ДС Радиооптика_1 / Литература ч.1 / Введение в радиооптику

Введение в радиооптику

Система на рис 2.7 (а) обладает тем достоинством, что позволяет изменять масштаб Фурье-преобразования (1.1) выходного сигнала, который определяется положением источника и транспаранта

νx = (R + d1 − fл)x/λfлR; νy = (R + d1 − fл)y/λfлR. (2.12)

Точное преобразование Фурье (без фазовых искажений) с пространственными частотами νx = x/λfл, νy = y/λfл получается, когда транспарант находится в передней фокальной плоскости линзы (d1 = fл). Очевидно, что в предельном случае R → ∞ мы приходим к формуле (2.8).

Изложенный принцип может быть использован для построения оптических схем, позволяющих изменять масштаб Фурьепреобразования, что полезно при построении оптических устройств обработки информации. Одна из таких схем представлена на рис 2.7 (б). При уменьшении расстояния d2 масштаб также уменьшается.

В заключении следует отметить, что эффективность дифракции в тонких линзах в значительной степени определяется углом падения и геометрическими размерами решетки.

2.2 Оптический спектроанализатор

Из сопоставления формулы (1.2) с выражением для комплексного спектра временного сигнала

+∞

S&2 (iω) = ∫s(t)exp(−iωt)dt

−∞

видно, что роль сигнала s(t) должна выполнять комплексная амплитуда светового распределения u&1 (x) и в структуре этого распределения дол-

жен быть отражен пространственный сигнал, подлежащий оптической обработке.

Простейшим способом ввода обрабатываемого сигнала в ОС является использование амплитудных транспарантов, представляющих собой плоскопараллельные пластины с переменной прозрачностью Т(х,у), в законе изменения которой вдоль соответствующей координаты содержится информация о сигнале.

Пусть в плоскости Р1 в области щелевой диафрагмы (рис. 2.8) установлен амплитудный транспарант с функцией прозрачности 1>Т(х)≥0, не зависящей от координаты у и определяемой как Т(х) = =Тmпр(х)/Тmпад(х) ≥ 0 − отношение амплитуд световых волн, прошедшей через и падающей на транспарант соответственно. Для обеспечения возможности записи на амплитудный транспарант биполярного сигнала Т≈(х) необходимо ввести в функцию прозрачности Т(х) положительный пьедестал Т0, такой, чтобы выполнялось соотношение Т(х) = Т0 + Т≈(х)≥0.

31

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

В большинстве случаев входная плоскость Р1 КОП освещается плоской монохроматической волной

E(x, y, z = −0, t) = Re { E& 2 (x, y, z = −0) exp(iωt)},

где E&(x, y, z = −0) = E& 0 = const − комплексная амплитуда светового поля;

ω=2πc/λ − угловая частота; с − скорость света в вакууме.

С учетом определения функции прозрачности и трансформирующего свойства линзы (1.2) комплексную амплитуду поля в выходной плоскости Р2 можно представить в виде

−L

который свидетельствует о том, что простейшая оптическая схема на рис. 2.8 позволяет выполнить преобразование Фурье над пространственным сигналом Т(х). Для иллюстрации соотношения (2.13) рассмотрим два простых примера.

Сначала обратимся к пространственному аналогу одиночного прямоугольного видеоимпульса. Очевидно, что при этом функция прозрачности амплитудного транспаранта должна иметь вид

Рисунок 2.8 − Одномерный анализатор пространственного спектра

причем 0 < Т0 < 1 (рис. 2.9, а). При Т0 = 1 имеем дело с диафрагмой в виде одиночной щели. Используя (2.13), легко получаем

где C& = (iλF)−0,5Е0, а sinc(х) = [sin(x)]/x и используется в дальнейшем.

Распределение амплитуды светового поля вдоль координаты ξ согласно (2.14) отражает структуру амплитудного спектра исходного про-

32

Введение в радиооптику

странственного сигнала − одиночного прямоугольного видеоимпульса

(рис. 2.9, б).

