

f (t) =1 – единичное

 

 

 

 

L 1 F s =1/ s

 

 

 

 

 

 

 

воздействие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

f (t) = t n – степенное

 

 

 

 

L t n F s = n!

s(n 1)

 

 

 

 

воздействие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

f (t) = e t –

 

 

 

 

 

L e t F s = s 1

 

 

 

 

экспоненциальное воздействие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

f (t) = e ttn экспоненциально

 

L e t t n F s = n! (s )n 1

 

степенное воздействие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

270

6.

f (t) = sin t -

 

L sin t F s =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

синусоидальное гармоническое

 

s2

2

 

 

 

 

 

 

воздействие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

f (t) = cos t –

 

L cos t F s =

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

косинусоидальное

 

s2

2

 

 

 

 

 

 

гармоническое воздействие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

f (t) = e

t

sin t

–

L e t sin t F s =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(s )2 2

 

 

 

затухающее синусоидальное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

воздействие

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

f (t) = e

t

cos t

–

L e t cos t F s =

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(s

)2 2

 

затухающее косинусоидальное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

воздействие

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

f t g t sin t

–

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

G s j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L g t sin t F s

 

 

 

 

 

 

 

синусоидально-модулированное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 j G s j

 

воздействие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

f t g t cos t

–

L g t cos t F s

 

1

 

G s j

 

косинусоидально-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G s j

 

 

 

модулированное воздействие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

f t

 

sin t

 

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e

 

 

 

 

демодулированное воздействие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

sin t

F s 2

2

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e

 

 

271

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Z – ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРАНА)

КОНЦЕПЦИЯ П2.1(КП2.1). Прежде чем вводить Z – преобразование и изучать его свойства, подойдем к этой проблеме,

опираясь на некоторую аппаратную техническую среду и

преобразование Лапласа.

Пусть непрерывный сигнал f t , преобразуемый по Лапласу, в некоторой аппаратной технической среде претерпевает двухфазное

преобразование. Первая фаза преобразования состоит в том, что с

интервалом дискретности длительности t

из

сигнала

f t

формируется дискретная выборка

 

 

 

 

f k t : f 0 , f t , f 2t ...f (k 1) t , f k t , f (k 1) t ...

(П2.1)

со значениями f k t f t |t k t , компактная форма записи которой

имеет вид

 

 

 

 

f k : f 0 , f 1 , f 2 ...f k 1 , f k , f k 1 ...,

 

 

 

(П2.2)

где k дискретное время, выраженное в числе

тактов (интервалов

дискретности) длительности t , так что непрерывное

и дискретное

время связаны соотношением t k t , при этом f

k

вида

(П2.2)

именуется дискретной последовательностью,

порожденной

парой

f t , t .

 

 

 

 

Вторая фаза преобразования состоит в формировании из дискретной последовательности (П2.2), наблюдаемой на выходе фиксатора (запоминающего элемента) нулевого порядка, кусочно – постоянного сигнала

f * t : f * t f k t при k t t k 1 t .

(П2.3)

Сигнал f * t преобразуем по Лапласу в силу преобразуемости по Лапласу сигнала f t , тогда для него можно записать

 

 

 

 

 

(k 1) t

 

L f * t

f

 

 

f

k t e st

 

k t e st dt

0

k 0

 

 

k 0

k t

 

 

 

1 e

s t

 

 

 

 

 

 

f k t e k ts .

 

 

 

 

 

 

 

s

 

k 0

 

 

 

Если

в

(П2.4)

учесть,

что

 

k 1 t

 

dt f k t

e st dt

 

k 0

 

k t

(П2.4)

 

 

 

1 e s t Wф s передаточная s

функция фиксатора нулевого порядка, то тогда для лапласова образа дискретной последовательности (П2.2) имеем

 

k

 

 

L f k f k e ts

.

(П2.5)

k 0

Введем обозначение

272

e ts z ,

(П2.6)

и введем в рассмотрение Z – преобразование дискретных последовательностей с помощью следующих определений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ П2.1(ОП2.1). Прямым Z – преобразованием

(преобразованием

Лорана)

Z f k F z

дискретной

последовательности f k вида (П2.2) называется бесконечная сумма

 

 

 

Z f k F z f 0 f 1 z 1

f 2 z 2 ... f k z k ... f k z k ,

(П2.7)

 

k 0

 

если она сходится.

