МОТС ИТМО

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

полиномиальные дискретные КВ:

статическое (k)

и динамическое (k)

кинетическое воздействие (k)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

11.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3018 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

0	1	0
E 0	0	1	;	P 1 0	0 ;	z(0) 0 0	2!		.	(10.21)
								2
0	0	0

Утверждение 10.2 (У10.2). Экспоненциальные конечномерные воздействия вида (10.10) формируются ИКВ, имеющим ВМО (10.13) с

матричными компонентами E Rq q					и P R1 q вида

E diag ;		, P	row P			1,		,	(10.22)
	1, q						1, q

при векторе начального состояния
z(0) col z (0) ;				.□					(10.23)
			1, q
Доказательство. Решение системы (10.13) относительно векторов

состояния z(t)			и выхода (t) имеет вид (10.16). Матричная экспонента
exp(Et) в силу структуры (10.22) матрицы E принимает вид
	Et		t
e				; 1, q .		(10.24)
		exp(Et) diag e
Подстановка (10.24) в соотношение для (t) (10.16) с учетом вида
(10.22) матричных компонентов E и P и (10.23) дает

					q
(t) z1(0)e 1t z2 (0)e 2 t zq (0)e q t e t .						■(10.25)

Анализ матричных компонентов (10.22) ВМО источника экспоненциального конечномерного воздействия показывает, что ИКВ этого типа представляет собой структуру из параллельно включенных интеграторов, каждый из которых охвачен обратной связью с

коэффициентом передачи ( 1, q ), выходы которых объединены на

общем сумматоре.

Утверждение 10.3 (У10.3). Гармонические конечномерные воздействия вида (10.11) формируются ИКВ, имеющим ВМО (10.13) с

матричными компонентами E R2q 2q

и P R1 2q вида

E diag

, P row P

0 ; 1, q ,(10.26)

; 1, q

при векторе начального состояния

z(0) col z (0) c

s T ;

1, q

□(10.27)

Доказательство. Решение системы (10.13) относительно векторов состояния z(t) и выхода (t) имеет вид (10.16). Матричная экспонента exp(Et) в силу структуры (10.26) матрицы E принимает вид

	Et			E t	cos( t)		sin( t)

e		exp(Et) diag e			sin( t)		cos( t) ; 1, q . (10.28)

Подстановка (10.28) в выражение для (t) с учетом вида (10.26)
матрицы		P	и представления (10.27)			вектора начального состояния

z(0) дает

169

	q	1	cos( t)

(t)			0
	1		sin( t)

c cos( t) s sin( t) .

	sin( t) c
	cos( t)

			s

(10.29)

Анализ матричных компонентов (10.26) ВМО источника гармонического конечномерного воздействия показывает, что ИКВ этого типа представляет собой структуру из q параллельно включенных цепочек из двух последовательно соединенных интеграторов, в которых сигнал с выхода второго интегратора подается на вход первого через элемент с коэффициентом передачи . При

этом с выхода первого интегратора сигнал по цепи обратной связи с коэффициентом передачи ( ) подается на вход второго. Сигналы с

выходов первых интеграторов каждой из цепочек объединяются на общем сумматоре.

Утверждение 10.4 (У10.4). Затухающие (расходящиеся) гармонические конечномерные воздействия вида (10.12) формируются

ИКВ, имеющим ВМО (10.13) с матричными компонентами E R2q 2q

и P R1 2q вида

E diag E




		row P	1	0 ; 1, q (10.30)
; 1, q	, P	row P	1	0 ; 1, q (10.30)

при векторе начального состояния (10.27).							□
		Доказательство. Решение системы (10.13) относительно векторов
состояния z(t) и выхода (t) имеет вид (10.16). Матричная экспонента
exp(Et) в силу структуры (10.30) матрицы E принимает вид
	Et		E t		t cos( t)	sin( t)
	Et		E t		t cos( t)	sin( t)
e		exp(Et) diag e		e	sin( t)	cos( t) ; 1, q .	(10.31)

Подстановка (10.31) в выражение для (t) с учетом вида (10.30)

матрицы

и представления (10.27)

вектора начального состояния

z(0) дает

sin( t)

(t)

e t

cos( t)

e t sin( t ) . (10.32)

Если

0 , то

воздействие (10.12)

будет

расходящимся, а в

случае 0 – сходящимся. Структурно ИКВ (10.12) совпадает с ИКВ

(10.11) с той разницей, что каждый интегратор ИКВ (10.12) охвачен обратной связью с коэффициентом .