а) б)

Рисунок 2.9 − Функция прозрачности одиночной щелевой диафрагмы (а) и распределение амплитуды светового поля в фокальной плоскости линзы для щелевой диафрагмы (б)

Функция arg E& (ξ) с точностью до постоянного известного сла-

гаемого arg C& содержит в себе информацию о фазовом спектре анализируемого сигнала Т(х).

В качестве второго примера рассмотрим пространственный аналог одиночного радиоимпульса с прямоугольной огибающей без внутриимпульсной модуляции. В этом случае функция прозрачности амплитудного транспаранта (рис. 2.10, а) имеет вид

где T0 и Тm − положительные коэффициенты, удовлетворяющие неравенствам Т0 + Тm ≤ 1, Т0 − Тm ≥ 0; к = 2π/ΛТ, ΛТ − пространственный период осциллирующей составляющей функции прозрачности транспаранта по оси 0х. Физически такой функции прозрачности соответствует гармоническая дифракционная решетка.

а) б)

Рисунок 2.10 − Функция прозрачности гармонической дифракционной решетки (а) и распределение амплитуды светового поля в фокальной плоскости линзы для гармонической решетки (б)

33

+ Tm / 2T0 sin c[(kξ/ F + к)L]},

откуда видно, что два последних слагаемых обусловлены "высокочастотной" компонентой Тmcos(кх) в исходной функции прозрачности Т(х). Амплитудный спектр E& 2 (ξ) на рис. 2.10 (б) построен в предположении,

что рассматриваемый пространственный сигнал является узкополосным (в смысле, который принят в отношении временных сигналов в радиотехнике). Из этого рисунка видно, что пространственное распределение амплитуды светового поля в окрестности координат ±ξ0 адекватно отражает структуру амплитудного спектра сигнала Tmcos(кх).

Рассмотренное выше позволяет утверждать, что простейшую оптическую систему (см. рис. 2.8) можно рассматривать как анализатор спектра пространственных сигналов, представленных в виде соответствующей функции прозрачности амплитудного транспаранта [1].

Отметим главные особенности, характеризующие пространственное преобразование Фурье. Во-первых, оно реализуется максимально быстро (если отвлечься от необходимости ввода-вывода информации). Собственно спектр записанного пространственного сигнала формируется за время, в течение которого световая волна преодолевает расстояние между входной и выходной плоскостями оптической системы. Вовторых, сложное интегральное преобразование, с которым в традиционной радиоэлектронике ассоциируются представления о громоздких многоканальных фильтровых анализаторах спектра, в оптическом варианте воплощается чрезвычайно просто. И последним принципиальным достоинством систем оптической обработки информации по сравнению с электронными является их двумерный характер. Действительно, в рассмотренных выше примерах анализировался одномерный случай пространственной обработки (однородность системы вдоль осей 0х и 0η). Вторую пространственную координату можно использовать двояко. Для одномерных в информационном смысле сигналов (к которым относятся все радиосигналы) вдоль второй координаты (у на рис. 2.8) можно разместить параллельные независимые каналы одновременной обработки и реализовать, таким образом, многоканальный анализатор спектра. В случае двумерных пространственных сигналов естественно осуществлять их двумерное преобразование Фурье, что достигается с помощью сферической линзы (см. рис. 1.1) согласно ее трансформирующему свойству, выражаемому формулой (1.1). В практических приложениях одномерное преобразование Фурье применяется, например, при спектральном анали-

34

Введение в радиооптику

зе радиосигналов, а двумерное преобразование используется при распознавании двумерных образов.

2.3 Принцип пространственной фильтрации

Принцип пространственной фильтрации является важнейшим в оптической обработке информации. Пространственная фильтрация в оптических системах − аналог фильтрации, осуществляемой во временной области электрическими цепями и позволяет выполнять над световым полем тот же (и даже более широкий) набор операций, но только в пространственной, а не во временной области [1, 3].

