Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

(16))СОДЕРЖАНИЕ(КОНЕЧНЫЙ). - копия - копия

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
14.04.2015
Размер:
421.7 Кб
Скачать

СОДЕРЖАНИЕ

1.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ. ТАБЛИЦЫ……….. 5

1.1.Латинский алфавит………………………………………………….. 5

1.2.Греческий алфавит ………………………………………………….. 5

1.3.

Математические обозначения

6

1.4.Некоторые исторические факты математических символов……... 7

1.5.Метрическая система мер…………………………………………… 9

1.6.Некоторые старые русские меры …………………………………... 9

1.7.Важнейшие постоянные…………………………………………….. 10

1.8.Некоторые степени чисел 2, 3, 5……………………………………. 10

1.9.Факториалы………………………………………………………….. 11

1.10.Перевод градусной меры в радианную…………………………….. 11

2.АРИФМЕТИКА…………………………………………………….. 13

2.1.Признаки делимости………………………………………………… 13

2.2.Средние величины…………………………………………………… 13

3.АЛГЕБРА …………………………………………………………… 14

3.1.Действительные числа………………………………………………. 14

3.2.Действия над дробями………………………………………………. 14

3.3.Пропорции …………………………………………………………… 15

3.4.Абсолютная величина действительного числа (модуль)…………. 15

3.5.Формулы сокращенного умножения………………………………. 16

3.6.Квадратные уравнения ……………………………………………… 16

3.7.Разложения на множители………………………………………….. 17

3.8.Аргумент. Функция………………………………………………….. 18

3.9.Элементы поведения функций……………………………………… 20

3.9.1.Возрастающие и убывающие функции (монотонные функции)…. 20

3.9.2.Чётные и нечётные функции………………………………………... 21

3.9.3.Периодические функции……………………………………………. 22

3.9.4.Корни функции ……………………………………………………… 23

3.10.Чтение графиков функций………………………………………….. 23

3.11.Обратная функция …………………………………………………... 24

3.12.Проблема существования обратной функции…………………….. 25

3.13.Основные элементарные функции…………………………………. 26

3.14.Степени и корни…………………………………………………….. 27

3.15.Степенная функция………………………………………………….. 28

248

3.16.Целая рациональная функция (многочлен)………………………… 31

3.17.Квадратичная функция ……………………………………………… 32

3.18.Рациональная функция ……………………………………………… 33

3.19.Дробно-линейная функция………………………………………….. 34

3.20.Показательная функция……………………………………………... 35

3.21.Логарифмы. Логарифмическая функция ………………………….. 35

3.22.Гиперболические функции …………………………………………. 37

3.22.1.Определения …………………………………………………………. 37

3.22.2.Основные соотношения …………………………………………….. 38

3.22.3.Графики гиперболических функций ………………………………. 38

3.23.Обратные гиперболические функции и их графики…………..…. 39

3.23.1.Определения …………………………………………………………. 39

3.23.2.Выражение обратных гиперболических функций через

логарифмические функции …………………………………………

40

3.23.3. Графики обратных гиперболических функций …………………..

40

3.24.Соединения (размещения, перестановки, сочетания) ……………. 41

3.25.Бином Ньютона ……………………………………………………… 42

3.26.Комплексные числа …………………………………………………. 44

3.26.1. Комплексные числа в алгебраической форме …………………….. 44 3.26.2. Тригонометрическая форма комплексного числа ………………… 45 3.26.3. Показательная форма комплексного числа ……………………….. 46

3.27.Элементарные приёмы построения графиков функций ………….. 47

3.27.1.Преобразования графиков …………………………………………. 47

3.27.2.Сложение графиков …………………………………………………. 50

3.28.Графики некоторых функций, содержащие абсолютную величину (содержащие модули)……………………………………. 50

3.29.Прогрессии …………………………………………………………... 52

4.ТРИГОНОМЕТРИЯ ………………………………………………. 55

4.1.Измерение углов …………………………………………………….. 55

4.2.Формулы перехода от градусных мер к радианным и обратно ….. 55

4.3.Соотношения между элементами прямоугольного треугольника... 55

4.4.Четность и нечетность функций ………………………………….. 55

4.5.Периодичность функций …………………………………………… 56

4.6.Знаки в четвертях …………………………………………………... 56

4.7.Значения тригонометрических функций …………………………. 56

4.8.Монотонность ……………………………………………………… 57

4.9.Формулы приведения ……………………………………………… 57

4.10.Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла …………………………………. 57

4.11.Функции суммы и разности углов …………………………………. 58

4.12.Формулы умножения и деления аргумента ………………………. 58

4.13.Сумма и разность тригонометрических функций ………………... 58

249

4.14.Произведение тригонометрических функций ……………………. 59

4.15. Выражение sin , cos ,tg через tg

……………………….. 59

2

 

