МОТС ИТМО

кронекеровское произведение матриц и приведение уравнения к векторно – матричному виду для матриц S ,R и U из примеров а) - д)

задачи 12.2.

12.4. Используя матричное уравнение (12.12), найти матрицы модального преобразования M , приводящие к диагональному виду следующие матрицы.

12.5. Путем перестановки произвольных столбцов матрицы преобразования M убедиться, что в диагональных матрицах, подобных матрицам а) и) задачи 12.4, происходит согласованная с перестановкой столбцов перестановка собственных чисел на диагонали.

229

12.6. Найти матрицу преобразования подобия M для следующих пар подобных матриц:

230

Решение вариантов задач

Задача12.1. Определить, разрешимо ли матричное уравнение

Решение. Как указывалось в раздела, уравнение (12.13) при нулевой правой части имеет нетривиальное решение M 0 в случае, если спектры матрицы S и –R совпадают, т.е. {S} { R}. Таким

образом, первым шагом решения задачи является установление факта совпадения спектров матриц S и –R . Характеристические уравнения матриц S и –R принимают вид

Из приведенных характеристических уравнений матриц S и –R видно, что они идентичны, а, следовательно, спектры матриц

Перемножив матрицы и сложив их поэлементно, получим матричное соотношение

Если две матрицы равны, то равны их элементы с одинаковыми индексами, в силу чего для элементов матриц M получим систему скалярных соотношений

5m11 4m12 m21 0, 2m12 m22 0; 2m21 10m11 4m22 0, 10m12 5m22 0.

231

Очевидно, что число линейно независимых условий в полученной системе только два. Воспользуемся первыми двумя соотношениями

5m11 4m12 m21 0; 2m12 m22 0.

Система уравнений относительно элементов матрицы M оказалось недоопределенной, так как содержит два уравнения относительно четырех неизвестных. Зададим два недостающих условия, положив, к примеру, m11 1, m12 1. Матрица M в результате

принимает вид

232

13*. МОДЕЛИ ТРАЕКТОРНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И

СИСТЕМ

Рассмотренные в предыдущих разделах модели непрерывных и дискретных динамических объектов строились на гипотезах точного знания их параметров и неизменяемости в течение их функциональной эксплуатации. Однако эти гипотезы являются очень сильными и являются мечтой исследователя и в реальности не всегда выполняются.

Известно, что знание о любом объекте исследования всегда являются неполными. Известно также, что все течет, все изменяется. Это относится и к динамическим объектам и системам, а это значит, что встает задача оценки влияния неточности исходного знания и изменение параметров объектов должно быть как-то учтено в модельной среде. На этот вопрос частично отвечает теория параметрической чувствительности. При этом наибольшей наглядностью обладает аппарат функций траекторной чувствительности, применимый как к непрерывным, так и дискретным по времени динамическим процессам.

13.1.Модели траекторной параметрической чувствительности непрерывных динамических объектов и систем

Аппарат функций траекторной чувствительности (ФТЧ) в своей первичной постановке строился так, чтобы дать разработчикам возможность наблюдать дополнительное движение динамической системы или объекта, порожденное вариациями параметров их функциональных компонентов относительно их номинальных значений, оценивать влияние этого движения на качественные показатели системы.

В связи с тем, что наблюдение дополнительного движения осуществляется с помощью дополнительной динамической системы с фиксированными параметрами, именуемой моделью траекторной чувствительности (МТЧ), аппарат дает возможность разработчику при формировании объекта управления, представляющего собой функциональное объединение физического (технологического) процесса, регулирующих органов и устройств измерения компонентов вектора состояния и выхода, сравнивать конфигурации ОУ на предмет оценки потенциальной стабильности показателей качества проектируемой системы в условиях неопределенности параметров. Анализ управляемости составной системы «номинальный ОУ – МТЧ» по выходу модели траекторной чувствительности с помощью аппарата матриц управляемости по состоянию и выходу МТЧ позволяет ранжировать параметры по степени достижимости стабильности показателей качества систем с использованием возможностей

233

неадаптивных алгоритмов управления, рационально распределять ресурсы управления, решать задачу «оптимального номинала» агрегатов ОУ. Применительно к спроектированной системе аппарат ФТЧ позволяет как на траекторном, так и на структурном уровне оценивать эффект введения в состав системы устройств управления (УУ) в условиях параметрической неопределенности, проводить сравнения альтернативных вариантов УУ. Применение аппарата функций траекторной чувствительности к дискретным динамическим системам дает возможность как траекторно, так и структурно оценивать влияние таких чисто «дискретных» параметров, как интервал дискретности и запаздывания вывода из микроЭВМ вычисленного управления.

Для введения аппарата траекторной чувствительности рассмотрим непрерывную динамическую систему, которая характеризуется

вектором состояния x Rn , вектором выхода y Rm , а также вектором

безразмерную форму представления элементов q j вектора параметров

q ( j 1, p) .

Полное движение динамической системы для случая произвольного значения вектора q параметров по состоянию и выходу может быть представлено в форме

y t представляют собой номинальные траектории непрерывной

объекта или системы по состоянию и выходу, определяемые вариацией

234

траекторной чувствительности непрерывной системы соответственно по состоянию и выходу, и столбцовая форма их записи имеет вид

чувствительности первого порядка (в дальнейшем – просто функциями траекторной чувствительности) по состоянию и выходу.

Заметим, что если известны матрицы чувствительности t иt непрерывной динамической системы для любого t , то основные задачи анализа параметрической неопределенности в традиционной постановке могут быть решены. Причем, если достаточно решения задачи в экстремальной версии, в форме мажорант и минорант дополнительных движений, то эффективным инструментом здесь оказывается сингулярное разложение матрицы траекторной чувствительности t и t . В пространстве траекторий для любого t

максимальное M t и минимальное m t сингулярные числа матрицы t , задают значение нормы максимальной и минимальной полуосей элипсоидных покрытий дополнительных движений (13.6) и (13.7), порожденных сферой q 1, а элементы правого сингулярного базиса матрицы t задают сочетания вариаций параметров, порождающие максимальную и минимальную полуоси этого покрытия.

235

Конструирование модели траекторной чувствительности проиллюстрируем на примере линейного непрерывного ОУ, матричные компоненты модельного представления которого зависят от

вектора параметров q .

x t,q q x t,q q u t ; x 0,q x 0 ; y t,q C q x q t,q , (13.10)

где x Rn , u Rr , y Rm q,t . Продифференцируем выражение (13.10) по j -му компоненту q j вектора параметров q в точке q q0 . Поменяем порядок дифференцирования по времени t и параметру q j в

левой части первого уравнения (13.10) так, что получим цепочку равенств

дополнить моделью номинального ОУ (см. рисунок 13.1), полученной из (13.10) при q q0 :

Нетрудно видеть из (13.10) и (13.16), что динамическая модель дополнительных движений (13.6) и (13.7) с точностью до

мультипликативной составляющей q j j 1, p по выходам j j иj t совпадает системой из p МТЧ (13.15).

Анализ возможности сведения дополнительных движений к нулю хотя бы в асимптотике сводится к анализу управляемости МТЧ вида (13.15). Для этих целей сконструируем агрегированную систему с

составным вектором xj col x, j размерности dim x 2n , которая

236

объединением (13.15) и (13.16), получает векторно-матричное представление