Примечание 10.2 (П10.2). Если возникает необходимость построить источник конечномерного воздействия, которое представляет собой аддитивную смесь воздействий вида (10.9)–(10.12), то он строится в форме (10.13), где матрица E принимает блочно-

170

диагональную	форму с	матричными	блоками	на	диагонали,
записанными в виде (10.14), (10.22), (10.26)			и (10.30). Матрица выхода
такого ИКВ P	строится	в блочно-строчной форме		с	матричными

блоками в строке в виде матриц выхода тех же представлений (10.14), (10.22), (10.26) и (10.30).

10.2. Модели дискретных конечномерных типовых воздействий

Дискретные аналоги (10.2) конечномерных непрерывных типовых воздействий вида (10.9) – (10.12) имеют приводимый ниже вид.

1. Для случая полиномиальной реализации (10.2)

q 1
(k ) k ;	(10.33)

2.Для случая степенной реализации (10.2)

	q

(t)		k ;	(10.34)
(t)		k ;	(10.34)

3.Для случая гармонической реализации (10.2)

q
(k) ( s sin( (t)k) c cos( (t)k)) ;	(10.35)

4.Для затухающей (расходящейся) гармонической реализации

(10.2)

	q
(k)		k (				cos( (t)k)) .	(10.36)
			s	sin( (t)k)	c

Модельные представления источников дискретных конечномерных воздействий (ИДКВ) вида (10.33) – (10.36) в форме автономных дискретных систем вида

z(k 1)			; (k)		z(k)
z(k 1)	Ez(k); z(0) z(k)		; (k)	P	z(k)
		k 0
		k 0
имеют матричные компоненты				E		и P	,

(10.37)

связанные с

компонентами ВМО (10.13) непрерывных КВ соотношениями

	exp(E t) ,		P .	(10.38)
E		P

Явное решение системы (10.37) относительно переменных z(k) и(k) имеет вид

z(k)		k z(0) , (k)			k z(0) .
z(k)	E	k z(0) , (k)	P	E	k z(0) .		(10.39)

Конкретная реализация E и						P	зависит от вида дискретного

конечномерного воздействия (10.2), формируемого на выходе ИДКВ


(10.37). Зададим представления E	и	P	с	помощью системы

утверждений.

Утверждение 10.5 (У10.5). Матрицы E и			P	ВМО ИДКВ (10.33)

имеют представление

171

								1			2				1	q 1
					1		t (2!)		(t)				[(q		1)!] 1(t)q 2
					0		1	t					[(q 2)!]			(t)
	E																,		(10.40)
															t
					0		0	0							t
							0	0							1
					0		0	0							1
						1		0;					1, q 1 .						□(10.41)
			P			1	row(P	0;					1, q 1 .						□(10.41)

Доказательство утверждения строится на непосредственной
подстановке в (10.38) представления(10.17) с заменой t																		на интервал
дискретности t . Подстановка (10.40) и (10.41) в (10.39) дает
										1				2		1	q 1
						1	(t)k	(2!)				(tk)			[(q	1)!] 1(tk)q 2
				k		0	1			tk					[(q 2)!] (tk)
		E		k														,	(10.42)
																tk
						0	0				0					tk
							0				0					1
						0	0				0					1

(k) z

(0) (t)z

(0)k (2!) 1(t)2 z

(0)k 2

[(q 1)!] 1(t)q 1 zq (0)k q 1 .

(10.43)

Сравнение (10.43)

и (10.33) позволяет для

коэффициентов

записать

(!) 1(t) z

(0) ; 0, q 1.

(10.44)

Анализ

представления (10.40) и

(10.41)

ВМО источника

дискретного полиномиального воздействия показывает, что источник этого ДКВ представляет собой структуру, составленную из элементов задержки (ЭЗ), охваченных единичной положительной обратной связью, входы которых связаны с выходами ЭЗ в соответствии с компонентами строк матрицы E (10.40), причем коэффициенты передачи этих связей зависят от значения интервала дискретности t , при этом полиномиальное ДКВ формируется на выходе первого ЭЗ.