4.16.Простейшие тригонометрические уравнения …………………….. 59

4.17.Обратные тригонометрические функции …………………………. 60

4.18.Основные зависимости и выражение одних обратных тригонометрических функций через другие ……………………… 60

4.19.Графики тригонометрических и обратных тригонометрических функций …………………………………………………………….. 61

5.ГЕОМЕТРИЯ ……………………………………………………… 64

5.1.Признаки равенства треугольников ……………………………….. 64

5.2.Признаки подобия треугольников …………………………………. 64

5.3.Геометрические фигуры на плоскости …………………………….. 65

5.3.1.Окружность, круг, их части ………………………………………… 65

5.3.2.Треугольник ………………………………………………………… 66

5.3.3.Прямоугольный треугольник ……………………………………… 66

5.3.4.Параллелограмм ……………………………………………………. 67

5.3.5.Ромб ………………………………………………………………….. 67

5.3.6.Трапеция …………………………………………………………….. 67

5.3.7.Правильный многоугольник ………………………………………. 68

5.3.8.Вписанная окружность …………………………………………….. 68

5.3.9.Описанная окружность …………………………………………….. 68

5.3.10Теорема синусов ……………………………………………………. 69

5.3.11Теорема косинусов …………………………………………………. 69 5.4. Объёмы и поверхности тел …………………………………………. 70

6.ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ…………………………. 72

6.1.Определители ………………………………………………………. 72

6.1.1.Определитель второго порядка ………………………………………… 72

6.1.2.Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными ………………………………………………………. 72

6.1.3.Определитель третьего порядка ……………………………………. 72

6.1.4.Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными ………………………………………………………. 73

6.1.5.Определитель n – го порядка ……………………………………... 73

6.1.6.Основные свойства определителей ……………………………….. 73

6.1.7.Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя .. 75

6.1.8.Разложение определителя по элементам строки или столбца ….. 75

6.2.Матрицы ……………………………………………………………. 76

6.2.1.Прямоугольная матрица ……………………………………………. 76

6.2.2.Действия над матрицами …………………………………………... 76

250

6.2.3.Обратная матрица …………………………………………………... 77

6.2.4.Свойства обратной матрицы ………………………………………. 77

6.2.5.Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме …………………………………………………… 78

6.2.6.Метод Гаусса ……………………………………………………….. 79

7.ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ …………………………... 81

7.1.Равенство векторов …………………………………………………. 81

7.2.Сложение векторов ………………………………………………… 81

7.3.Вычитание векторов ……………………………………………….. 81

7.4.Умножение вектора на число ……………………………………… 81

7.5.Скалярное произведение векторов ………………………………... 82

7.6. Векторное произведение векторов ………………………………… 82

7.7.Двойное векторное произведение …………………………………. 83

7.8.Смешанное произведение трех векторов …………………………. 83

7.9.Векторы в координатной форме …………………………………... 84

7.9.1.На плоскости ………………………………………………………... 84

7.9.2.В пространстве ……………………………………………………… 84

7.10. Действия над векторами в координатной форме ………………… 85

7.10.1.На плоскости ………………………………………………………... 85

7.10.2.В пространстве ……………………………………………………… 86

7.10.3.Векторное произведение в координатной форме ………………… 86

7.10.4.Смешанное произведение в координатной форме ……………….. 87

7.10.5Геометрические приложения векторной алгебры ………………... 87

7.10.6. Направление вектора ……………………………………………….. 87

8.ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ ……………………………………………………... 88

