Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный аграрный университет Северного Зауралья

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(1)АЛГЕБРА КОНЕЧНЫЙ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

3.3. ПРОПОРЦИИ

Из пропорции

следуют равенства:

a d b c

b c

a d

b c

a b

c d

a b

c d

3.4. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

		(МОДУЛЬ)
		a, если a 0,
1. Определение:	a	a, если a 0 .
		a, если a 0 .

2. Основные свойства модуля:

;

a b

b a

;

a b

;

a n

, b 0;

a b

7)a b a b ;

2.Неравенства с модулем:

a x a, если a 0

x a,

-а

2 )

x a

-a

3.5. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

a b 2 a2 2ab b2

квадрат суммы двух

чисел

a b 2 a 2 2ab b 2

квадрат разности двух чисел

a 2 b 2 a b a b

разность квадратов двух чисел

a b 3 a3 3a 2b 3ab2 b3

куб суммы двух чисел

a b 3 a3 3a

2b 3ab2 b3

куб разности двух чисел

a3 b3 a b

a 2 ab b 2

сумма кубов двух чисел

a3 b3 a b a 2 ab b 2

разность кубов двух чисел

3.6. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

У р а в н е н и я

Формула корней

Формулы Виета

ax 2 bx c 0,

a, b, c -действ. чис-

x1,2

b 2 4ac

x1 x

ла, a 0 ( неприве-

дённое квадратное

x1 x2 c

уравнение)

x 2 px q 0

x1 x2 p

x1,2

x1 x

2 q

(приведённое квад-

ратное уравнение)

ax 2 2k x c 0

(уравнение с чёт-

x1,2

k 2 ac

ным вторым коэф-

фициентом)

3.7.РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

x2 px q x x1 x x2

ax 2 bx c a x x x x	2
1	2
ax3 bx 2 cx d a (x x ) (x x			2	) (x x			3	)
		1	2				3
ax 4 bx3 cx 2 dx e a (x x ) (x x					2	) (x x			3	) (x x	4	),
		1			2				3		4
где x1 , x2 , x3 , x4		- корни соответствующих многочленов.

ДЛЯ ЗАМЕТОК

3.8. АРГУМЕНТ, ФУНКЦИЯ

1. Определение функции:

Переменная величина у называется

функцией переменной величины х, если

каждому значению х (взятому из неко-

торого множества чисел) по определён-

ному правилу или закону ставится в со-

ответствие единственное значение пере-

менной у.

При этом переменная х называется

независимой переменной или аргумен-

том, а переменная у – зависимой пере-

менной или функцией.

Тот факт, что переменная у есть функция переменной х, обычно записы-

вают так : y f x , или	y x , или
y F x и т.д.

	B
			y f x
	yo
	A
a	0	x	b	x
			0
На рисунке		изображен		график
функции	y f x . Из графика ус-

матриваем:

область определения – отрезок x a , b ;

область значений функции - y A, B ;

y0 - частное значение функ-

ции y	при x x0 , т.е.
y0 f x0 .

1.Множество значений, принимаемых аргументом х в условии дан-

ной задачи, называют областью определения или областью задания функ-

ции, а множество значений, принимаемых переменной у, называют областью

изменения или областью значений функции.

2.Областью определения функции может быть

или множество всех действительных чисел, т.е. x , ,

или отрезок : x a , b , т.е. a x b ,

или интервал: x a ,b , т.е. a x b ;

или полуинтервал: x a , b , т.е. a x b или x a ,b , т.е. a x b

2.Основные способы задания функции

a.Аналитический, при котором функция задается формулой. На-


пример, y x3 ,	y x2 lg x ,	y x3 sin x и т.д.

При аналитическом способе функция может быть задана

явно, т.е. в виде y f x ;

явно, но с помощью нескольких формул (разные формулы на раз-

ных частях области определения). Например,

	x 2 ,	если 3 x 1,
		если 1 x 2,
y	x ,	если 1 x 2,
x 4,		если 2 x 5.

неявно, когда х и	у связаны между собой уравнением F x, y 0 ;
параметрически,	т.е. когда переменные х и у связаны между со-

x t ,

бой через третью переменную, называемую параметром: где t – па-

y t ,

раметр.

b.Графический. Функция называется заданной графически, если

начерчен её график. Само равенство y f x называется уравнением этого графика. Естественно, график функции является лишь приближенным изо-

бражением функциональной зависимости y f x , но он наглядно демонст-

рирует качественное поведение функции и поэтому широко применяется в практике

c.Табличный. Говорят, что функция y f x задана таблично, ес-

ли дана таблица, сопоставляющая значения аргумента х с соответствующи-

ми им значениями функции y f x .
	Например,
X	- 1	0			6
y	3	7			5
		Тогда	f 1 3 ,		f 0 7 ,	f 6 5 и т.д.
		3.9.	ЭЛЕМЕНТЫ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ
		3.9.1. ВОЗРАСТАЮЩИЕ И УБЫВАЮЩИЕ ФУНКЦИИ
				(МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ)
	y					y
		y f x						y f x
		y f x
	f x1		f x2				f x1	f x2
	f x1						f x1

a		x1	x2	b	x	a	x1	x2	b	x
	Функция y f x			называется воз-			Функция	y f x	называется
растающей на отрезке a , b (на интер-						убывающей на отрезке			a , b (на
вале, полуинтервале и т.д.), если боль-						интервале, полуинтервале и т.д.),
шему значению аргумента х					из этого	если большему значению аргумен-
промежутка		x2 x1		соответствует		та х	из этого промежутка x2			x1
большее значение функции: f x2 f x1 .						соответствует		меньшее	значение
						функции: f x2 f x1 .
	Если для всех		х	из некоторого			Если для всех х из некоторо-
					20

промежутка выполняется		неравенство	го промежутка выполняется нера-
f x2 f x1 ,	то говорят,	что функция	венство	f x2 f x1 , то		говорят,
на данном промежутке неубывающая.			что функция на данном промежут-
			ке невозрастающая.

