(16))СОДЕРЖАНИЕ(КОНЕЧНЫЙ). - копия - копия
.pdfСОДЕРЖАНИЕ
1.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ. ТАБЛИЦЫ……….. 5
1.1.Латинский алфавит………………………………………………….. 5
1.2.Греческий алфавит ………………………………………………….. 5
1.3. |
Математические обозначения |
6 |
1.4.Некоторые исторические факты математических символов……... 7
1.5.Метрическая система мер…………………………………………… 9
1.6.Некоторые старые русские меры …………………………………... 9
1.7.Важнейшие постоянные…………………………………………….. 10
1.8.Некоторые степени чисел 2, 3, 5……………………………………. 10
1.9.Факториалы………………………………………………………….. 11
1.10.Перевод градусной меры в радианную…………………………….. 11
2.АРИФМЕТИКА…………………………………………………….. 13
2.1.Признаки делимости………………………………………………… 13
2.2.Средние величины…………………………………………………… 13
3.АЛГЕБРА …………………………………………………………… 14
3.1.Действительные числа………………………………………………. 14
3.2.Действия над дробями………………………………………………. 14
3.3.Пропорции …………………………………………………………… 15
3.4.Абсолютная величина действительного числа (модуль)…………. 15
3.5.Формулы сокращенного умножения………………………………. 16
3.6.Квадратные уравнения ……………………………………………… 16
3.7.Разложения на множители………………………………………….. 17
3.8.Аргумент. Функция………………………………………………….. 18
3.9.Элементы поведения функций……………………………………… 20
3.9.1.Возрастающие и убывающие функции (монотонные функции)…. 20
3.9.2.Чётные и нечётные функции………………………………………... 21
3.9.3.Периодические функции……………………………………………. 22
3.9.4.Корни функции ……………………………………………………… 23
3.10.Чтение графиков функций………………………………………….. 23
3.11.Обратная функция …………………………………………………... 24
3.12.Проблема существования обратной функции…………………….. 25
3.13.Основные элементарные функции…………………………………. 26
3.14.Степени и корни…………………………………………………….. 27
3.15.Степенная функция………………………………………………….. 28
248
3.16.Целая рациональная функция (многочлен)………………………… 31
3.17.Квадратичная функция ……………………………………………… 32
3.18.Рациональная функция ……………………………………………… 33
3.19.Дробно-линейная функция………………………………………….. 34
3.20.Показательная функция……………………………………………... 35
3.21.Логарифмы. Логарифмическая функция ………………………….. 35
3.22.Гиперболические функции …………………………………………. 37
3.22.1.Определения …………………………………………………………. 37
3.22.2.Основные соотношения …………………………………………….. 38
3.22.3.Графики гиперболических функций ………………………………. 38
3.23.Обратные гиперболические функции и их графики…………..…. 39
3.23.1.Определения …………………………………………………………. 39
3.23.2.Выражение обратных гиперболических функций через
логарифмические функции ………………………………………… |
40 |
3.23.3. Графики обратных гиперболических функций ………………….. |
40 |
3.24.Соединения (размещения, перестановки, сочетания) ……………. 41
3.25.Бином Ньютона ……………………………………………………… 42
3.26.Комплексные числа …………………………………………………. 44
3.26.1. Комплексные числа в алгебраической форме …………………….. 44 3.26.2. Тригонометрическая форма комплексного числа ………………… 45 3.26.3. Показательная форма комплексного числа ……………………….. 46
3.27.Элементарные приёмы построения графиков функций ………….. 47
3.27.1.Преобразования графиков …………………………………………. 47
3.27.2.Сложение графиков …………………………………………………. 50
3.28.Графики некоторых функций, содержащие абсолютную величину (содержащие модули)……………………………………. 50
3.29.Прогрессии …………………………………………………………... 52
4.ТРИГОНОМЕТРИЯ ………………………………………………. 55
4.1.Измерение углов …………………………………………………….. 55
4.2.Формулы перехода от градусных мер к радианным и обратно ….. 55
4.3.Соотношения между элементами прямоугольного треугольника... 55
4.4.Четность и нечетность функций ………………………………….. 55
4.5.Периодичность функций …………………………………………… 56
4.6.Знаки в четвертях …………………………………………………... 56
4.7.Значения тригонометрических функций …………………………. 56
4.8.Монотонность ……………………………………………………… 57
4.9.Формулы приведения ……………………………………………… 57
4.10.Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла …………………………………. 57
4.11.Функции суммы и разности углов …………………………………. 58
4.12.Формулы умножения и деления аргумента ………………………. 58
4.13.Сумма и разность тригонометрических функций ………………... 58
249
4.14.Произведение тригонометрических функций ……………………. 59
4.15. Выражение sin , cos ,tg через tg |
……………………….. 59 |
2 |
|
4.16.Простейшие тригонометрические уравнения …………………….. 59
4.17.Обратные тригонометрические функции …………………………. 60
4.18.Основные зависимости и выражение одних обратных тригонометрических функций через другие ……………………… 60
4.19.Графики тригонометрических и обратных тригонометрических функций …………………………………………………………….. 61
5.ГЕОМЕТРИЯ ……………………………………………………… 64
5.1.Признаки равенства треугольников ……………………………….. 64
5.2.Признаки подобия треугольников …………………………………. 64
5.3.Геометрические фигуры на плоскости …………………………….. 65
5.3.1.Окружность, круг, их части ………………………………………… 65
5.3.2.Треугольник ………………………………………………………… 66
5.3.3.Прямоугольный треугольник ……………………………………… 66
5.3.4.Параллелограмм ……………………………………………………. 67
5.3.5.Ромб ………………………………………………………………….. 67
5.3.6.Трапеция …………………………………………………………….. 67
5.3.7.Правильный многоугольник ………………………………………. 68
5.3.8.Вписанная окружность …………………………………………….. 68
5.3.9.Описанная окружность …………………………………………….. 68
5.3.10Теорема синусов ……………………………………………………. 69
5.3.11Теорема косинусов …………………………………………………. 69 5.4. Объёмы и поверхности тел …………………………………………. 70
6.ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ…………………………. 72
6.1.Определители ………………………………………………………. 72
6.1.1.Определитель второго порядка ………………………………………… 72
6.1.2.Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными ………………………………………………………. 72
6.1.3.Определитель третьего порядка ……………………………………. 72
6.1.4.Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными ………………………………………………………. 73
6.1.5.Определитель n – го порядка ……………………………………... 73
6.1.6.Основные свойства определителей ……………………………….. 73
6.1.7.Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя .. 75
6.1.8.Разложение определителя по элементам строки или столбца ….. 75
6.2.Матрицы ……………………………………………………………. 76
6.2.1.Прямоугольная матрица ……………………………………………. 76
6.2.2.Действия над матрицами …………………………………………... 76
250
6.2.3.Обратная матрица …………………………………………………... 77
6.2.4.Свойства обратной матрицы ………………………………………. 77
6.2.5.Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме …………………………………………………… 78
6.2.6.Метод Гаусса ……………………………………………………….. 79
7.ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ …………………………... 81
7.1.Равенство векторов …………………………………………………. 81
7.2.Сложение векторов ………………………………………………… 81
7.3.Вычитание векторов ……………………………………………….. 81
7.4.Умножение вектора на число ……………………………………… 81
7.5.Скалярное произведение векторов ………………………………... 82
7.6. Векторное произведение векторов ………………………………… 82
7.7.Двойное векторное произведение …………………………………. 83
7.8.Смешанное произведение трех векторов …………………………. 83
7.9.Векторы в координатной форме …………………………………... 84
7.9.1.На плоскости ………………………………………………………... 84
7.9.2.В пространстве ……………………………………………………… 84
7.10. Действия над векторами в координатной форме ………………… 85
7.10.1.На плоскости ………………………………………………………... 85
7.10.2.В пространстве ……………………………………………………… 86
7.10.3.Векторное произведение в координатной форме ………………… 86
7.10.4.Смешанное произведение в координатной форме ……………….. 87
7.10.5Геометрические приложения векторной алгебры ………………... 87
7.10.6. Направление вектора ……………………………………………….. 87
8.ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ ……………………………………………………... 88
8.1.Преобразования системы координат ……………………………… 88
8.1.1.Параллельный перенос осей координат …………………………... 88
8.1.2.Поворот осей координат …………………………………………… 88
8.2.Прямая линия на плоскости. Основные задачи …………………... 89
8.3.Кривые второго порядка …………………………………………… 90
8.3.1.Окружность …………………………………………………………. 90
8.3.2.Эллипс ………………………………………………………………. 91
8.3.3.Гипербола …………………………………………………………… 92
8.3.4.Парабола …………………………………………………………….. 93
9.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ …... 94
9.1.Основные задачи ……………………………………………………. 94
9.2.Плоскость …………………………………………………………… 94
251
9.2.1.Общее уравнение плоскости ………………………………………. 94
9.2.2.Уравнение плоскости, проходящей через точку М (a,b,c) и
перпендикулярной вектору n A, B,C ……………………………… 95
9.2.3.Угол, образованный двумя плоскостями ……………………….... 95
9.2.4.Условия параллельности двух плоскостей ……………………….. 95
9.2.5.Условие перпендикулярности двух плоскостей ………………….. 95
9.2.6.Расстояние точки от плоскости ……………………………………. 95
9.2.7.Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ... 96
9.3.Прямая линия в пространстве ……………………………………... 96
9.3.1.Уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной заданному вектору …………………………………………….……. 96
9.3.2. Прямая как линия пересечения двух плоскостей ………………… 96
9.3.3.Уравнение прямой, проходящей через две точки ……….……….. 97
9.3.4.Параметрические уравнения прямой ……….……………………… 97
10.ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
ИХ КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ …………………………. 98
11.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ………………………………………… 101
11.1.Основные теоремы о пределах …………………………………….. 101
11.2.Замечательные пределы ……………………………………………. 101
11.3.Часто встречающиеся пределы …………………………………….. 101
11.4.Бесконечно малые и бесконечно большие функции ……………... 102
11.5. Сравнение бесконечно малых величин …………………………… 102
11.5.1Примеры эквивалентных бесконечно малых величин …………… 102
11.5.2Геометрическая иллюстрация эквивалентных бесконечно малых величин ……………………………………………………………… 103
11.6Приближенные формулы …………………………………………… 104
11.7.Приращение функции ………………………………………………. 104
11.8.Условие непрерывности функции …………………………………. 105
11.9.Основное свойство непрерывной функции ………………………. 105
11.10.Производная ………………………………………………………… 105
11.11.Основные правила дифференцирования ………………………….. 105
11.12.Таблица производных основных функций ……………………….. 106
11.13.Таблица производных сложных функций ………………………… 107
11.14.Теорема Лагранжа о конечном приращении функции …………… 108
11.15.Правило Лопиталя ………………………………………………….. 108
11.16.Применение производной к исследованию функций …………….. 109
11.16.1.Достаточные признаки возрастания и убывания функции ………. 109
11.16.2.Необходимые условия экстремума функции в точке Xо………..... 109
11.16.3.Достаточные условия экстремума …………………………………. 109
11.16.4.Точки перегиба графика функции …………………………………. 109
252
11.16.5.Асимптоты кривой …………………………………………………. 110
11.16.6.Уравнения касательной и нормали к кривой ……………………... 110
11.17.Приближенные вычисления корней уравнения ………………….. 110
11.18.Дифференциал функции …………………………………………… 111
11.18.1.Геометрический смысл дифференциала …………………………... 111
11.18.2.Свойства дифференциала функции ……………………………….. 112
11.18.3. |
Таблица основных дифференциалов ……………………………… |
112 |
11.18.4. |
Дифференциалы высших порядков ……………………………….. |
112 |
11.19.Полярные координаты ……………………………………………… 113
11.20.Производные высших порядков …………………………………… 114
11.21.Параметрическое задание функции ……………………………….. 114
11.22. Кривизна. Радиус кривизны. Центр кривизны …………………… 115
12.ЭСКИЗЫ ГРАФИКОВ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ ФУНКЦИЙ И УРАВНЕНИЙ …………………………………….. 117
13.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ……………………………… 136
13.1. Полное приращение функции z f x, y ………………………… 136
13.2.Условие непрерывности функции z f x, y …………………….. 136
13.3.Частные производные функции z f x, y ……………………….. 136
13.4.Полный дифференциал функции z f x, y ……………………… 136
13.5.Производные сложных функций …………………………………... 136
13.6.Производные неявных функций …………………………………… 137
13.7.Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости
к кривой …………………………………………………………….. 137 13.7.1. Кривая в пространстве задана параметрическими уравнениями … 137
13.7.2.Кривая задана как линия пересечения двух поверхностей ………. 138
13.8.Касательная плоскость и нормаль к поверхности ………………... 138
13.9.Экстремум функции двух переменных z f x, y ……………….. 139
14.НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ …………………………….. 140
14.1.Определение ………………………………………………………… 140
14.2. Основные свойства неопределенного интеграла ………………… 140
14.3.Основные методы интегрирования ………………………………... 140
14.3.1.Метод замены переменной ………………………………………… 140
14.3.2.Подведение под знак дифференциала …………………………….. 140
14.3.3.Метод интегрирования по частям …………………………………. 140
14.4.Таблица основных интегралов …………………………………….. 141
14.5.Обзор используемых приемов интегрирования ………………….. 142
14.5.1.Вычисление интегралов, содержащих квадратный трёхчлен в
253
знаменателе ………………………………………………………… 143
14.5.2.Простейшие рациональные дроби и их интегрирование ………… 143
14.5.3.Интегрирование рациональных дробей …………………………... 144
14.5.4. Интегрирование некоторых иррациональностей ………………… 148
14.5.5.1) Интегрирование квадратичных иррациональностей
R x,ax2 bx c dx …………………………………………………. 149
14.5.6.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции ……………………………………………………………. 151
14.5.7.Интегрирование некоторых иррациональностей с помощью тригонометрических подстановок ……………………………………. 152
14.6.Таблицы часто встречающихся интегралов ………………………. 153
14.6.1. Интегралы от рациональных функций, содержащих ax + b …… 153
14.6.2.Интегралы от рациональных функций, содержащих ax2 b2 …... 154
14.6.3. Интегралы от иррациональных функций, содержащих ax b .. 154
14.6.4.Интегралы от функций, содержащих a2 x2 b2 , b2 a2 x2 ….. 155
14.6.5.Интегралы от некоторых иррациональностей ……………………. 157
14.6.6.Интегралы, содержащие показательную и логарифмическую функции ……………………………………………………………. 157
14.6.7.Интегралы, содержащие тригонометрические функции ……….. 158
14.6.8.Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции. 159
14.6.9.Интегралы, содержащие гиперболические функции …………….. 160
15.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ………………………………... 161
15.1.Определение ………………………………………………………… 161
15.1.1Определённый интеграл как предел интегральной суммы ………
15.1.2.Геометрический смысл определённого интеграла ………………..
15.2. |
Формула Ньютона – Лейбница вычисления определенного |
161 |
|
интеграла ……………………………………. |
|
15.3. |
Основные свойства определенного интеграла …………………… 161 |
15.4.Основные методы интегрирования ……………………………….. 162
15.4.1.Метод замены переменной ………………………………………… 162
15.4.2.Метод интегрирования по частям …………………………………. 162
15.5.Приближенные вычисления определенных интегралов …………. 163
16.НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ……………………………. 163
16.1.Интегралы с бесконечными пределами …………………………… 163
16.2.Интегралы от разрывных функций ……………………………….. 164
254
17.НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ …………………………………………………….. 164
18.ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ………... 166
18.1.Вычисление площадей ……………………………………………... 166
18.1.1.В прямоугольных координатах ……………………………………. 166
18.1.2.В полярных координатах …………………………………………... 167
18.2.Вычисление длин дуг ……………………………………………….. 168
18.2.1.В прямоугольных координатах ……………………………………. 168
18.2.2.В полярных координатах …………………………………………... 168
18.2.3. Кривая задана в параметрической форме ………………………… 168
18.3.Вычисление объёмов тел …………………………………………... 168
18.3.1.Объём тела с известным поперечным сечением …………………. 168
18.3.2.Объем тела вращения вокруг оси Ох кривой y f x …………. 169
18.3.3.Объем тела вращения вокруг оси Оу кривой x y …………. 169
18.4.Площадь поверхности вращения дуги кривой ……………………
18.4.1.Кривая задана уравнением y f
18.4.2.Кривая задана параметрическими уравнениями ………………….……………………………….
18.5.Работа переменной силы …………………………………………… 170
19.ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ………………………………………. 171
19.1.Определение ………………………………………………………… 171
19.2. |
Расстановка пределов интегрирования в двойном интеграле …… 171 |
19.3.Двойной интеграл в полярных координатах ……………………… 173
19.4.Приложения двойных интегралов к геометрии ………………….. 173
19.4.1.Площадь плоской фигуры …………………………………………. 173
19.4.2.Объём цилиндроида ………………………………………………... 173
19.4.3.Площадь поверхности ……………………………………………… 174
19.5. Приложения двойных интегралов к механике …………………… 174
19.5.1.Масса пластинки ……………………………………………………. 174
19.5.2.Статические моменты пластинки …………………………………. 174
19.5.3.Координаты центра тяжести пластинки ………………………….. 174
19.5.4.Моменты инерции пластинки ……………………………………... 175
20.ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ……………………………………….. 175
20.1.Определение ………………………………………………………… 175
20.2.Вычисление тройного интеграла ………………………………….. 176
20.3.Замена переменных в тройных интегралах ………………………. 176
20.3.1. Тройной интеграл в цилиндрических координатах , , z , ……. 176
20.3.2.Тройной интеграл в сферических координатах …………………... 177
255
20.4.Приложения тройных интегралов …………………………………. 177
20.4.1.Объём области трехмерного пространства ……………………….. 177
20.4.2.Масса тела …………………………………………………………... 177
20.4.3.Статические моменты тела ………………………………………... 177
20.4.4.Координаты центра тяжести тела …………………………………. 178
20.4.5.Моменты инерции относительно осей координат ……………….. 178
21.КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ …………………………… 178
21.1.Криволинейный интеграл первого рода ………………………….. 178
21.2. Криволинейный интеграл второго рода …………………………… 179
21.3.Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода ………………………………………………………………….. 181
21.4.Формула Грина ……………………………………………………... 181
22.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ …………………………… 182
22.1.Поверхностный интеграл первого рода …………………………... 182
22.2.Вычисление поверхностного интеграла первого рода …………… 182
22.3.Поверхностный интеграл второго рода …………………………… 183
22.4.Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода ………………………………………………………………….. 185
22.5.Формула Остроградского – Гаусса ………………………………... 186
22.6.Формула Стокса …………………………………………………….. 186
23.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ ………………………………….. 187
23.1.Градиент скалярного поля …………………………………………. 187
23.2.Дивергенция векторного поля ……………………………………. 187
23.3.Ротор векторной функции …………………………………………. 188
23.4.Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме …………... 189
23.5. Формула Стокса в векторной форме ……………………………… 189
23.6.Оператор Гамильтона ……………………………………………… 189
23.7.Дифференциальные операции второго порядка …………………. 190
23.8.Запись дифференциальных операций с помощью оператора Гамильтона …………………………………………………………. 191
24.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ……………………... 192
24.1. Дифференциальные уравнения первого порядка ………………… 192
24.1.1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными …. 192
24.1.2.Однородное дифференциальное уравнение первого порядка …... 192
24.1.3.Линейное дифференциальное уравнение первого порядка ……… 193
24.1.4.Уравнение Бернулли ……………………………………………….. 193
256
24.2.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка ………………………………………………… 193
24.2.1.y // f x …………………………………………………………….. 193
24.2.2.F x, y , y 0 ……………………………………………………….. 193
24.2.3.F y, y , y 0 ……………………………………………………….. 194
24.3.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка …….. 194
24.3.1.Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения …………………………………………………………… 194
24.3.2.Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения …………………………………………………………… 195
24.4.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с по-
стоянными коэффициентами ……………………………………… 195
24.4.1.Общий вид решений однородного уравнения ……………………. 195
24.4.2.Вид частного решения неоднородного уравнения ……………….. 196
25.РЯДЫ ………………………………………………………………... 197
25.1.Основное определение ……………………………………………… 197
25.2.Необходимый признак сходимости числового ряда ……………… 197
25.3.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами ………………………………………………………………. 197
25.3.1.Сравнение рядов …………………………………………………….. 197
25.3.2.Признак Даламбера …………………………………………………. 198
25.3.3.Признак Коши ……………………………………………………….. 198
25.3.4.Интегральный признак ……………………………………………… 198
25.4.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница …………………… 198
25.5.Абсолютная сходимость ……………………………………………. 199
25.6.Некоторые суммы конечного числа слагаемых …………………... 199
25.7.Таблица сумм некоторых числовых рядов ………………………... 199
25.8.Радиус сходимости степенного ряда ………………………………. 200
25.9.Ряд Маклорена ………………………………………………………. 200
25.10.Ряд Тейлора ………………………………………………………….. 201
25.11.Разложение в степенные ряды основных функций ………………. 201
25.12.Приложения рядов к некоторым интегралам ……………………... 203
25.13.Графики частичных сумм …………………………………………... 203
25.14.Ряд Фурье ……………………………………………………………. 204
25.14.1.Ряд Фурье функции периода 2l ……………………………………. 205
25.14.2.Ряд Фурье функции периода 2 …………………………………... 205
25.14.3.Ряд Фурье четной функции периода 2۰l ………………………….. 206
25.14.4.Ряд Фурье нечетной функции периода 2۰l ……………………….. 206
257