Для пояснения принципа пространственной фильтрации рассмотрим оптическую схему (рис. 2.11), последовательно осуществляющую пару преобразований Фурье.

Пусть E&1 (x, y) = Е0m u&1 (x, y) − комплексная амплитуда свето-

вой волны во входной плоскости оптической системы Р1, а Е0m − вещественная амплитуда. Согласно (1.1) в промежуточной плоскости Р2 (плоскости пространственных частот линзы Л2) комплексная амплитуда светового поля будет

E& 2 (p,q) = AE0m ∫∫E&1 (x, y)exp(px + qy)dxdy = AE0m U& 1 (p,q),

S

где через U& 1 (p,q) обозначен пространственный спектр сигнала u&1 (p,q), а А − коэффициент пропорциональности, вид которого сейчас не важен.

Рисунок 2.11 − Оптическая схема, последовательно осуществляющая пару преобразований Фурье

Комплексная амплитуда светового поля в выходной плоскости системы Р3 вычисляется аналогично (с учетом ориентации осей 0х′ и 0у′):

E& 3 (x′, y′) = E0m u&3 (x′, y′) = AE0m (F / k) ∞∫ ∞∫U& 1 (p,q) ×

−∞−∞

×exp[−i(px′ + qy′)dpdq = (2πA)2 (F / k)E&1 (x′, y′).

35

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

Это означает совпадение распределений комплексных амплитуд световых полей во входной P1 и выходной Р3 плоскостях с точностью до постоянного комплексного сомножителя и с учетом изменения направления отсчета координат. Таким образом, оптическая схема с двойным преобразованием Фурье восстанавливает входной пространственный сигнал в плоскости изображения Р3. При использовании в рассматриваемой схеме линз с различными фокусными расстояниями можно изменять масштаб выходного сигнала.

Оптическая система, осуществляющая двойное преобразование Фурье, позволяет реализовать процедуру пространственной фильтрации. Для этого в плоскости пространственных частот Р2 размещается фильтр в виде транспаранта с комплексной функцией пропускания

H&(p,q) = H(p,q)exp[iϕH (p,q)],

где H(p,q) и ϕН(p,q) − его амплитудная и фазовая характеристики соответственно. Комплексная амплитуда поля после этого фильтра есть про-

изведение AE0m U& 1 (p,q)H(p,q). Линза Л2 выполняет обратное преобразо-

вание Фурье от этого произведения, так что получаем распределение светового поля в выходной плоскости Р2 в виде

E& 3 (x′, y′) = E0m u&3 (x′, y′) = A2 E0m ∞∫ ∞∫U& 1 (p,q)H& (p,q) ×

−∞−∞

×exp[−i(kξx′/ F + kηy′/ F)]dξdη.

Используя теорему умножения преобразований Фурье, находим

S

где h& (x,y) есть обратное преобразование Фурье от передаточной функ-

ции фильтра H& (p,q), или, говоря иначе, − импульсная характеристика фильтра.

Формула (2.17) дает выходное распределение светового поля в виде двумерной свертки поля на входе с импульсной реакцией пространственного фильтра в плоскости Р2 и является двумерным аналогом формулы для временного отклика фильтра в теории линейных электрических цепей. Если в качестве фильтра в плоскость Р2 поместить транспарант с

функцией передачи H& (p,q) = U& 1* , то приходим к схеме согласованного

пространственного фильтра, поскольку формула (2.17) переходит при этом в

u&3 (x′, y′) = (2πAF/ k)2 ∫∫u&1 (x, y)u&1* (x′ − x, y′− y) dxdy,

S

36

Введение в радиооптику

т.е. в функцию автокорреляции подлежащего обработке сигнала u&1 (х,у).

Главное прикладное значение оптических согласованных фильтров − выделение сигналов на фоне аддитивных гауссовых шумов и опознание двумерных образов.