Функции возрастающие или убы-
вающие на некотором промежутке назы-					y
					y
ваются монотонными.					y f x
		y f x не яв-			y f x
На рисунке функция		y f x не яв-
ляется монотонной на промежутке a,b ,
однако на	частях этого промежутка		а	с	0 d	b	х
однако на	частях этого промежутка
a,с , c,d , d ,b функция является моно-
тонной (возрастающей или убывающей).

3.9.2. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЁТНЫЕ ФУНКЦИИ

Функция y f x , определённая на промежутке, симметричном от-

носительно х = 0, называется чётной, если для любого значения х из этого промежутка выполняется равенство f x f x , и нечётной, ес-

ли f x f x .

Из этого определения следует, что график чётной функции симмет-

ричен относительно оси Оу, график нечётной функции симметричен от-

носительно начала координат.

График нечётной функции

Это график чётной функции (симмет-

(симметричен относительно на-

ричен относительно оси Оу)

чала координат) y x sin x .

f x x2 2

3 .

Проверим:

y x x sin x

f x x 2 2

3 x 2

3 =

x sin x x sin x y x .

= f x .

3.9.3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

y	y f x

		X -Т			X + T
	0			x	x
	0			x	x
T	T		T		T

Если график некоторой функции y f x при смещении его на не-

который отрезок вдоль оси абсцисс (влево или вправо) совмещается сам с собой, то функция называется периодической. Длина этого отрезка Т назы-

вается периодом функции f x .

Это словесное определение кратко записывается формулой f x T f x .

Если Т – период функции, то 2Т, 3Т, -Т, -2Т, 3Т и т.д. - также пе-

риоды, т.е.

f x n T f x , где n – любое целое число.

3.9.4. КОРНИ ФУНКЦИИ

Значения х, при которых значения функции f x 0 , называются

корнями функции. На графиках - это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

3.10. ЧТЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

			y				1.	a,b - область определения
			y
				M			функции.
					y f x		2.	m,M - область изменения
							функции.
a	x1	x2 x3		0	x4	b	x
	x1	x2 x3			x4	x5	3.	x1 ,x2 , x4 ,b - промежутки воз-
			m				3.	x1 ,x2 , x4 ,b - промежутки воз-
			m				растания функции; a,x1 , x2 ,x4 -
							растания функции; a,x1 , x2 ,x4 -
							промежутки убывания функции.
							4.	x3 ,x5 - корни функции.
	5. f x 0			в промежутках			a,x3 , x5 ,b ;
		f x 0		в промежутке			x3 ,x5 .
	6.	x1 ,x2 ,x4 - точки экстремума функции,
	причём в точке x2					функция имеет максимум,
	в точках x1 , x4 - минимум.

3.11.ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

		y x
B
	y x
y0		y f x
		y f x
A
0	a	b x
		x0

На рисунке изображен график функции y f x , промежуток a,b - область оп-

ределения функции,

A,B - область изменения функции. Для каждого значения аргумента x0 из облас-

ти a,b найдётся единственное значение функции y0 , принадлежащее области

A,B .

Поменяем ролями переменные х и у, т.е. за аргумент (т.е. независи-

мую переменную) возьмём у, тогда зависимой переменной (т.е. функцией)

будет х.

На чертеже аргументу y0 соответствует значение функции x0 .

Такая зависимость называется обратной и её уравнением будет также

y f x , но функция	х задана здесь в неявной форме. Если из этого равен-
ства выразить х, то	получим обратную зависимость в явной	форме:
x y . Областью определения этой функции будет промежуток		A,B , а

областью изменения функции будет a,b .

Графиком функции x y будет та же самая кривая, но смотреть на него надо по-особенному: осью аргумента является вертикальная ось, а

осью значений функции – горизонтальная. Чтобы исключить это неудобст-

во, т.е. как обычно ось аргумента расположить горизонтально (слева напра-

во), а ось значений функции вертикально (снизу вверх), надо поменять ро-

лями буквы х и у, т.е. записать обратную зависимость в виде y x . Функ-

ции x y и y x различаются только обозначениями переменных. По-

этому, чтобы из графика x y (или, что то же, функции y f x ) полу-

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.20192.3 Mб15(1)АЛГЕБРА КОНЕЧНЫЙ.doc
#
14.04.20151.4 Mб16(1)АЛГЕБРА КОНЕЧНЫЙ.pdf
#
21.11.2019622.59 Кб7(10)КРАТНЫЕ ИНТ - копия - копия.doc
#
14.04.2015421.7 Кб7(16))СОДЕРЖАНИЕ(КОНЕЧНЫЙ). - копия - копия.pdf
#
21.11.2019392.19 Кб12(2)Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Я - копия - копия.doc
#
21.11.2019323.58 Кб7(3)Г Е О М Е Т Р И Я КОНЕЧНЫЙ - копия - копия.doc
#
21.11.20191.11 Mб8(5)ГЕОМ.АНАЛИТ.КОНЕЧНЫЙ - копия - копия.doc