МОТС ИТМО

Утверждение 4.1 (У4.1). Матрица M , приводящая произвольную

n n

квадратную матрицу A простой структуры ЛО A к

A представление

M 1 AM

(4.16)

M 1

2 ...

i

...

n A M1

M2

... Mi

...

Mn

(4.17)

где i , Mi

–

i ые столбцы

соответственно

матриц

и

M , i

. Перейдем

теперь от

матричного

уравнения (4.17)

к

1, n

n векторно-матричным уравнениям вида

M i AMi ; i

(4.18)

1,n

где i ый столбец i

диагональной матрицы

имеет вид

i

0 ...

0

i

0

... 0 T .

(4.19)

Нетрудно видеть, что с учетом (4.19) векторно-матричное

уравнение (4.18) принимает вид

i Mi AMi ;i 1, n .

(4.20)

Векторно-матричное соотношение (4.20) является определением

собственного

вектора

матрицы

A ,

откуда

следует,

что

Mi собственный вектор матрицы A .

■

Утверждение

4.2

(У4.2). Пусть матрица

A ЛО A является

фробениусова

форма

AF , имеющая представление

(4.13), обладает

собственными векторами

i

arg AF i i i ;i

,

(4.21)

1, n

которые строятся по схеме Вандермонда так, что они принимают

вид

1

n 1 T ; i

2 ...

i

1, n.

(4.22)

i

i

i

n

n

n i 0 ,

a

(4.24)

i

i 1

i i

из

которой

следует

справедливость

представления

n

n l

n

a

(4.25)

l

i

i

l 1

подстановка которого в (4.23) приводит последнее к виду

A

i

1

2 ...

n 1 T .

(4.26)

F

i

i

i

i

Соотношение (4.26) делает справедливым утверждение 4.2.

■

Доказательство утверждения 4.2. и положения утверждения

4.1

содержат доказательство утверждения 4.3.

Утверждение 4.3

(У4.3).

Пусть матрица AF

является

канонической строчной фробениусовой формой матриц ЛО A простой

структуры,

тогда матрица

AF

может быть приведена к канонической

диагональной

форме

(4.3)

с

помощью матрицы

Вандермонда

M В ,

столбцы которой

i

суть собственные вектора вида (4.22)

M Bi

1,n

так, что она принимает вид

M

B

row M

Bi

i

1

2

... n 1 T ; i

1, n.

i

i

i

1

1

...

1

1

2

...

n

.

■(4.27)

2

2

...

2

1

2

n

...

...

... ...

n 1

n 1

...

n 1

1

2

n

~

Рассмотрим

теперь

задачу

конструирования матрицы

M

приведения исходной матрицы

A ,

обладающей комплекснозначным

диагональной форме

(4.5) в силу матричного

соотношения

~ ~

~

M 1 AM .

Утверждение 4.4

(У4.4). Пусть ( n n ) матрица

A такова, что

R,2i 1

j

J ,2i 1

;

2i

R,2i

j

;

2i 1

J ,2i

{ 2i 1; 2i ;i 1, n / 2}

. (4.28)

1 2i 1 2i 1; A 2i 2i 2i ;i

1,n / 2.

A 2i

~

~ 1

~

~

i

i

~

M

arg M

AM diag ii

;i 1, n / 2;

i

i

~

~

row M 2i 1

M 2i ;i 1, n / 2;

~

имеет своими столбцами

~

соответственно вещественный и

M 2i 1

, M 2i

мнимый компоненты собственных векторов, что записывается в форме

~

~

M 2i 1

R,2i 1, M 2i J ,2i 1.

□

представлений собственных значений и векторов в форме

2i 1 i j i ; 2i

i j i : i

1, n / 2

2i 1 R,2i 1 j J ,2i 1; 2i R,2i j J ,2i ;i 1,n / 2.

и последующем

разделении полученных выражений на

A i I Ri i Ji ; A i I Ji i Ri .

~~

(4.29)

В свою очередь, если записать уравнение подобия

~

M AM , в

Решение последнего матричного уравнения относительно матриц-

~

~

столбцов M 2i 1

, M 2i приводит к соотношениям

~

~

~

~

A i I M

2i 1 i M 2i

; A i I M 2i i M 2i 1.