 

□

F z именуется Z –

образом дискретной последовательности

f k , а f k именуется оригиналом Z – преобразования.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ П2.2 (ОП2.2). Если воспользоваться выражениями для коэффициентов ряда Лорана, то обратное Z –

преобразование

Z 1 F z f k ,

ставящее Z –

образу F z в

соответствие

его

оригинал

f k ,

задается

интегральным

преобразованием вида

 

 

 

 

f k 2j 1 F z zk 1dz.

 

 

□(П2.8)

ПРИМЕЧАНИЕ П2.1(ПРП2.1). При решении практических задач исследования дискретных систем, связанных с восстановлением дискретной последовательности по ее Z – образу в большинстве случаев интегральное преобразование (П2.8) не используется. Используются в основном два способа. Первый способ основан на таблице Z – образов наиболее употребительных дискретных последовательностей, второй – на представлении Z – образа в виде бесконечной последовательности по отрицательным степеням аргумента z путем деления полинома числителя на полином знаменателя Z – образа.

Основные свойства Z – преобразования

 

 

 

Таблица П2.1.

Свойство

Оригинал

 

Изображение

 

Z - преобразования

f k

 

F z Z f k

 

(ZП)

 

 

 

 

1. Линейность ZП

f k a f1 (k) b f2 (k) ,

F z a F1 (z) b F2 (z)

 

a,b константы

 

 

 

 

 

 

 

2. Правило вычисле-

f k m

Z f k m

 

ния ZП от смещен-

 

 

m 1

 

ной последователь-

 

 

 

z m F z f i z i

 

ности

 

 

i 0

 

 

 

 

 

3.Теорема

к f k

Z к f k F z

 

изменения масштаба

к f k

Z к f k F 1z

 

в области комплекс-

 

 

 

 

 

 

273

 

 

 

ного аргумента z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Правило вычис-

 

f k f k 1 f k

 

 

Z f k z 1 F z zf 0

ление ZП от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Правило вычис-

 

k 1

f i

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

1

z

ление ZП от

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

f

i

z 1 F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

конечной суммы

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f i

 

 

 

 

 

 

Z

f

z z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

1 F z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 Теорема о началь-

 

f 0 lim

f k ?

 

 

f 0 lim

f k lim F z

ном значении ориги-

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Теорема о конеч-

 

f lim

f k ?

 

 

f lim

f k lim z 1 F z

ном значении ориги-

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Правило форми-

 

k

f k

i f

 

i

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рование ZП от

 

 

2

 

 

Z

 

f k i f

2

i

F

z F z

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

2

свертки оригиналов

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z – образы оригиналов - типовых последовательностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица П.2.2.

№

 

Оригинал

 

 

 

 

 

 

Z образ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (k)

 

 

 

 

 

 

Z f k F z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

f (k) = (k) - дискретная

 

Z k F z =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дельта функция (оди -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ночный единичный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

импульс)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

f (k) =1 k – единичная

 

Z 1 k F z = z z 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дискретная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(унитарный код)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

f (k) = k - степенная

 

Z k F z = z z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дискретная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

f (k) k - линейно

 

 

Z k F z z z 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нарастающая дискрет-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ная последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

f (k) = sin k -

 

 

 

Z sin k F z

 

z sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

синусоидальная

 

 

 

z 2 2z cos 1

 

 

 

 

 

дискретная последова -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

274

6.

f (k) = cos k -

Z cos k F z

z z cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

косинусоидальная

z 2 2z cos 1

 

дискретная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

f (k) =

k

sin k - зату-

Z k sin k F z

 

 

 

z sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

2 z cos 2

 

хающая

 

 

 

 

 

 

синусоидальная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дискретная последова-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельность 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

f (k) =

k

cos k - зату-

Z k cosk F z

 

z z z cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

2 z cos 2

 

хающая косинусоидаль-

 

 

 

 

 

ная дискретная после-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

довательность 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

275

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Вычисление матричной экспоненты в задаче исследования системы

x(t) Ax(t), x(0); y(t) Cx(t)

%Ввод начальных данных

%('Введите матрицу состояний системы A=') A=[-2.2 7; -7 -2.2]

