Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МОТС ИТМО

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

11.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3025 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Для доказательства утверждения используется тот факт, что в силу (13.06) и (13.08) условие (13.29) эквивалентно выполнению предельного перехода

lim j (t) 0	j	1, p	.	(13.30)
t

Тогда управляемость тройки матриц (C j , Aj , Bj )				j	1, p

гарантирует существование такого закона управления, при котором выполняется (13.30), а, следовательно, (13.29). ■ Требования к ресурсам управления заметно снижаются, если изначально ограничиться задачей обеспечения траекторной нечувствительности выхода проектируемой системы. На уровне требований к структурным свойствам агрегированной системы (13.17), (13.18) задача сводится к контролю управляемости тройки матриц

(C j , Aj , Bj ) и количественной

оценке эффекта

управления по

переменной

при

приложении

управления u(t)

фиксированной

нормы с помощью сингулярных чисел матрицы управляемости

C B

C A

A2n 1B .

(13.31)

y j

j j

Следует

заметить,

что

если

ранг

матриц Bj

и C j больше

единицы, то матрица управляемости (13.31) по выходу составляется для всех возможных композиций столбцов матрицы Bj и всех строк

матрицы C j . Ранжирование параметров q j ( j 1, p) осуществляется по значению сингулярных чисел {Wq j }. Чем эти числа меньше, тем большими по норме управлениями достигается асимптотическая траекторная нечувствительность данного компонента y j (t) ( j 1, m) вектора выхода y(t) к вариациям j-го элемента q j вектора параметров q . Нулевому сингулярному числу соответствуют бесконечные по

норме управления, с помощью которых достигается асимптотическая траекторная нечувствительность компонента y j (t) вектора выхода

y(t) .

Пример 13.1 (ПР13.1) Рассмотрим исполнительный электропривод (ЭП) проектируемой следящей системы, описываемый передаточной функцией

WЭП	(s)	Kдв
		(Tдв s	1)s

при номинальном значении параметров и передаточной функцией

239

WЭП	(s, q)		Kдв (1 q1)
		(Tдв	(1 q2 )s 1)s

при

варьируемых

параметрах

q1 q10

q1; q2 q20 q2; q10 q20 0;

0.3.

выражениях

для

передаточных функций

дв

рад с 1

В 1,Т

дв

0.1 с. Для составления векторно–матричного

описания ОУ (13.10), (13.16), МТЧ (13.15) и агрегированных систем (13.17), (13.18) запишем передаточную матрицу ЭП в форме

						Kдв					1 q1			1					200		1			1 q1		1
																			200				1 q
Wэп (s, q)					Т				дв	1 q				s							s		1 q				s
									дв			2											2						.
				1						1										1 10			1		1				.
										1													1		1

								Tдв (1 q2 )							1								1 q2 s
															s								1 q2 s


Воспользуемся											базисом						представления											передаточной функции
Wэп (s, q) , в котором от q1													и q2				зависит только матрица состояния, тогда
векторно-матричное описание (13.10) ОУ получает вид
x(t,q) A(q)x(t,q) Bu(t);																				y(t) Cx(t) ,
в котором
								1 q
		0								1
		0					1 q													0				C 1				0 .
A(q)							1 q					; B								0
A(q)										2		; B								;
										10							200
		0
		0								q2
							1			q2
Матрицы номинального ОУ (13.16) имеют реализации
0			1										0			; C 1								0 .
A							;			B						; C 1								0 .
0		10										200
Матрицы моделей траекторий чувствительности (13.15):
A	0		1			; B						0		;			C		0			0 ;
q1										q1								q1
	0		0									0
A	0		1				;			B			0		;		C			0				0 .
q1			10								q1									q1
	0		10										0

Матрицы агрегированной системы (13.17), (13.18) имеют представление:

240

0 0

200

C 1

0 1

;

0 0

0 1 0

Aq1

Bq1

C 0 0

1 0 ;

A 0

10 0

B ;

C 2

C 1 ;

;

1 0

C 1 ;

Aq2

Bq2

C 2

Проверим управляемость агрегированных систем по состоянию

j (t)

