МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Департамент кадровой политики и образования

ФГОУ ВПО

«Тюменская государственная сельскохозяйственная академия»

Кафедра математики

Метод наименьших квадратов

(методическое указание и варианты заданий к выполнению расчетно-графической работы для студентов-очников 1 курса всех факультетов)

Тюмень 2007

Автор: старший преподаватель Плотникова Т.И., преподаватель Виноградова М.В.

Рецензент:

Предисловие.

Настоящие методические указания предназначены для студентов Института экономики и финансов, Механико-технологического, Агро- технологического институтов и института Биотехнологий и ветеринарной медицины, изучивших раздел курса высшей математики: «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных».

ЦЕЛЬ РАБОТЫ - овладеть методом, наименьших квадратов как одним из методов обработки эмпирических данных, навыками самостоятельной работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

1. Изучить теорию метода наименьших квадратов.

2. Самостоятельно проверить степень усвоения теории с по­мощью предложенных вопросов.

3. Разобраться в решении предложенных задач.

4. Научиться анализировать экспериментальные данные, подбирать вид эмпирической функции и определять параметры функ­ции.

5. Выполнить контрольное задание и сдать на проверку.

6. При защите работы уметь отвечать на контрольные вопросы.

§ 1. Краткая теория.

1.1. Постановка задачи.

В естествознании, биологии, экономике и других науках при измерении и наблюдении устанавливаются различные зависимости (связь между наблюдаемыми величинами X и У) . Эти зависимости обычно выражают аналитически, т.е. различными формулами.

Формулы, составленные на основе данных, полученных в резуль­тате наблюдений, называются Эмпирическими формулами.

Процесс получения эмпирических формул состоит из двух этапов:

1. Подбор вида элементарной функции;

2. Вычисление параметров этой функции.

Рассмотрим один из методов получения эмпирических формул - способ наименьших квадратов.

Пусть на основании эксперимента необходимо найти функциональ­ную зависимость между переменными величинами Х и У.

По результатам измерений составим следующую таблицу:

Таблица 1.

Х	x1	x2	x3	…	хn
У	у1	у2	у3	…	уn

Если вид функциональной зависимости неизвестен, то обычно поступают так: упорядоченные пары чисел (х_i, y_i) (i = 1,2,3 ...k) данной таблицы рассматривают как точки в прямоугольной системе координат ХОУ и строят график. Полученные точки будут группироваться около какой-то линии.

1.2. Выравнивание по прямой.

Предположим, что точки (х_i у_i ) группируются около не­которой прямой.

рис 1.

В этом случае между переменными X и У существует функциональная зависимость, близкая к линейной. Будем искать эту зависимость в виде:

(1.1)

где a и b – параметры, подлежащие, вычислению,

- теоретическое значение функции (вычисленное по формуле).

Поставим задачу: найти такие значения а и b, чтобы прямая (1.1.) «наилучшим образом» проходила через множество точек М_i (x_i, y_i).

Если бы все точки M_i(x_i, y_i ) лежали строго на пря­мой (1.1), то для каждой из точек было бы справедливо следую­щее равенство:

однако на практике имеет место следующее равенство:

(1.2)

т.е существует (отклонение) между наблюдаемыми ординатами (эмпирическими) и ординатами, полученными по урав­нению (теоретическими).

Принцип метода наименьших квадратов утверждает: оптимальны такие значения параметров а и b при которых сумма квадратов отклонений минимальна. Составим эту сумму:

или

(1.3)

Для исследования функции (1.3) с двумя переменными на ми­нимум, найдем частные производные, приравняем их к нулю и решив систему уравнений, найдем а и b.

(1.4)

или

(1 .5)

Введя сокращенные обозначения, получим систему уравнений (1.5) в следующем виде:

(1.6 )

Решив систему (1.6), найдем значения параметров а и b и подставим их значения в эмпирическую формулу (1.1).

Нахождение линейной функциональной зависимости называется выравнивание по прямой, а система уравнений (1.6) - нормальной системой метода наименьших квадратов при выравнивании по прямой.