МОТС ИТМО

11. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (ОБЪЕКТЫ) ПРИ ЭКЗОГЕННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Прежде чем приступать к изложению материала, вынесенного в заголовок раздела объясним, почему в нем наряду с понятием объект появилось понятие система. Напомним, что системой называется функциональное объединение объекта управления и устройства управления, которое наделяет образованную таким образом систему необходимыми динамическими показателями качества процессов в переходном и установившемся режимах движения. Исходный объект управления, взятый в отдельности, может обладать плохими динамическими показателями и даже быть неустойчивым, поэтому ставить задачу исследования его показателей при экзогенном (внешнем) воздействии возможное, но бессмысленное занятие. Поэтому приводимый ниже материал сориентирован в основном на исследование динамических систем.

Таким образом, рассматриваются проблемы, связанные с изучением реакции динамической системы (ДС) непрерывной и дискретной по времени версий модельного представления, фиксируемой как на ее выходе, так и по вектору состояния в случае подачи на ее вход экзогенного воздействия. Полагается, что исследуемая система линейная (или локально линейная) так, что ее векторно-матричное описание (ВМО) имеет вид

где t - интервал дискретности.

В разделе 9 показано, что решение системы (11.1) относительно

В свою очередь решение системы (11.2) относительно векторов состояния x(k) и выхода y(k) принимает вид

189

~

Матрица F представляет собой блочную матрицу (11.19), матричные компоненты которой можно связать матричным уравнением Сильвестра. Для этой цели докажем утверждение.

Утверждение 11.2 (У11.2). Пусть выбором начальных состояний x(0) и z(0) обеспечивается выполнение векторного равенства

Примечание 11.1 (ПР11.1). Нетрудно видеть, что положения

утверждения 11.3 позволяют сделать следующее обобщение. Если

~

матричная функция от матрицы f (F ) представляет собой степенной

конечный или бесконечный ряд по целым положительным степеням

193

Анализ выражений (11.38) – (11.40) позволяет получить представления всех компонентов движения системы (11.1) при конечномерном экзогенном воздействии на ее входе.

Вынужденные составляющие движения по состоянию, выходу и ошибке (t) g(t) y(t)

Установившиеся составляющие движения по состоянию, выходу и ошибке

Из сравнения представлений (11.40) и (11.43) становится понятным математическое «содержание» матрицы T , состоящее в том, что она представляет собой матрицу подобия между процессами по вектору состояния источника конечномерного экзогенного воздействия (ИКЭВ) и установившейся составляющей вектора состояния исследуемой динамической системы так, что устанавливаются соотношение

можно видеть, что соотношение (11.46) устанавливаются с начального момента t 0, если начальные соотношения подчинить условию x(0) Tz(0).

Таким образом, для вычисления реакции непрерывной линейной системы (11.1) на произвольное конечномерное экзогенное воздействие можно воспользоваться приводимым ниже алгоритмом.

Алгоритм 11.1 (А11.1)

1.Построить векторно-матричное описание непрерывной системы (11.1) с матрицами (F,G,C);

2.Построить векторно-матричное описание источника экзогенного конечномерного воздействия (11.16) с матрицами (Е,Pg);

3.Решить аналитически или численно матричное уравнение Сильвестра (11.28) относительно матрицы подобия T ;

194

4. С помощью соотношений (11.41) – (11.45) решить задачу анализа реакции непрерывной системы на конечномерное экзогенное воздействие.

Остановимся теперь на ситуации, когда ИКЭВ формирует

типовые экзогенные воздействия, ограничившись случаями ступенчатого и гармонического экзогенных воздействий. Первое типовое воздействие используется для оценки динамических свойств

исследуемой ДС по кривой переходного процесса, второе – по амплитудным частотным характеристикам.

Случай 11.1 (Сл11.1) ступенчатого экзогенного воздействия

характеризуется матрицами E и Pg модельного представления ИКЭВ (11.16) в силу (11.19), имеющими вид

Подстановка матричной экспоненты вида (11.49) и выделение из

полного движения вынужденной составляющей по вектору состояния и выхода исследуемой системы дает

соответственно по состоянию и выходу. Если возникает необходимость скаляризации задачи, состоящей в исследовании динамических свойствi, j го сепаратного канала ДС, связывающего i й выход yi (t) с j м

столбец матрицы входа G.

Скаляризация векторных процессов в системах типа «многомерный вход – многомерный выход» (МВМВ) строится с

195

помощью мажорант и минорант, являющихся для t максимальным и минимальным сингулярными числами переходной матрицы H (t).

Случай 11.2 (Сл11.2) гармонического экзогенного воздействия характеризуется матрицами E и Pg модельного представления ИКЭВ

(11.16) в силу (10.26), имеющими вид

Прежде, чем формировать аналитическое представление реакции динамической системы на гармоническое воздействие следует заметить, что частотные методы применяются для исследования установившихся составляющих движения системы, которые для векторов состояния и выхода имеют соответственно вид (11.43) и (11.44), в которых требуется вычислить матрицу T из решения

матричного уравнения Сильвестра(11.28) и матричную экспоненту eEt . Для решения уравнения Сильвестра (11.28) с матричными

Отметим, что результат (11.58) получен для разночастотного случая гармонических экзогенных воздействий, подаваемых на входы динамической системы МВМВ - типа, если же режим воздействия

одночастотный так, что j ,( j 1, m) , в этом случае матрица T

принимает вид

T ( 2 I F 2 ) 1 F I G. (11.59)

Матричная экспонента eEt для источника разночастотного гармонического воздействия в силу (10.28) записывается в форме

196

Алгоритм 11.2(А11.2)

1. Формирование векторно–матричного описания (11.2) исследуемой дискретной системы с матрицами F, G, C ;

2. Формирование векторно-матричного описания (10.62) источника дискретного конечномерного экзогенного воздействия с

матрицами E, Pg ;

3.Формирование агрегированной автономной дискретной

где T – n l - матрица подобия;

5. На основе (11.2), (11.62) и (11.66) установление того, что