8.1.Преобразования системы координат ……………………………… 88

8.1.1.Параллельный перенос осей координат …………………………... 88

8.1.2.Поворот осей координат …………………………………………… 88

8.2.Прямая линия на плоскости. Основные задачи …………………... 89

8.3.Кривые второго порядка …………………………………………… 90

8.3.1.Окружность …………………………………………………………. 90

8.3.2.Эллипс ………………………………………………………………. 91

8.3.3.Гипербола …………………………………………………………… 92

8.3.4.Парабола …………………………………………………………….. 93

9.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ …... 94

9.1.Основные задачи ……………………………………………………. 94

9.2.Плоскость …………………………………………………………… 94

251

9.2.1.Общее уравнение плоскости ………………………………………. 94

9.2.2.Уравнение плоскости, проходящей через точку М (a,b,c) и

перпендикулярной вектору n A, B,C ……………………………… 95

9.2.3.Угол, образованный двумя плоскостями ……………………….... 95

9.2.4.Условия параллельности двух плоскостей ……………………….. 95

9.2.5.Условие перпендикулярности двух плоскостей ………………….. 95

9.2.6.Расстояние точки от плоскости ……………………………………. 95

9.2.7.Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ... 96

9.3.Прямая линия в пространстве ……………………………………... 96

9.3.1.Уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной заданному вектору …………………………………………….……. 96

9.3.2. Прямая как линия пересечения двух плоскостей ………………… 96

9.3.3.Уравнение прямой, проходящей через две точки ……….……….. 97

9.3.4.Параметрические уравнения прямой ……….……………………… 97

10.ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

ИХ КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ …………………………. 98

11.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ………………………………………… 101

11.1.Основные теоремы о пределах …………………………………….. 101

11.2.Замечательные пределы ……………………………………………. 101

11.3.Часто встречающиеся пределы …………………………………….. 101

11.4.Бесконечно малые и бесконечно большие функции ……………... 102

11.5. Сравнение бесконечно малых величин …………………………… 102

11.5.1Примеры эквивалентных бесконечно малых величин …………… 102

11.5.2Геометрическая иллюстрация эквивалентных бесконечно малых величин ……………………………………………………………… 103

11.6Приближенные формулы …………………………………………… 104

11.7.Приращение функции ………………………………………………. 104

11.8.Условие непрерывности функции …………………………………. 105

11.9.Основное свойство непрерывной функции ………………………. 105

11.10.Производная ………………………………………………………… 105

11.11.Основные правила дифференцирования ………………………….. 105

11.12.Таблица производных основных функций ……………………….. 106

11.13.Таблица производных сложных функций ………………………… 107

11.14.Теорема Лагранжа о конечном приращении функции …………… 108

11.15.Правило Лопиталя ………………………………………………….. 108

11.16.Применение производной к исследованию функций …………….. 109

11.16.1.Достаточные признаки возрастания и убывания функции ………. 109

11.16.2.Необходимые условия экстремума функции в точке Xо………..... 109

11.16.3.Достаточные условия экстремума …………………………………. 109

11.16.4.Точки перегиба графика функции …………………………………. 109

252

11.16.5.Асимптоты кривой …………………………………………………. 110

11.16.6.Уравнения касательной и нормали к кривой ……………………... 110

11.17.Приближенные вычисления корней уравнения ………………….. 110

11.18.Дифференциал функции …………………………………………… 111

11.18.1.Геометрический смысл дифференциала …………………………... 111

11.18.2.Свойства дифференциала функции ……………………………….. 112

11.18.3.

Таблица основных дифференциалов ………………………………

112

11.18.4.

Дифференциалы высших порядков ………………………………..

112

11.19.Полярные координаты ……………………………………………… 113

11.20.Производные высших порядков …………………………………… 114

11.21.Параметрическое задание функции ……………………………….. 114

11.22. Кривизна. Радиус кривизны. Центр кривизны …………………… 115

12.ЭСКИЗЫ ГРАФИКОВ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ И УРАВНЕНИЙ …………………………………….. 117

13.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ……………………………… 136

13.1. Полное приращение функции z f x, y ………………………… 136

13.2.Условие непрерывности функции z f x, y …………………….. 136

13.3.Частные производные функции z f x, y ……………………….. 136

13.4.Полный дифференциал функции z f x, y ……………………… 136

13.5.Производные сложных функций …………………………………... 136

13.6.Производные неявных функций …………………………………… 137

13.7.Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости

к кривой …………………………………………………………….. 137 13.7.1. Кривая в пространстве задана параметрическими уравнениями … 137