выходу

j (t) ( j 1,2)

помощью

матриц

управляемости

(13.28) и

(13.31), которые с учетом n=2 имеют реализации

Wy j

~ ~

~3 ~

200

2000

20000

Wy 1

C 1 B1

C 1

A1B1

C 1

;

~ ~ ~

~ ~2

~ ~3

200

2000

20000 ;

C B1

A1B1

C A1

B1 0

~ ~

~ ~2

~ ~3

Wy 2

C 2 B2

C 2

A2 B2

C 2

C 2 A2

200

4000

60000

2000

40000

600000

;

~ ~

~ ~2

~ ~3

C B2

A2 B2

C A2 B2

200

4000

60000 .

Ранги

соответственно

равны

матриц Wy

rang Wy

агрегированные системы (13.17), (13.18) с составными

rang Wy 2

векторами

состояний

col x, 2

не

являются

x1 col x, 1

полностью управляемыми

по

векторам

1 t

2 t ,

поэтому

недостаточно выполнения условия асимптотической сходимости

(13.29) по состоянию параметрически возмущенного ОУ. Ранги матриц

Wy равны

что

совпадает

rang Wy rang Wy

размерностью m 1 вектора выхода.

Таким образом, выбором закона

управления можно обеспечить сходимость lim y t,q0 , q j

0; j

1,2

заданным темпом. Сингулярные числа матриц Wy j j

1,2

принимают

значения

2 104 ; Wy

6 104 .

Отсюда

следует,

что

асимптотическая

сходимость к

нулю

дополнительного

движения

241

y t,q0 , q1 потребует больших затрат на управление, чем сходимость дополнительного движения y t,q0 , q2 с тем же темпом.

Рассмотрим теперь возможности аппарата функций траекторной чувствительности применительно к исследованию спроектированной системы в условиях параметрической неопределенности, а, следовательно, к оценке эффекта введения регулятора, реализующего

просинтезированный закон управления.
При произвольном значении q q0 q векторе	параметров
исследуемая система имеет векторно-матричное представление
x(t,q) F(q)x(t,q) G(q)g(t); x(0); y(t,q) C(q)x(t,q) ,	(13.32)
(t, q) g(t) y(t, q),	(13.33)

где g(t) –экзогенное воздействие, (t, q) – ошибка

воспроизведения системой (13.32) внешнего воздействия. Система (13.32) образована агрегированием ОУ (13.33) и устройства управления, реализующего закон управления (ЗУ) в форме

u t Kg g t Kx t

(13.34)

в виде прямой связи (ПС) по экзогенному воздействию и отрицательной обратной связи (ОС) по вектору состояния ОУ, матрицы которого Kg и K просинтезированы для случая номинальной

версии (13.16) объекта управления так, чтобы доставить номинальной системе желаемые свойства в переходном и установившемся режимах при воспроизведении экзогенного воздействия. Закон управления в форме (13.34) предполагает измеримость экзогенного воздействия. Если это предположение не реализуемо, то прямая связь осуществляется по ошибке так, что ЗУ принимает вид

u t K t Kx x t ; Kx

K K C.

(13.35)

Модель траекторной чувствительности системы (13.32), (13.33),

если ввести обозначения

F q

G q

; F q

F;G q |

q q

, (13.36)

q j

по аналогии с (13.15) (см. рисунок 13.2) имеет вид

j (t) F j (t) Fq j

x(t) Gq j

g(t); j (t) C j (t) Cq j x(t) .

(13.37)

Функция траекторной

чувствительности j (t)

вектора

ошибки

удовлетворяет условию

(t, q)

g(t) y(t, q)

j (t)

y j (t) .

(13.38)

q j

q q0

q j

q q0

242

x t

y t

u t

x t

Если по аналогии с (13.17),s

(13.18) ввести в рассмотрение

агрегированную систему с вектором состояния xj (t) col x, j ,то для

нее получим

(t) Fj xj

(t)

Gj g(t); x j (0) col x(0),0 ,

(13.39)

x(t)

Cxj xj

(t); y(t)

C j x j (t);

Aq j

(13.40)

j (t)

C j x j

(tj) ,

(t) C x

(t);

(t) (t)

j t

(13.41)

jj t

j t

Bq j

где

: Gj

(13.42)

q j

а матрицы C

x j

, C

и C

задаются в форме (13.20).