Как и в случае непрерывных КВ, выделим типовые

Первое типовое дискретное воздействие обычно характеризуется величиной 0 1 и именуется единичным дискретным воздействием,

его источник (10.37) имеет матричные компоненты и начальные условия вида

E [1	]; P [1];			.	(10.45)
		z (0)	0
1 1		1
Второе типовое дискретное воздействие характеризуется
постоянной	первой	разностью
					(k) (k 1) (k) 1 , его
источник (10.37) имеет компоненты

172

E	1	t	;	P 1	0 ; z(0) 0	(t) 1	1	T .	(10.46)
							1
	0	1
Третье		типовое			дискретное	воздействие			характеризуется

постоянной второй разностью 2 (k) (k 1) (k) 2 2! 2 , источник которого имеет компоненты

		t	0.5(t)	2
	1	t	0.5(t)					0 ; z(0) 0	0 (t) 2 2 . (10.47)
	0		t		;		1 0
E	0	1	t		;	P	1 0

	0	0	1

	Утверждение 10.6 (У10.6). Матрицы E								и P ВМО ИДКВ вида

(10.34) имеют представление

row P

diag

exp( t);

1, q

При

этом

z(0)

(10.39)

задается

z(0) col z (0) ;

1, q

(10.48)

форме

Доказательство утверждения строится на непосредственной

подстановке в (10.38) представления (10.22) с заменой t

на интервал

дискретности t

и дальнейшей подстановкой в (10.39).

■

Утверждение 10.7 (У10.7). Матрицы E

и P

ВМО ИДКВ вида

(10.35) имеют представление

cos( t)

sin( t)

(10.49)

E diag E

sin( t)

; 1, q ,

cos( t)

row

0 ;

(10.50)

1, q

при этом вектор начального состояния z(0) задается в форме

z(0) col

z (0)

s T

;

□(10.51)

1, q

Доказательство утверждения строится на непосредственной

подстановке в (10.38) представления (10.28) с заменой t

на интервал

дискретности t и последующей подстановкой с

учетом (10.51) в

(10.39).

■

Утверждение 10.8 (У10.8). Матрицы E

и P

ВМО ИДКВ вида

(10.36) имеют представление

cos( t)

sin( t)

E diag

; 1, q

(10.52)

sin( t)

cos( t)

row

0 ;

1, q

(10.53)

при этом

вектор

начального

состояния

z(0)

задается в форме

(10.51). □

Доказательство утверждения строится на непосредственной подстановке в (10.38) представления (10.31) с заменой t на интервал

дискретности t	и последующей подстановкой с учетом (10.51) в
(10.39).	■

173

Если в (10.51) 1, то воздействие (10.36) будет затухающим, при 1 – стационарным по амплитуде компонентов, а в случае1 – расходящимся.

В заключение следует сказать, что в случае, когда требуется осуществить исследование динамической системы (объекта) типа


«многомерный вход – многомерный выход» (МВМВ) при векторном
внешнем конечномерном воздействии (t) col j (t); j				в
			1, m
непрерывном случае и (k) col j (k); j		- в дискретном,		то
	1, m

источник векторного КВ формируется из источников скалярных КВ, сепаратные выходы которых подключены к сепаратным входам системы (объекта).

10.3. Конечномерное представление сложных непрерывных воздействий. Базисные функции. Теорема В.Котельникова –

К.Шеннона

Проблема конечномерного представления сложных непрерывных воздействий (сигналов) как элементов функционального пространства

x(t) L2 (T ) имеет две постановочные версии.

В первой постановочной версии, именуемой прямой задачей

конечномерного представления сигналов, ставится задача сопоставления произвольного сигнала x(t) с ограниченной энергией,

т.е. x(t) L2 (T ) его конечному численному представлению. Эта задача сводится к нахождению отображения пространства L2 (T ) в пространство Rn (C n ) , где n выбирается из соображений обеспечения

допустимой погрешности представления.

Прямой подход к решению такой задачи состоит в выборе некоторого n -мерного подпространства L2 (T ) , натянутого на систему

линейно независимых функций, именуемых базисными функциями и

образующих функциональный базис.

