1.3. Выравнивание по параболе.

Пусть точки М_i(x_i, y_i), соответствующее парам чисел таблицы 1, группируются вблизи некоторой параболы (рис 2).

рис 2.

В этом случае между переменными Х и У существует функциональная зависимость, которую будем искать в виде:

(1.7)

Найдем параметры a, b и c с таким расчетом, чтобы парабола заданная уравнением (1.7) «наилучшим образом» проходила через множество точек М_i(x_i, y_i), т.е чтобы сумма квадратов отклонений теоретических ординат точек от эмпирических была наименьшей.

Составим эту сумму:

(1.8)

Найдем частные производные по переменным a, b, и c, при­равняем их к нулю, преобразуем полученные уравнения и получим следующую систему уравнений:

(1.9)

Система уравнений (1.9) называется нормальной системой ме­тода наименьших квадратов при выравнивании по параболе.

Решив систему уравнений, найдем параметры a, b, c и подставим их значения в уравнение (1.7). Получим искомую эмпирическую функцию.

Замечание I. Число уравнений нормальной системы уравнений (1.6) и (I..9) метода наименьших квадратов соответствует числу ис­комых параметров.

Замечание 2. Между переменными х и у , заданными табли­цей, существуют зависимости, близкие, например, к показательной функции вида у= аb^x или lgy, lga+xlgb; к функции y=a/x+b (уравнение гиперболы) и др.

§ 2. Порядок выполнения задания

1. Определить вид эмпирической формулы, используя данные задания (см.§1, п.2,3).

2. Написать нормальную систему уравнений (см.§1, п.2,3) в общем виде.

3. Для определения параметров выбранной эмпирической формулы составить расчетную таблицу (см § З).

4. Составить конкретную систему уравнений и решить ее любым способом.

5. Найти значение функции для значения X, выходящего за пределы таблицы (найти прогнозную оценку). Найти

6. Пояснить содержательный смысл коэффициента а, для линейной зависимости.

7. Построить в одной системе координат график полученной функции и точки по исходным данным. Наглядно убедиться, насколько хо­рошо теоретическая линия согласуется с эмпирической линией.

§ 3. Образец выполнения задания

Задание I. Имеются данные о назначенной месячной пенсии (руб) за последние девять месяцев 2003 года по РФ.

Таблица № 2

Месяцы (х)	январь 1	февраль 2	Март 3	апрель 4	Май 5	июнь 6	июль 7	август 8	сентябрь 9
назначенной месячной пенсии (руб) (у)	1,7	1,4	1,5	1,5	1,6	1,6	1,65	1,66	1,7

Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу функциональной зависимости между Х и У.

Решение

1. Для определения вида функциональной зависимости построим в прямоугольной системе координат точки с координатами:

(1;1,7); (2,1,4); (3,1,5); (4;1,5); (5,1,6); .(6,1,6); (7;1,65); (8;1,66); (9;1,7).

рис 3.

Точки группируются около некоторой линии. Следовательно зависимость между переменными Х и У близка к линейной

2. Для вычисления параметров a и b воспользуемся расчетной таблицей № 3.

Таблица № 3.

х у х2 ху 1 1,7 1 1,7 2 1,4 4 2,8 3 1,5 9 4,5 4 1,5 16 6 5 1,6 25 8 6 1,6 36 9,6 7 1,65 49 11,55 8 1,66 64 13,28 9 1,7 81 15,3 45 14,31 285 72,73

3. Напишем нормальную систему уравнений метода наименьших квадратов (См 1.6).

(3.1)

4. Решим систему по правилу Крамера, вычислим параметры a, b с точностью до 0,1.

5. Подставляя найденные значения параметров в формулу ,получим эмпирическую формулу:

(3.2)

выражающую зависимость между начисленной месячной пенсии и месяца года.

6. Используя формулу (3.2), можем найти теоретические значения У для данных значений Х и откло­нение теоретической ординаты от эмпирической:

при х= 1 у=0,02*1+1,5=1,52; ε₁=1,52-1,7= -0,18

при х=2 у=0,02*2+1,5=1,54; ε₂=1,54-1,4 = 0,14

при х=3 у=0,02*3+1,5=1,56; ε₃=1,56-1,5 = 0,06

при х=4 у=0,02*4+1,5=1,58; ε₄=1,58-1,5= 0,08

при х=5 у=0,02*5+1,5=1,6; ε₅=1,6-1,6 = 0

при х=6 у=0,02*6+1,5=1,62; ε₆=1,62-1,6= 0,02

при х=7 у=0,02*7+1,5=1,64; ε₇=1,64-1,65= -0,01

при х=8 у=0,02*8+1,5=1,66; ε₈=1,66-1,66=0

при х=9 у=0,02*9+1,5=1,68; ε₉=1,68-1,7= -0,02.

Сумма отклонений ε_i должна быть близкой к 0.

С помощью формулы можно найти значения У для тех значений X, которое не содер­жатся в таблице, но взяты из области изменения X (интерполировать). Этот факт и оправдывает отыскание эмпирических формул.

Например, пусть Х=4,5, тогда У=0,02*4,5+1,5=1,59.

Отсюда, у_х=4,5 = 1,59 т.е. в середине апреля, будет назначена месячная пенсия в размере 1,59 тыс.руб.

Можно найти значение функции для значения X, выходящего за пределы таблицы, (экстраполировать), т.е. находить прогнозную оценку.

Например, при х=10, У=0,02*10+1,5=1,7, т.е. в октябре будет назначена месячная пенсия в размере 1,7 тыс.руб.

7. Выясним содержательный смысл параметров полученного уравне­ния =0,02х+1,5.

Коэффициент, а =0,02 определяет средний показатель уве­личения месячной пенсии. С каждым месяцем начисленная месячная пенсия увеличивается в среднем на 0,02 тыс.руб.

Свободный член b=1,5 конкретного содержательного смысла не имеет, он определяет начальный уровень.

2. Наглядно убедимся в том, насколько хорошо теоретическая кривая согласуется с исходными данными. Для этого построим точки с координатами: (1;1,7); (2,1,4); (3,1,5); (4;1,5); (5,1,6); .(6,1,6); (7;1,65); (8;1,66); (9;1,7) и полученную теоретическую прямую по точкам (0;1,5); (2;1,54) (рис.4).

На рисунке видно, что погрешности (отклонения ε_i ) теоретических ординат от эмпирических малы по абсолютной величине. Следовательно, теоретическая функция хорошо согласуется с исход­ными данными.

Рис. 4