В качестве простого примера реализации процедуры пространственной фильтрации рассмотрим следующую ситуацию [1]. Предположим, что в структуре сигнала записанного в виде функции прозрачности (2.15), показанной на рис. 2.10 (а) периодическая пространственная составляющая является аддитивной помехой для прямоугольного видеоимпульса, от которой желательно избавиться. С этой целью амплитудный транспарант с записанным сигналом Т(х) разместим в плоскости Р1 оптической системы рис. 2.11, в которой сферические линзы заменим на цилиндрические, поскольку в этом случае достаточно одномерных преобразований. В плоскости пространственных частот Р2 получим распределение комплексной амплитуды светового поля, описываемое формулой (2.16) и показанное на рис. 2.10 (б). Ясно, что установка в плоскости Р2 пространственного полосового фильтра в виде щелевой диафрагмы, пропускающей лишь часть светового распределения, локализованного в области координатной линии ξ = 0, позволит устранить в восстановленном

вплоскости изображения Р3 сигнале периодическую составляющую.

Вболее сложных случаях (например, при согласованной фильтрации) требуется применение пространственных фильтров с комплексной функцией пропускания. Как показал А. Вандер-Люгт, голографическая запись световых полей, открывает возможность при использовании тех или иных регистрирующих сред сформировать пространственные фильт-

ры, представляющие собой маски (иначе говоря, − транспаранты) с переменной по площади или объему прозрачностью. Функция передачи таких фильтров при когерентном освещении будет иметь в общем случае комплексный характер. Фильтры Вандер-Люгта, помещенные в оптическую систему надлежащей структуры, могут осуществлять пространственную фильтрацию светового поля − как полосовую, так и согласованную [1, 3].

2.4 Оптический коррелятор

Пространственное преобразование Фурье в сочетании с пространственной фильтрацией лежит в основе функционирования простейшего оптического коррелятора, структурная схема которого представлена на рис. 2.12 [1].

В рассматриваемой оптической схеме осуществляются одномерные преобразования, т.е. система однородна относительно оси 0у. Коллимированный пучок когерентного света с амплитудой E0m падает на транспарант Т1, на котором в виде функции прозрачности записан один

37

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

из коррелируемых сигналов Т1(x) = Т10 + T1≈(x), причем Т10 − постоянная составляющая, а Т1≈(х) − собственно сигнал. Через транспарант пройдет волна с комплексной амплитудой E&1(x) = E0m[T10 + T1≈(x)]. Цилиндриче-

ская линза Л1 выполняет преобразование Фурье этого распределения. Непрозрачная пластина П, установленная в фокальной плоскости Р2 линзы Л1, выполняет роль режекторного фильтра, устраняя из спектра постоянную составляющую. Линза Л2 восстанавливает в плоскости Р3 расположения второго транспаранта Т2 световое распределение

E& 2 (x′) = E0m T1≈ (x) .

Рисунок 2.12 − Оптический коррелятор

При этом пространственная инверсия восстановленного сигнала учтена изменением направления оси 0х′ в плоскости Р3, а также опущен несущественный для дальнейшего постоянный сомножитель. На транспаранте записан второй коррелируемый сигнал в виде функции прозрач-

ности Т2(х′) = Т20 + Т2≈(х′− −х0), где х0 − расстояние, на которое сдвинут второй транспарант относительно первого вдоль оси 0х′. Непосредственно за транспарантом Т2 получается световое поле с комплексной амплитудой

E& 3 (x′) = E0m T1≈[T20 + T2≈ (x′ − x0 )].

В плоскости пространственных частот линзы ЛЗ комплексная амплитуда светового поля описывается выражением

E&4 (x0 , p) = C& ∫L [T1≈ (x′)T20 + T1≈ (x′)T2≈ (x′− x0 )]exp(ipx′)dx′, ,

−L

где 2L − длина транспаранта; C& − комплексная постоянная.

Диафрагма имеет область прозрачности лишь при р = 0, т.е. на линии, соответствующей нулевой пространственной частоте. Поэтому комплексная амплитуда светового поля за диафрагмой будет

38

Введение в радиооптику

L

E& 4 (x0 ,0) = C& ∫[T1≈ (x′)T20 + T1≈ (x′)T2≈ (x′ − x0 )]dx′.

