(1)АЛГЕБРА КОНЕЧНЫЙ

прямой и обратной функций.

Решение.

1.

Из уравнения y 3x 1 выражаем х :

x

y 1

.

3

2.

Меняем ролями х и у : y

x 1

. Это и будет обратная функция.

3

y x

y

x 1

3

Пример.

На рисунке изображен график функции

y x2 . На интервале

, эта

функция не является монотонной. Сле-

довательно, для неё не существует об-

ратной функции: для одного значения у

существует два (а не одно !) значение х.

0

Если же функцию

y x 2

рассмотреть на промежутке

0, , то функция

y x 2

y

будет монотонной и для неё существует обратная:

x . На промежутке

,0

функция y x 2

также

монотонная, для неё

существует обратная:

y

x (см. рис.).

y x

y

x

1.

Степенная:

y x n

2.

Показательная:

y a x , a 0, a 1

3.

Логарифмическая:

y log a x , a 0, a 1

4.

Тригонометрические:

y sin x , y cos x ,

y tg x ,

y ctg x

5.

Обратные тригонометрические функции:

y arcsin x ,

y arccos x , y arc tg x ,

y arcc tg x

3.14. СТЕПЕНИ И КОРНИ

Определение.

Арифметическим корнем

n-ой

степени из неотри-

цательного числа a

(обозначается n a ) называется неотрицательное чис-

ло b,

n-я степень которого даёт a.

Из определения следует, что арифметический корень n a

обладает

двумя особенностями:

1)

подкоренное число

a 0 ;

2)

сам корень n a 0 .

Ниже приведены свойства арифметических корней.

1.

a n a n

9.

k

a n n a k

2.

n

n

, если n четное

10.

a

2

a

a

a

n

, если n нечетное

a

3.

an ak an k

11.

n a n k a k

4.

a n

a n k

12.

n ab n a n b

a k

5.

ak n ak n

13.

a

n a

n

n b

b

6.

ab n a n bn

14.

n

a k n a k

7.

1

15.

n k a n k a

a n n a

8.

a0 1,

/ условно

16.

k

1

a

a k

27

p

p

0

1

y x q , где

и

q - чётное

q

число.

Примеры:

1

1

1

(2): y x 2

;

(3): y x 4

;

(4): y x6 .

p

p

где0

1

y x q ,

и q -

нечётное

q

число

Примеры:

1

1

1

(1): y x ;(2): y x 3

(3)

: y x 5

(4) : y x7

3) Функции, обратные степенной функции

Примеры: 1): y x ,

(2) : y x2

(3) : y x3

(4) : y x4

1

1

1

(2*) : y x 2

(3*) : y x 3

(4*) : y x 4 .

В области 0 ; все эти функции яв-

ляются возрастающими. Следователь-

но, в данной области они имеют обрат-

Все параболы проходят через

ные функции.

1

точки (0;0), (1;1).

Функции y x

2

и y x

; y x

2

2

и

1

y x

3

и т.д. являются взаимно об-

ратными, их графики симметричны от-

носительно биссектрисы 1-го коорди-

натного угла ( y x ).

4) n – целое положительное число

n - нечётное число.

Примеры:

(1) :

y x 1

1

;

x

(2):

y x 3

1

;

x3

(3):

y x 5

1

.

x5

Графиками

данных

функций

являются гиперболы;

оси

ко-

n - чётное число

Примеры:

(1): y

1

; (2) : y

1

;

x 2

x 4

(3): y

1

.

x 6

Графиками данных функций

также являются гиперболы. Все они проходят через точки (1;1), (-1;1).

Примеры: В области (0; + ) все приве-

дённые ниже функции убывают (являют-

y= x

ся монотонными), следовательно, они

имеют обратные функции.

(1): y x 1 - равнобочная гипербола, она

обратна сама себе.

Графики взаимно обратных

Функции (2): y x 2 и

(2*): y x ;

функций симметричны относи-

1

y

x

(3): и (3*):

3

тельно биссектрисы 1-го коор-

динатного угла.

являются взаимно обратными.

P

x a

xn a xn 1

a

2

xn 2

... a

n 2

x2

a

n 1

x a

,

a 0

n

0

1

n

0

Примеры:

(1): y 2x 2 ;

(2): y x 2 ;

a>0

(3): y

1

x 2

(4): y

1

x 2

;

;

2

4

(5): y

1

x 2

; (6): y

1

x 2

a<0

4

2

(8): y 2x 2 ;

(7): y x 2

Общий случай: y ax 2 bx c . Выражение

D b2

4ac - дискри-

минант, x ,x

- корни квадратного трехчлена, x

b

- абсцисса верши-

2

0

1

2a

x1 х0 x2

X1 ,2

Дискриминант D > 0 – два различ-

Дискриминант

D = 0 – корни рав-

ных корня (парабола пересекает ось

ные (парабола касается оси Ох) :

Дискриминант

D < 0 – действитель-

Ох в двух точках):

x1,2

b

ных корней нет

(парабола не пересе-

2a

x1,2

b D

кает и не касается оси Ох)

2a

P x

a

0

x n a x n 1

... a

n 1

x a

n .

n

1

Q

m

x

b x m b x m 1

... b

x b

m

0

1

m 1

P x

Если дробь

n

- неправильная, её всегда можно представить в

Q x

m

виде

Pn

x

M k

x

Rs

x

, где дробь

Rs x

- правильная

Qm

x

Qm

x

Qm x

3x 4 6x

3 5x 2 x 1

3x 2

3x 4

x 7

x 2 x 2

x 2

x 2

33

линейная функция

y

ax b

, где коэффициенты

a,b,c,d - любые числа и

cx d

определитель

a b

0 . Это условие означает,

что y const . Графиком

c d