Рисунок 2.4

g t

x t

Fq j

j t

Gq j

x t	y t	y t, q j
	C
	y t, q j
		q j
	Cq
	j
j t
	C	j t
	C

Рисунок 13.2 Модель траекторной чувствительности, дополненная номинальной модельюРисуноксистемы2.5 (13.32), (13.33)

Если провести агрегирование номинальной системы и всех p

МТЧ вида	(13.37) путем введения вектора x col x, j ; j 1, p
размерности	dim x p 1 n , то векторно-матричное представление

такой системы по аналогии с (13.21)–(13.24) получает представление

	col x(0), j (0)			,
x t Fx(t) Gg (t); x(0)		0; j	l, p		(13.43)
x t Cx x t ; y(t) C x(t); (t) C x(t); (t)		C x(t); (t) (t) ,			(13.44)

243

где

	F				On np
F						,
F						,
col Fqj ; j l, p				diag Fjj F; j l, p

G col G,Gq j ; j				.			(13.45)
G col G,Gq j ; j		1, p		.			(13.45)
Матрицы Сx , С , С					С определяются посредством		(13.24)–
(13.26).
Анализ	свойств		спроектированной			системы в	условиях

параметрической неопределенности ее функциональных компонентов может быть осуществлен визуально траекторным методом.

Траекторный метод предполагает визуальное конструирование оценок максимального и минимального размеров сечений трубки, в

которой	размещаются	движения	x(g(t),q0 , q,t) по состоянию,
y(g(t),q0 , q,t) и g t , q0 , q,t			по выходу и ошибке.
Если	эта задача	решается в глобальной постановке, т.е. на

множестве всех параметров q j j 1, p , образующих вектор p, то для

формирования оценок, как это уже отмечено в начале параграфа, целесообразно использовать SVD–анализ применительно к матрицам чувствительности (t) (13.31) и t (13.32), конструируемым с

помощью агрегированной системы (13.43)–(13.45).

Если задача решается в локальной покомпонентной форме, то оценки максимальных размеров трубок дополнительных движенийxi (g(t),q0 , q,t) и yl (g(t),q0 , q,t) на множестве угловых реализаций вектора q , параметризованные временем t, определяются

соотношениями

g t , q0 , q,t

ji t

q j

(13.46)

xi t max xi

g t

, q0 , q,t

jl t

q j

(13.47)

yl t max yl

l t yl (t) .

(13.48)

Пример 13.2 (ПР13.2) Рассматривается система, представляющая

собой объединение ОУ с передаточной функцией Woy s

(s 1)s

УУ, доставляющего

матрице

F A BK

распределение мод

Баттерворта

с характеристической

частотой 10с 1 ,

так

что ее

собственные значения имеют реализацию 1,2 10(0,707

j0.707) .

Ставится задача сравнить по чувствительности реализации ЗУ (13.34) в информационно, но не структурно, идентичных формах

244

u t K 1 q3 t Kx x t ,																					(13.49)
u t Kg (1 q1)g(t) Ky (1 q2 ) y(t) Kx x(t)																					(13.50)
применительно к дополнительному установившемуся движению по
выходу при ступенчатом входном воздействии												g(t) g01(t) .									Модель
(13.16)		номинального					OУ		характеризуется									матрицами
0		1		0			0 .
A		; B		;C 1			0 .
0	1			1
Система (13.32) при номинальном значении вектора параметров
q q0	0		характеризуется					матрицами					F				0					1
q q0	0		характеризуется					матрицами					F										;
															100						14.1
0			0]. Система (13.32) при реализации ЗУ в форме (13.50)
G	;C [1		0]. Система (13.32) при реализации ЗУ в форме (13.50)
100
							0	1						0								0], а
имеет матрицы F (q)									;G(q)							;C [1						0], а
						100(1 q2 )		14.1			100(1 q1)
при реализации ЗУ в форме (13.49)
					0		1			0
F (q)							;G(q)					.
		100(1 q3 )					14.1		100(1 q3 )
													j	col					j
Агрегированные						системы		с векторами				x		col			x,				; j	1,3
(13.39)–(13.42) характеризуются матрицами
						0	1	0	0					0

F		F	0		100		14.1	0	0	;G		100 ;G							0			0	1	0
1			F			0	0	0	1		1			0			1
		Fq1	F			0	0	0	1					0
								100
						0	0	100	14.1				100
;
						0	1	0	0					0

F		F	0		100		14.1	0	0	;G		100 ;G								0		0	1	0
2						0	0	0	1		2			0			2
		Fq 2	F			0	0	0	1					0
								100
					100		0	100	14.1					0
;
						0	1	0	0					0

F		F	0		100		14.1	0	0	;G		100 ;G								0		0	1	0
3			F			0	0	0	1		3			0			3
		Fq 2	F			0	0	0	1					0
								100
					100		0	100	14.1				100

245

Для решения поставленной задачи используем структурный подход, основанный на аппарате передаточных функций, для которых

1(s)

(sI F ) 1G

100

(s)

;

s2 14,1s 100

g(s)

2 (s)

(sI F ) 1G

(100)

(s)

;

(s2 14,1s 100)2

2 g

g(s)

3 (s)

(sI F ) 1G

100s(s 14,1)

(s)

(s2 14,1s 100)2

g(s)

Анализ установившегося значения функций чувствительности по выходу на основе их лапласовых образов при скачкообразном входе g(t) g01(t)

j (s) Ф j (s)g(s)

дает:

1уст	lim 1(t) g0 limФ (s) g0 ,
	t	s 0	1
			1
2 уст	lim 2	(t) g0 limФ (s) g0 ,
	t	s 0	2
			2
3 уст	lim 3	(t) g0 limФ (s) 0.
	t	s 0	3
			3

Таким образом, дополнительные движения по выходу в установившемся режиме при ступенчатом внешнем воздействии, соответственно при реализации закона управления в форме (13.50) и (13.49), получают представления

yуст t 3уст q3 0, yуст t 1уст q1 2 уст q2 g0 q1 q2 .■

13.2 Модели траекторной параметрической чувствительности дискретных динамических объектов и систем

В заключение рассмотрим возможности аппарата функций траекторной чувствительности к исследованию дополнительных движений дискретных по времени динамических объектов и систем

по состоянию,


x k, q0 , q x(k,q0	q) x(k,q0 ) (k) q ,	(13.51)
и выходу,
y k,q0 , q y k,q0	q y k,q0 k q ,	(13.52)

где k – дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительности t , для дискретных динамических систем на примере

246

x k 1,q A(q)x(k,q) B(q)u(k); x(0); y(k,q) C(q)x(k,q) . (13.53)

Будем придерживаться концепции дискретного объекта управления (ДОУ), состоящей в том, что ДОУ (13.53) представляет собой дискретную по времени с интервалом дискретности

длительности t		выборку из непрерывных процессов по вектору
состояния	x(t, q) и выходу y(t, q) при фиксированном на интервале
t tk, t k 1		значении управления u(t) u( tk) u(k) . Эта

концепция связывает матрицы непрерывного (13.16) и дискретного ОУ (13.53) известными функциональными соотношениями:


		(q) eA(q) t ;		(q) A 1(q) eA(q) t I B(q);C		(q) C(q) ,	(13.54)
	A		B
если при выводе управления из устройства, его формирующего и
осуществляющего				цифро–аналоговое	преобразование,		можно
пренебречь задержкой по сравнению					с t . Если задержкой
пренебречь нельзя, то размерность вектора ДОУ становится							на	r
больше размерности вектора состояния непрерывного ОУ, где r								–

размерность вектора управления, а матрицы модели (13.53) принимают вид

A(q) t

A(q)

eA(q)( t ) I

A 1

(q)B(q)

(q) e

(I e

(q)B(q)

;

,(13.55)

Or n

Or r

r r

0m r .