Напомним, что если i (t),(i 1, n) – система линейно независимых функций в L2 (T ) , то для t T условие

n
i i (t) 0	(10.54)
i 1
выполняется почти всюду тогда и только	тогда, когда все

i 0, (i 1,n) . Введем в рассмотрение линейное подпространство Ln , натянутое на базисные функции i (t) , т.е. Ln L i (t) . Тогда, если x(t) Ln , то он представим в виде линейной комбинации

174

					n
x(t) i i (t), t T t : t0 t tk ,																																(10.55)
					i 1

при			этом					набор						коэффициентов												i (i 1, n)						образует вектор
( ,			2	,...,			n	)T		Rn (C n ).
	1		2				n
Напомним, что															L2 (T ) есть пространство																	со скалярным
произведением, определяемым выражением
(x, y) x(t) y* (t)dt .																																(10.56)
						T
Тогда						искомое						представление												сигнала				x(t)			в	Rn (C n ) в виде
вектора				( ,							2	,...,			n	)T				найдется						из			векторно–матричного
								1			2				n
соотношения, полученного из (10.55)–(10.56):
(1,1) (2 ,1)														(n ,1) 1												(x,1)
	( ,					)	(			,		)		(						,		)					(x,			)
	( ,					)	(			,		)		(						,		)					(x,			)
		1			2				2		2								n		2				2				2			(10.57)

	( ,					)	(			,		)		(						,		)					(x,			)
	( ,				n	)	(		2	,	n	)		(					n	,	n	)					(x,		n	)
		1			n				2		n								n		n				n				n
или в свернутой форме:
G G 1 ,																																(10.58)
где
col (x,i );i														;																		(10.59)
col (x,i );i													1,n	;																		(10.59)
G row col (i , j );i																		; j							.							(10.60)
G row col (i , j );i																	1, n	; j					1, n		.							(10.60)

Матрица G , определенная в форме (10.60), как известно, называется матрицей Грама. Она может быть использована для оценки

линейной	независимости			системы функций		(i , j ,		i, j 1,n) .
Критерием	линейной	независимости функций i				и	j	является
положительность определителя матрицы Грама
det G det (i , j );		i, j			0.
det G det (i , j );		i, j		1,n	0.
Если	x(t) Ln , то	для	любого вектора x(t) L2 (T )				существует
единственный вектор xˆ Ln , задаваемый представлением
	n
xˆ t i i t								(10.61)

i 1

причем такой, что:

вектор разности (невязка) x xˆ ортогонален всем векторам из Ln , в силу чего выполняется неравенство:

\|\| x xˆ \|\|	~	~	~	xˆ , вектор из
	~	~	~
	x x	, где x	– любой, но такой, что x

Ln .

175

Очевидно, справедливо xˆ именовать ортогональной проекцией x L2 (T ) на Ln , x ˆx – вектором невязки, представляющим собой

погрешность представление вектора x вектором xˆ .

Нетрудно видеть, что погрешность представления элемента x(t)

в форме его

проекции

xˆ(t) может

быть охарактеризована ее

абсолютной оценкой

и относительной оценкой , соответственно

задаваемых выражениями

x xˆ

;

(10.62)

Очевидно, как и в случае конечномерных линейных пространств, в качестве базиса предпочтительнее использовать систему

ортонормированных функций.

Во второй постановочной версии, именуемой обратной задачей

дискретного представления сигналов рассматривается непрерывный сигнал x(t) , удовлетворяющий условиям Дирихле (ограниченность,

кусочная непрерывность, наличие конечного числа разрывов первого

рода и отсутствие разрывов второго рода). Сигнал x(t)			имеет
ограниченный частотный Фурье–спектр X ( j) в том смысле, что
X ( j) 0	при m m ;
X ( j) 0	при	m ,


где X ( j) x(t)e j t dt F X (t) .

Построим дискретное представление сигнала x(t) в форме

x(t) k k (t) ,			(10.63)

вкотором k x(k t) – отсчеты непрерывной функции x(t) в

дискретные моменты времени t k t.
Возникают естественные вопросы:
1.	С каким интервалом	дискретности			t следует	снимать
отсчеты x(k t) ?
2.	Каковыми должны	быть базисные			функции	k (t) в
представлении (10.63) с тем, чтобы невязка			~	t
представлении (10.63) с тем, чтобы невязка			x	t

	~
	~	k k (t)
	x (t) x(t)	k k (t)
		k

этого представления обладала нормой

(10.64)

~ сколь угодно близкой x (t)

к нулю?

На эти вопросы отвечает следующая теорема.

Теорема В. Котельникова–К. Шеннона (ТКШ). Пусть непрерывный сигнал x(t) удовлетворяет условиям Дирихле так, что к

нему может быть применено преобразование Фурье, и при этом

176

обладает ограниченным частотным спектром X ( j) 0 при

m m ; X ( j) 0 при m .

Тогда дискретное представление сигнала (10.63) обладает нулевой

невязкой (10.64), если				sin m (t tk)
t		;	k (t)		;k x(k t).	(10.65)
	m			m (t tk)

Доказательство. В силу преобразуемости по Фурье для сигнала x(t) оказываются справедливыми прямое и обратное интегральные

преобразования Фурье

F x(t) X ( j)

j t dt;

x(t)e

F -1 X ( j ) x(t)

X ( j )e j t dt.

Учтем

ограниченность

спектра

X ( j) 0

при

m m ; X ( j) 0 при

m , тогда для обратного интеграла

Фурье получим представление

x(t)

m X ( j) e j t dt.

(10.66)

Но X ( j) в силу

ограниченности

спектра предствим

бесконечным рядом по частоте, записываемый в форме

j(k

)

j k

X ( j) Ck e

Ck e

(10.67)

где k k k

Введем

обозначение

тогда становится справедливой

запись ряда (10.67) в форме

j(k

)

jk t

X ( j)

Ck e

(10.68)

при этом коэффициенты ряда Ck

вычисляются в силу соотношения

x(t)

X ( j) e jk t d .

(10.69)

Сравнивая представления (10.66) и (10.69) нетрудно установить

для моментов времени t k t

выполнение равенства

x(k t).

(10.70)

177

Подставим выражение (10.70) в ряд Фурье (10.68)


X ( j )	Ck e jk t		x( k t)e jk t .	(10.71)

	k	k m
Если спектральную		функцию X ( j) исходного		сигнала x(t)

полученного выше вида подставить в обратный интеграл Фурье (10.66), то для сигнала x(t) получим представление

x(t)	1	m	X ( j )e j t d		1	m	x( k t)e jk t e j t d .


	2	m			2	m k m
Произведем				в полученном		выражении замену k k , тогда

получим представление

	1	m		1
x(t)	1		x (k t)e j (t k t)d	1	x (k t)
x(t)			x (k t)e j (t k t)d		x (k t)
	2m		k	2m k
		m

Вычислим отдельно интеграл

m e j (t k t)d.m

j (t k t )

j(t

k t)

e j (t k t ) m e j (t k t ) m

j(t k t)

e j (t k t ) m e j (t k t ) m

sin (t k t)

(t k t)

2 j

(t k t) m

Подставим полученное представление интеграла в выражение для

оригинала x(t) , тогда будем иметь

sin (t k t) m

x(t)

x(k t) 2

2m k

(t k t)

sin (t k t) m

x(k t)

k k ,

■(10.72)

k t) m

где

x(k t);

(t)

sin (t k t) m

; t

(t k t) m

Примечание

10.3

(П10.3).

Базисная

функция

k (t)

sin (t k t) m

называется функцией отсчета, она обладает

k t) m

свойствами:

1.при t k t функция отсчета k (t) в силу первого

замечательного предела обладает максимумом, равным единице;

2.в моменты времени t кратные t , так что t l( t) функция отсчета k (t) принимает нулевое значение;

3.на бесконечно большом интервале времени функции отсчета с различными индексами (t) и (t) ортогональны так, что система

178

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3018 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.201927.12 Кб0Монополия.docx
#
20.03.201625.6 Кб26монопсония.doc
#
27.04.201927.48 Кб24Монохроматичность.docx
#
14.04.201515.38 Кб92Московская русь.docx
#
04.11.201837.95 Кб3Московское государство.Отличный конспект.docx
#
14.04.201511.04 Mб77МОТС ИТМО.pdf
#
16.08.20191.41 Mб17МСУ.doc
#
16.07.2019101.38 Кб9МУ к лаб раб.doc
#
20.03.20161.16 Mб27МУ МИКРО 2013.doc
#
16.11.20191.28 Mб11МУ по стат..DOC
#
02.11.201813.05 Mб14МФ и ТД 2011.doc