−L

Поскольку произведение Т1≈(х′)Т20 − знакопеременная и обычно быстро осциллирующая функция, интеграл от нее пренебрежимо мал, так что окончательный результат имеет вид

−L

где R12(х) − взаимно корреляционная функция (ВКФ) Т1≈(х) и Т2≈(х). Следует подчеркнуть, что выражение (2.18) дает только один от-

счет ВКФ, соответствующий фиксированному пространственному сдвигу сигналов по х0. Для получения ВКФ на заданном конечном интервале необходимо непрерывное перемещение (протяжка) одного транспаранта относительно другого.

Характеризуя описанное устройство в целом, следует отметить сравнительную простоту реализации важного интегрального алгоритма, потенциально высокое быстродействие, возможность многоканальной обработки, обусловленную двумерностью оптического изображения. Изложенное позволяет заключить, что основные с точки зрения задачи обработки сигналов разновидности когерентного оптического процессора (оптические спектроанализатор и коррелятор) перспективные устройства анализа сигналов, в реализациях которых в полной мере отражаются богатые потенциальные возможности пространственной обработки радиотехнической информации как в функциональном, так и конструктивном плане.

Очевидно, что практическую ценность рассмотренные процессоры приобретают только тогда, когда обработка сигналов может вестись в реальном времени. Возможность подобной обработки, качественные и количественные показатели ее эффективности определяются характеристиками устройства ввода анализируемой информации в КОП. В настоящий момент потребностям современной техники обработки сигналов в наибольшей мере соответствуют акустооптические модуляторы, которые используются для ввода радиотехнических сигналов в оптическую систему обработки [1].

2.5 Акустооптические модуляторы

Разновидностью КОП, ориентированных на обработку радиосигналов, являются акустооптические процессоры (АОП), в которых для ввода радиосигналов в оптическую систему используются акустооптические модуляторы (АОМ), работающие на эффекте акустооптического

39

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

взаимодействия (АОВ). Можно сказать, что АОМ выполняют функции динамического сигнального транспаранта. Внешне АОВ проявляется как дифракция света на акустических волнах в прозрачной среде [1, 4].

Акустооптический модулятор представляет собой (рис. 2.13) прозрачный плоскопараллельный звукопровод 1, выполненный из стекол или монокристаллов, к металлизированному торцу 2 которого термокомпрессией крепится пластинка 3 из пьезоэлектрика к которой прикладывается переменное напряжение. Под действием этого напряжения возникают механические колебания пластинки пьезоэлектрика, возбуждающие в звукопроводе бегущую акустическую волну. Распространяющаяся в упругой среде бегущая акустическая волна создает пространственновременное распределение давления. Изменению давления во времени и пространстве соответствует пространственно-временное изменение плотности и, следовательно, оптического коэффициента преломления среды. Падающая на такую среду световая волна рассеивается на “волнах” коэффициента преломления, в результате чего образуется дифракционное световое поле. Характеристики этого поля зависят от частоты акустической волны и взаимной ориентации обоих полей в пространстве, т.е. от геометрии их взаимодействия. Существуют два основных режима дифракции света на акустических волнах, которые теоретически трактуются с различных физических позиций.

Рисунок 2.13 − Акустооптический модулятор

Режим дифракции Рамана − Ната. В этом режиме дифрагиро-

ванное световое поле рассматривается как результат прохождения света через тонкую чисто фазовую пластинку с переменным во времени и пространстве коэффициентом преломления n(x,y,t). Такой пластинке можно сопоставить транспарант с функцией пропускания вида Т2(х,y,t)=Т0exp[iϕ(x,y,t)], причем Т2(х,y,t) = Т0 = const, а ϕ = kn(x,y,t)l.

Пусть в плоскопараллельной пластинке толщиной l, длиной 2L (рис. 2.14) распространяется гармоническая акустическая волна частотой Ω со скоростью V вдоль оси 0х.

40