13.7.2.Кривая задана как линия пересечения двух поверхностей ………. 138

13.8.Касательная плоскость и нормаль к поверхности ………………... 138

13.9.Экстремум функции двух переменных z f x, y ……………….. 139

14.НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ …………………………….. 140

14.1.Определение ………………………………………………………… 140

14.2. Основные свойства неопределенного интеграла ………………… 140

14.3.Основные методы интегрирования ………………………………... 140

14.3.1.Метод замены переменной ………………………………………… 140

14.3.2.Подведение под знак дифференциала …………………………….. 140

14.3.3.Метод интегрирования по частям …………………………………. 140

14.4.Таблица основных интегралов …………………………………….. 141

14.5.Обзор используемых приемов интегрирования ………………….. 142

14.5.1.Вычисление интегралов, содержащих квадратный трёхчлен в

253

знаменателе ………………………………………………………… 143

14.5.2.Простейшие рациональные дроби и их интегрирование ………… 143

14.5.3.Интегрирование рациональных дробей …………………………... 144

14.5.4. Интегрирование некоторых иррациональностей ………………… 148

14.5.5.1) Интегрирование квадратичных иррациональностей

R x,ax2 bx c dx …………………………………………………. 149

14.5.6.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции ……………………………………………………………. 151

14.5.7.Интегрирование некоторых иррациональностей с помощью тригонометрических подстановок ……………………………………. 152

14.6.Таблицы часто встречающихся интегралов ………………………. 153

14.6.1. Интегралы от рациональных функций, содержащих ax + b …… 153

14.6.2.Интегралы от рациональных функций, содержащих ax2 b2 …... 154

14.6.3. Интегралы от иррациональных функций, содержащих ax b .. 154

14.6.4.Интегралы от функций, содержащих a2 x2 b2 , b2 a2 x2 ….. 155

14.6.5.Интегралы от некоторых иррациональностей ……………………. 157

14.6.6.Интегралы, содержащие показательную и логарифмическую функции ……………………………………………………………. 157

14.6.7.Интегралы, содержащие тригонометрические функции ……….. 158

14.6.8.Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции. 159

14.6.9.Интегралы, содержащие гиперболические функции …………….. 160

15.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ………………………………... 161

15.1.Определение ………………………………………………………… 161

15.1.1Определённый интеграл как предел интегральной суммы ………

15.1.2.Геометрический смысл определённого интеграла ………………..

15.2.

Формула Ньютона – Лейбница вычисления определенного

161

 

интеграла …………………………………….

 

15.3.

Основные свойства определенного интеграла …………………… 161

15.4.Основные методы интегрирования ……………………………….. 162

15.4.1.Метод замены переменной ………………………………………… 162

15.4.2.Метод интегрирования по частям …………………………………. 162

15.5.Приближенные вычисления определенных интегралов …………. 163

16.НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ……………………………. 163

16.1.Интегралы с бесконечными пределами …………………………… 163

16.2.Интегралы от разрывных функций ……………………………….. 164

254

17.НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ …………………………………………………….. 164

18.ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ………... 166

18.1.Вычисление площадей ……………………………………………... 166

18.1.1.В прямоугольных координатах ……………………………………. 166

18.1.2.В полярных координатах …………………………………………... 167

18.2.Вычисление длин дуг ……………………………………………….. 168

18.2.1.В прямоугольных координатах ……………………………………. 168

18.2.2.В полярных координатах …………………………………………... 168

18.2.3. Кривая задана в параметрической форме ………………………… 168

18.3.Вычисление объёмов тел …………………………………………... 168

18.3.1.Объём тела с известным поперечным сечением …………………. 168

18.3.2.Объем тела вращения вокруг оси Ох кривой y f x …………. 169

18.3.3.Объем тела вращения вокруг оси Оу кривой x y …………. 169

18.4.Площадь поверхности вращения дуги кривой ……………………

18.4.1.Кривая задана уравнением y f

18.4.2.Кривая задана параметрическими уравнениями ………………….……………………………….

18.5.Работа переменной силы …………………………………………… 170

19.ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ………………………………………. 171

19.1.Определение ………………………………………………………… 171

19.2.

Расстановка пределов интегрирования в двойном интеграле …… 171

19.3.Двойной интеграл в полярных координатах ……………………… 173

19.4.Приложения двойных интегралов к геометрии ………………….. 173

19.4.1.Площадь плоской фигуры …………………………………………. 173

19.4.2.Объём цилиндроида ………………………………………………... 173

19.4.3.Площадь поверхности ……………………………………………… 174

19.5. Приложения двойных интегралов к механике …………………… 174

19.5.1.Масса пластинки ……………………………………………………. 174

19.5.2.Статические моменты пластинки …………………………………. 174

19.5.3.Координаты центра тяжести пластинки ………………………….. 174

19.5.4.Моменты инерции пластинки ……………………………………... 175

20.ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ……………………………………….. 175

20.1.Определение ………………………………………………………… 175

20.2.Вычисление тройного интеграла ………………………………….. 176

20.3.Замена переменных в тройных интегралах ………………………. 176

20.3.1. Тройной интеграл в цилиндрических координатах , , z , ……. 176

20.3.2.Тройной интеграл в сферических координатах …………………... 177

255

20.4.Приложения тройных интегралов …………………………………. 177

20.4.1.Объём области трехмерного пространства ……………………….. 177

20.4.2.Масса тела …………………………………………………………... 177

20.4.3.Статические моменты тела ………………………………………... 177

20.4.4.Координаты центра тяжести тела …………………………………. 178

20.4.5.Моменты инерции относительно осей координат ……………….. 178

21.КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ …………………………… 178

21.1.Криволинейный интеграл первого рода ………………………….. 178

21.2. Криволинейный интеграл второго рода …………………………… 179

21.3.Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода ………………………………………………………………….. 181

21.4.Формула Грина ……………………………………………………... 181

22.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ …………………………… 182

22.1.Поверхностный интеграл первого рода …………………………... 182

22.2.Вычисление поверхностного интеграла первого рода …………… 182

22.3.Поверхностный интеграл второго рода …………………………… 183

22.4.Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода ………………………………………………………………….. 185

22.5.Формула Остроградского – Гаусса ………………………………... 186

22.6.Формула Стокса …………………………………………………….. 186

23.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ ………………………………….. 187

23.1.Градиент скалярного поля …………………………………………. 187

23.2.Дивергенция векторного поля ……………………………………. 187

23.3.Ротор векторной функции …………………………………………. 188

23.4.Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме …………... 189

23.5. Формула Стокса в векторной форме ……………………………… 189

23.6.Оператор Гамильтона ……………………………………………… 189

23.7.Дифференциальные операции второго порядка …………………. 190

23.8.Запись дифференциальных операций с помощью оператора Гамильтона …………………………………………………………. 191

24.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ……………………... 192

24.1. Дифференциальные уравнения первого порядка ………………… 192

24.1.1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными …. 192

24.1.2.Однородное дифференциальное уравнение первого порядка …... 192

24.1.3.Линейное дифференциальное уравнение первого порядка ……… 193

24.1.4.Уравнение Бернулли ……………………………………………….. 193

256

24.2.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка ………………………………………………… 193

24.2.1.y // f x …………………………………………………………….. 193

24.2.2.F x, y , y 0 ……………………………………………………….. 193

24.2.3.F y, y , y 0 ……………………………………………………….. 194

24.3.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка …….. 194

24.3.1.Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения …………………………………………………………… 194

24.3.2.Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения …………………………………………………………… 195

24.4.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с по-

стоянными коэффициентами ……………………………………… 195

24.4.1.Общий вид решений однородного уравнения ……………………. 195

24.4.2.Вид частного решения неоднородного уравнения ……………….. 196

25.РЯДЫ ………………………………………………………………... 197

25.1.Основное определение ……………………………………………… 197

25.2.Необходимый признак сходимости числового ряда ……………… 197

25.3.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами ………………………………………………………………. 197

25.3.1.Сравнение рядов …………………………………………………….. 197

25.3.2.Признак Даламбера …………………………………………………. 198

25.3.3.Признак Коши ……………………………………………………….. 198

25.3.4.Интегральный признак ……………………………………………… 198

25.4.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница …………………… 198

25.5.Абсолютная сходимость ……………………………………………. 199

25.6.Некоторые суммы конечного числа слагаемых …………………... 199

25.7.Таблица сумм некоторых числовых рядов ………………………... 199

25.8.Радиус сходимости степенного ряда ………………………………. 200

25.9.Ряд Маклорена ………………………………………………………. 200

25.10.Ряд Тейлора ………………………………………………………….. 201

25.11.Разложение в степенные ряды основных функций ………………. 201

25.12.Приложения рядов к некоторым интегралам ……………………... 203

25.13.Графики частичных сумм …………………………………………... 203

25.14.Ряд Фурье ……………………………………………………………. 204

25.14.1.Ряд Фурье функции периода 2l ……………………………………. 205

25.14.2.Ряд Фурье функции периода 2 …………………………………... 205

25.14.3.Ряд Фурье четной функции периода 2۰l ………………………….. 206

25.14.4.Ряд Фурье нечетной функции периода 2۰l ……………………….. 206

257