%('Введите вектор начальных условий x0=') x0=[0;1]

%('Введите начальное время t0=') t0=0

%('Введите конечное время tk=') tk=3

%('Введите шаг приращения временной оси dt=') dt=0.01

i=1;

for t=t0:dt:tk

% Вычисление решения уравнения системы x t exp At x 0

xt=expm(t*A)*x0;

xt1(i)=xt(1,1);

xt2(i)=xt(2,1);

i=i+1;

end;

t=t0:dt:tk;

%Построение графика решения уравнения системы subplot(1,2,1),hold on, plot(t,xt1),plot(t,xt2), xlabel('t, sec'), ylabel('x(t)'), grid

title('Графики решения уравнения системы')

%Построение фазовой траектории на плоскости

subplot(1,2,2), plot(xt1,xt2),hold on, xlabel('x1'), ylabel('x2'), grid title('Фазовые траектории')

276

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Матрицы и действия с ними

Материал приложения излагается в форме системы определений и примечаний к ним.

Определение П4.1. Матрицей

A размерности (m n) называется

двумерный массив (таблица) из m

строк и n столбцов, составленный

из элементов Aij

i

 

; j

 

 

, расположенных на пересечении

1, m

1, n

i й строки и j го столбца .

□

Примечание П4.1. Матрица A размерности (m n)

может также

именоваться (m n) –матрицей A , задаваться в форме

A Rn n , если

элементами матрицы являются действительные числа, или в форме

A Cn n , если элементами матрицы являются комплексные числа.

□

Определение П4.2. Матрица

A размерности

(m n) ,

у которой

m n , называется прямоугольной.

 

 

 

□

Определение П4.3. Матрица

A размерности

(m n) ,

у которой

m n , называется квадратной.

 

 

 

□

Определение П4.4. Матрица

A размерности

(m n) ,

у которой

m 1,n 1, называется m–мерным вектором–столбцом.

 

□

Определение П4.5. Матрица

A размерности

(m n) ,

у которой

m 1,n 1, называется n–мерным вектором–строкой.

 

□

Определение П4.6. Матрица

A размерности

(m n) ,

у которой

m 1, n 1, становится числом, если она составлена из

числовых

элементов. Или иначе, число есть матрица размерности (1 1) .

□

Определение П4.7. Столбцовой формой представления матрицы A размерности (m n) называется ее представление в виде ряда (по-

аглийски «row») из n ее m–мерных столбцов Aj :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

Aj

 

row Aj ; j 1,n .

□(П4.1)

 

A A1

 

An

Примечание П4.2. Столбцы матрицы принято индексировать с помощью нижнего правого индекса.

Определение П4.8. Строчной формой представления матрица A размерности (m n) называется ее представление в виде столбца (по-

277

аглийски «сolumn» в сокращении «сol») из m ее n–мерных

строк Ai :

 

A1

 

 

 

 

 

 

A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

col Ai ;i

 

.

 

A

 

 

 

 

□(П4.2)

 

 

1, m

 

 

i

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

Примечание П4.3. Строки матрицы принято индексировать с помощью верхнего правого индекса, что совпадает с обозначением степени матрицы. Поэтому, с тем, чтобы не совершать ошибок, следует внимательно следить за математическим контекстом, в котором используется верхний правый индекс матрицы.

Определение П4.9. Поэлементной формой представления матрицы A размерности (m n) называется ее представление в виде

A11

A12

A1 j

A1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A21

A22

A2 j

A2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

row col Aij ;i

 

 

 

 

 

 

 

 

A

A

A

A

A

 

1, m

 

; j

1, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1

i2

 

ij

in

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

A

A

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

m2

mj

mn

col row Aij ; j

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, n

1, m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

□(П4.3)

Определение П4.10. Квадратная матрица

A размерности (n n) ,

элементы

Aij которой удовлетворяют условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 при i j;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aij

i, j 1, n ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(П4.4)

 

0 при i j;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется единичной и обозначается A I

(иногда

встречается

обозначение A E ).

 

 

 

□

Определение П4.11.

Транспонированной

называется (n m) –

матрица AT , полученная

из

(m n) –матрицы A

посредством

присвоения элементам строк

AT j

значений элементов

столбцов Aj

278

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности