МОТС ИТМО

AT P PA PBVBT P Q ,

(12.1)

где V V T , V 0.

Тогда уравнение Ляпунова

F T P PF Q

(12.2)

с матрицами F A BK и

F T AT K T BT , где K R 1BT P ,

совпадает с матричным уравнением Риккати (12.1) при V 2R 1 .

□

Доказательство. Для доказательства У12.1 достаточно в (12.1)

положить V 2R 1 , в (12.2)

подставить F A BR 1BT P

и

F T AT PBR 1BT , и убедиться в совпадении левых и правых частей

(12.1) и (12.2).

■

AT P PA PBVBT P P ,

(12.3)

то оно может быть сведено к уравнению Ляпунова вида

( A

1

1I )T P 1 P 1 ( AT

1

1I ) BVBT .

(12.4)

2

2

Доказательство. Умножим уравнение Риккати (12.3) слева и

справа на матрицу P 1 , тогда получим

P 1 AT AP 1 BVBT P 1

В полученном

матричном

уравнении относительно матрицы

P 1 все члены ее содержащие разместим в левой части уравнения, а не

содержащие ее – в правой, тогда получим (12.4).

■

Утверждение 12.3 (У9.3).

Матрицы P и

Q : P PT ,

P 0;

Q QT , Q 0 вида

P (M 1 )T M 1 , Q (M 1)T (Γ ΓT )M 1 ,

(12.5)

где матрицы M

и Γ удовлетворяют матричному уравнению

Сильвестра

M Γ AM BH

(12.6)

удовлетворяют

матричному уравнению

Ляпунова

(12.2).

□

F M M 1 , FT (M 1)T ΓT M T .

(12.8)

Подстановка в (12.2) матриц P и Q вида (12.5), а также F и F T

вида (12.8) дает

FT P PF (M 1 )T ΓT M T(M 1 )T M 1 (M 1 )T M 1M M 1

(12.9)

,

(M 1)T (Γ ΓT )M 1 Q

что доказывает справедливость утверждения 12.3.

■

Примечание 12.1 (П12.1). Необходимо заметить, что матрица

Γ ΓT , в которой матрица Γ имеют спектр собственных значений

i : Re λi 0;i

с отрицательными вещественными частями, не в

1,n

любом базисе ее представления является положительно определенной.

Эта матрица является гарантировано положительно определенной,

если матрица

Γ

является диагональной

Γ Λ или

блочно –

диагональной

Γ

~

Λ .Действительно в этом случае имеет место

представление Γ ΓT diag 2Re i ;i

.

1,n

Утверждение 12.4 (У12.4). Матрицы P и Q вида

P (M 1 )T M 1 , Q (M 1 )T ( T ) H T BR 1BT H M 1, (12.10)

где матрицы , M , H и R удовлетворяют модифицированному

УС

M AM BR 1BT H , HM T I ,

(12.11)

уравнения вида

MS RM U

(12.13)

или

MS RM VW ,

(12.14)

в которых соблюдаются соотношения размерностей матричных

компонентов

dimM dimS dimR dimU dim VW n n .

(12.15)

справедливой запись

~ ~

~

(12.17)

TM U ,

~

T

R I I

S

T

,

(12.18)

где T R S

, - символы кронекеровских суммы и произведения матриц,

n

2

~

~

мерные векторы M и U имеют структуру

~

T

T

T T

~

T

T

T T

(12.19)

M M1

, M 2

,...,M n

, U

U1

,U2 ,...,Un ,

M и U, i

.

Mi ,Ui

– i-й

столбец соответственно

матриц

1, n

Решение уравнения (12.17) находится стандартным способом в форме

~

~ 1 ~

(12.20)

M

T U .

~

Из

столбца

формируется

искомая

матрица

M

M M1 M 2 M n .

Примечание 12.3 (П12.3). Ключевым моментом реализуемости

предлагаемого способа

решения является обратимость

~

матрицы T

собственных

значений

матриц

R и S T .Таким образом обратимость

матрицы

~

будет

обеспечена, если алгебраические спектры

T

собственных значений матриц S

и R не будут пересекаться, то есть

значений матриц S

и R , то есть

выполнение соотношения

S R Ø;

– управляемость пары матриц R ,V ;

– наблюдаемость пары матриц S ,W .

Доказательство.

Необходимость

выполнения

условия

Для

этих

целей

предположим, что матрица

S

задана в

S S diag si ; i

так,

диагональной

форме

1,n

что

уравнение

(12.14)

принимает

вид M S RM VW .Запишем

последнее

M Si RMi

VWi ; i 1,n.

(12.21)

Столбец Si

имеет

вид Si 0Ti 1 | si | 0Tn i T , подстановка

которого в

векторно–матричное уравнение

(12.21) дает

( si R)Mi VWi , i 1, n ,

откуда для матрицы M получим представление

M row M

R 1VW ; i

.

(12.22)

i

si

1,n

i

Покажем теперь справедливость требования управляемости

пары матриц

R ,V . Для этих

целей

воспользуемся

разложением

Д.Фаддеева матрицы (

si

R) 1 ,

в соответствии с которым получаем

развернутое по степеням матрицы R представление

Ι R 1

1

D

(

)Ι D

(

)R D

(

)R2 D (

)Rn 1 ,(12.23)

si

si

si

si

si

D( si )

n 1

n 2

n 3

0

Из (12.27) следует, что матрица M оказывается невырожденной,

то есть M 1 , если

rang

V | RV | | Rn 1V n ,

то

есть

если пара

матриц R , V управляема.

Для целей дальнейших исследований транспонируем матричное

уравнение (12.14), тогда получим

M T RT ST M T W TV T .

(12.28)

Теперь сделаем предположение, что матрица R задана в

R R diag Ri ; i

диагональной

форме

1,n

так,

что

уравнение

(12.28) принимает вид M T

R

ST M T W TV T .

Запишем последнее матричное уравнение в виде системы

векторно – матричных уравнений вида

M T

S T M T W TV T ;i

.

(12.29)

Ri

1, n

i

i