делает справедливыми положения утверждения.

■

Примечание 4.1 (ПР4.1). Если спектр собственных значений

матриц ЛО A является комбинированным так, что он содержит как

вещественные некратные собственные значения,

так и комплексно-

сопряженные некратные собственные значения,

при этом примера

ради

имеет

реализацию

вида

(4.8)

A 1,2

j ; i : Jm( i ) 0; i l ;i l;i,l

, то

3, n

исходная

матрица A

приводима к блочно диагональной канонической форме

собственными значениями. Так в случае,

когда исходная матрица

A

ЛО A имеет каноническую строчную фробениусову форму

AF , то

~

M

~

является

обобщенной матрицей

Вандермонда

M B ,

имеющей

представление

Jm 0

Re 0

0 ...

0

1

1

3

n

~

Re 11

Jm 11

13 ...

1n

Re 2

Jm 2

2 ...

2

.

(4.30)

M B

1

1

3

n

...

...

... ...

...

Re n 1

Jm n 1

n 1 ...

n 1

1

1

3

n

В заключение покажем, что матрица Вандермонда M B

и матрица

M собственных векторов произвольной матрицы A простой структуры

ЛО A позволяют

приводить

матрицу A

к

канонической

строчной

фробениусовой

форме

AF .

Действительно

обе

матрицы

M и

M B

решают задачу диагонализации матриц A и AF

в формах

M 1AM ; M

B

1A M

B

.

(4.31)

F

Приведенные матричные соотношения позволяют составить

матричное равенство

M

1 A M

B

M 1 AM ,

B

F

которое в разрешенном относительно матрицы

AF

виде

записывается

A M

B

M 1 AMM 1

M

1 AM

F

,

(4.32)

F

B

F

M

F

MM

1

–

матрица

приведения

произвольной матрицы

A

B

простой структуры к матрице AF , являющейся канонической строчной

фробениусовой формой матриц ЛО A .

Теперь

остановимся

на

формировании

матрицы

T приведения

произвольной

матрицы

A

c

вещественным

спектром

кратных

собственных значений, определяемой в силу соотношения

TJ AT .

(4.33)

Простоты ради выкладок будем для начала полагать, что

кратность

собственного

значения

удовлетворяет

условию

n.Формирование матрицы T

осуществим на основе следующего

утверждения.

Утверждение

4.5

(У4.5).

Матрица

T

приведения

подобия

i

T col T ;i 1,n ,

(4.34)

столбцы которой определяются из условий:

T1 AT1;Ti (A I )Ti 1;i 1,n 1.

(4.35)

1

0

0

0

1

0

T1

A T1

,

T2 T3

Tn

T2 T3

Tn

0

0

0

1

0

0

0

T1 AT1,T1 T2 AT2 ,

Tn 1 Tn ATn ,

обобщением чего

является запись (4.35).

■

4.1.1.

4.1.2.

4.1.3.

4.1.4.

3

0

0

1

0

1

0

12

7

5

21

4

5

4

1

4

4.1.5.

4.1.6.

4.1.7.

4.1.8.

3

9

0

21

0

5

2

0

0

5

1

4

1

4

7

6

4.1.9.

4.1.10.

4.1.11.

4.1.12.

1

2

1

4

0

15

7

0

8

5

2

3

1`

8

8

3

4.1.13.

4.1.14.

4.1.15.

4.1.16.

3

8

6

10

1

1

5

16

1

1

0

2

8

7

1

1

4.1.17.

4.1.18.

4.1.19.

4.1.20.

5

8

12

7

1

1

5

8

5

2

9

12

8

24

9

1

4.2.Привести

к

нормальной жордановой форме и определить

матрицы преобразования T матриц A вида:

1 1

1

0

1

0

4.2.1.

A

0

1

4

; 4.2.2.

A

0

0

1

;

0 1

3

8

12

6

2 1

3

2 0

0

4.2.3.

A

0

2

5

; .4.2.

A

5

2

0 .

0 0

2

9 1

2

A

1

4

: A 1, 5 ;

2 ,

2

1

2

1

2

1

3

1

1

Задача

1:

Привести

матрицу

A

к диагональной

форме

1

0

с помощью матричного соотношения M 1 AM , где

0

5

M M1 1

2

1

2

1

1

1

1

M 2

2

; M 1

1

3

3

,

1

1

1

1

3

2

3

тогда

1

1

1

4 2

1

1

0

1

3

3

M

AM

2

3 1

1

0

5 .

1

3

3

2

Задача

2: Привести матрицу

A

к строчной сопровождающей

D det I A 2 5 2 4 5.

1

2

Сопровождающая форма AF исходной матрицы A принимает вид

0

1

, решим задачу ее диагонализации с помощью матрицы

AF

5

4

ВандТеперь

приведем исходную

матрицу A к сопровождающей

A M

B

M 1 AMM 1

1

1 2

1 1

1

4 2

1 1

1 1

0

1

F

B

2

1

5 1

1

3 1

1 1

5

5

4

Поставленная задача решена.

Решение

задачи

4.2.на

примере

матрицы

4.2.1.

Характеристическое уравнение ( ) 0 исходной матрицы A дает для

нее три одинаковые

собственные

значения

1 2

3

1,

0

1

-1

A I A-(-1)I 0

2

24

0 1

-2

равен единице, следовательно,

собственное подпространство

N A 1 I является одномерным.

1

0

1

1

0

J

0

1

0

1

1 .

0

0

0

0

1

Уравнение

TJ AT ,

записанное

в столбцовой форме

1

0

T

T

T

0

1

A T

T

T

порождает

систему

1

2

3

1

2

3

0

0

соотношений

T1 AT1; T1 T2 AT2; T2 T3 AT3.

Последовательное решение этих уравнений без использования

процедуры обращения позволяет сконструировать матрицу T в форме

1

0

0

T T

T

T

0

2

1

, в результате чего

уравнение

1

2

3

0

1

1

1

0

0 1

1

1

1 1

0

0

1

1

0

J T 1 AT 0

2

1

0

1

4 0

2

1

0

1

1 .

■

0

1

1

0

1

3 0

1

1

0

0

1

F1( 1x1

2 x2 ) 1F1(x1) 2 F2 (x2 )

(5.1)

для любых векторов x1 и x2 и любых действительных чисел 1

и 2 .

e ,e ,...,e – естественный базис в пространстве Rn ,

Пусть

1

2

n

x [x , x

2

,...,x

n

]T

– вектор–столбец координат вектора

x в этом базисе,

1

тогда любая линейная форма F1(x) может быть

представлена в

следующем виде:

F1(x) 1x1

2 x2 ... n xn ,

(5.2)

где

k

F1(ek ),k

1,n

. Наоборот, при любых

действительных

числах 1, 2 , ..., n

выражение (5.2) определяет некоторую линейную

N(F ) {x Rn : F (x) 0}

(5.3)

1

1

Линейную форму (5.2) можно записать в

E n как скалярное

произведение

F1 (x) (x, ) ( , x) ,

(5.4)

(x, N) (N, x) b ,

(5.5)

где вектор N L есть нормаль к гиперплоскости

H, b –

действительных переменных x1, x2 , ..., xn

называется функция вида

n n

F2 (x) aij xi x j ,

(5.6)

i 1 j 1

где aij – действительные числа.

F (x) ( Ax, x) xT Ax (

x

)

2 .

(5.7)

2

A

Рангом квадратичной формы F2 (x)

называется ранг ее матрицы

A . При замене переменных

x Ty

форма

F2 (x)

становиться

квадратичной формой F2 ( у) новых переменных

y1, y2 ,...,yn , причем

матрица B этой форме связана с матрицей A соотношением

B T T AT ,

(5.8)

при этом если матрица T

неособенная, то

ранг

квадратичной

формы не меняется.

Любую квадратичную форму F2 (x)

ранга r можно неособенным

линейным преобразованием привести к каноническому виду.

F ( y) y2

2

y2

...

r

y2 ,

(5.9)

2

1 1

2

r

где k , k

1, r

– все отличные от нуля числа. Канонический вид

пространстве E n ,

соответствующих

собственным значениям

1, 2 ,..., n матрицы

A , которые все

являются действительными