(13.56)

Матрицы

функций чувствительности

k и

строятся в

форме (13.08), (13.09) на основе гипотезы о том, что в каждый
дискретный момент	времени		векторы x k, g		и	y k, g
дифференцируемы по q :
	x k, q



k row j k			; j 1, p	,		(13.57)
k row j k	q j		; j 1, p	,		(13.57)
	q j
		q q0
		q q0

k row η

k y k, q |

q q

; j 1, p .

(13.58)

Модель траекторной чувствительности, необходимая для

генерирования

функций траекторной чувствительности j k

j k j

1, p

по

состоянию

выходу ДОУ,

строится путем

дифференцирования компонентов представления (13.53) по компонентам q j вектора параметров q при его номинальном значении,

в результате чего для МТЧ получаем

247

k 1 A k Aq j x k Bu k ; j 0 0; j k C j k Cq j x k .(13.59)

Дальнейшее конструирование инструментария аппарата функций траекторной чувствительности осуществляется по той же схеме, что и в случае непрерывных ОУ, если модель траекторной чувствительности (13.59) дополнить моделью ДОУ (13.53) при номинальных параметрах

x k 1 Ax k Bu k ; x 0 ; y k Cx k .

Необходимо в заключение отметить, что векторно-матричное представление ДОУ в форме (13.53) с матричными компонентами (13.54) и (13.55), в явном виде содержащими такие чисто "дискретные" параметры, как интервал дискретности t и задержку вывода управления, заметно упрощает анализ процессов ДОУ, опирающийся на возможности аппарата функций траекторной чувствительности.

Примеры и задачи

13.1. Для непрерывной динамической системы, заданной

передаточной функцией s «вход–выход» вида

s, q

Y s, q

b0 1 q2 s b1 1 q1

где

G s

a0 1 q5 s2 a1 1 q4 s a2 1 q3

q0 j 0;

q j

0.3; j

1,5

построить ее ВМО в произвольном базисе

x t, q

F q x t, q G q g t , x t

t0 x 0 0, y t, q C q x t, q ,

исполь–

зуя значения параметров передаточной функции из наборов по выбору преподавателя:

1.b0 0; b1 1; a0 0; a1 0.1; a2 1;

2.b0 0; b1 1; a0 0; a1 0.5; a2 1;

3.b0 0; b1 1; a0 0; a1 1; a2 1;

4.b0 1; b1 0; a0 0; a1 0.1; a2 1;

5.b0 1; b1 0; a0 0; a1 0.5; a2 1;

6.b0 1; b1 0; a0 0; a1 1; a2 1;

7.b0 0.5; b1 0; a0 0; a1 1; a2 1;

8.b0 1; b1 1; a0 0; a1 0.1; a2 1;

9.b0 1; b1 1; a0 0; a1 0.5; a2 1;

10.b0 0; b1 1; a0 1; a1 2; a2 1;

11.b0 0; b1 9; a0 1; a1 6; a2 9;

12.b0 0; b1 1; a0 1; a1 1.5; a2 1;

13.b0 0; b1 16; a0 1; a1 6; a2 16;

14.b0 0; b1 4; a0 1; a1 1; a2 4;

построить модели траекторной чувствительности вида (13.37) с целью наблюдения дополнительного движения по выходу системы

248

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3025 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.201927.12 Кб0Монополия.docx
#
20.03.201625.6 Кб30монопсония.doc
#
27.04.201927.48 Кб33Монохроматичность.docx
#
14.04.201515.38 Кб103Московская русь.docx
#
04.11.201837.95 Кб12Московское государство.Отличный конспект.docx
#
14.04.201511.04 Mб93МОТС ИТМО.pdf
#
01.07.202554.5 Кб2МР НИР Э_ФМ (магистры).docx
#
16.08.20191.41 Mб39МСУ.doc
#
01.04.2025392.7 Кб12МУ закваски 260303.doc
#
16.07.2019101.38 Кб20МУ к лаб раб.doc
#
20.03.20161.16 Mб61МУ МИКРО 2013.doc