ДС Радиооптика_1 / Литература ч.1 / Введение в радиооптику

Введение в радиооптику

нии теоремы свертки, правила дискретизации [4] и непосредственного применения преобразования Фурье к импульсным откликам hs (1.31) и hϕ (1.32). Проиллюстрируем этот подход для нахождения передаточной функции слоя пространства в области Френеля Нϕ(νх,νу).

Для нахождения Нϕ(νх,νу) запишем волновое уравнение (1.6) в декартовой системе координат:

Для решения уравнения (1.40) используем двумерное преобразование Фурье. Прямое преобразование (1.4), примененное к функции U(х,у,z), дает двумерную спектральную плотность

а обратное Фурье-преобразование (1.5) позволяет найти по известной спектральной плотности функцию координат

Чтобы использовать эти преобразования, умножим (1.40) на exp[−2iπ(νхx + νуу)] и проинтегрируем по х и у в бесконечных пределах. Учитывая, что в силу свойств Фурье-преобразования

получаем следующее дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет спектральная плотность

Решением этого дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами является

где С1 и С2 – постоянные интегрирования (они не зависят от z, но могут зависеть от частот νх и νу), определяемые из граничных условий.

21

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

Первый член в (1.44) соответствует расходящейся волне (временная зависимость exp(−2iπνt)), а второй – сходящейся, поэтому С2 = 0. Постоянная С1(νх,νу) находится из следующих соображений. Так как нам известно поле во входной плоскости при z = 0 – U(x,y,0), то, следовательно, можно найти его двумерную спектральную плотность

G(νx ,νy ,0) = {U0 (x, y,0)}= ∞∫∫U0 (x, y,0)exp[−2iπ(νx x+νy y)dxdy. (1.45)

−∞

Из выражения (1.44) вытекает, что при z = 0 С1(νх,νу) = G(νх,νу,0). Таким образом,

G(νx ,νy , z) = G(νx ,νy ,0) exp{ikz[1 − (λνx )2 − (λνy )2 ]0,5 }. (1.46)

Из формулы (1.46) следует, что для определения спектральной плотности выходного сигнала G(νх,νу,z) нужно спектральную плотность входного сигнала G(νх,νу,0) умножить на функцию

которую в этом случае необходимо рассматривать как передаточную функцию слоя пространства (см. рис. 1.6). Применяя к (1.45) обратное Фурье-преобразование (1.5), получаем выходной сигнал [4]

×exp[i2π(νx x+νy y)]dνxdνy.

Итак, чтобы найти поле в произвольной точке (x,y,z) по заданному распределению поля в плоскости z = 0, нужно, во-первых, определить двумерную спектральную плотность заданного поля (по формуле (1.45)); во-вторых, умножить ее на коэффициент передачи слоя пространства (1.47); в-третьих, от полученной функции взять обратное Фурьепреобразование (1.42). Этот подход полностью аналогичен расчету реакции на выходе частотного фильтра, что является следствием инвариантности слоя пространства относительно сдвига по координатам х и у.

Как видно из формулы (1.47), коэффициент передачи Нϕ(νх,νу) слоя пространства является величиной комплексной, поэтому может быть представлен в виде

Нs(νх,νу) = Нs(νх,νу) exp iϕ(νх,νу), (1.49)

где Нs − амплитудночастотная, а ϕ − фазочастотная характеристики. В

области пространственных частот (λνх)2 + (λνу)2 = 1, определяемой кру-

гом с радиусом, равным 1, Нs(νх,νу) = l; ϕ(νх,νу) = kz[1 − (λνх)2 + +(λνу)2]0,5, а в области частот, лежащей вне этого круга

Нs(νх,νу) = ехр{− kz[(λνх)2 + (λνу)2 − 1]0,5}; ϕ(νх,νу) = 0.

22

Введение в радиооптику

Эти характеристики показаны на рис. 1.8.

Рисунок 1.8 − Характеристики слоя пространства

Следовательно, слой пространства ведет себя как фильтр нижних частот с полосой пропускания пространственных частот νс = [νх2 +νу2]0,5 = 1/λ или пространственным периодом Тс = 1/λс = λ. Таким образом, все пространственные гармонические составляющие распределения поля в плоскости z = 0 (см. рис. 1.6) с пространственными частотами λх, λу > 1/λ (или пространственным периодом Тx,y < λ) при распространении ЭМВ в слое пространства с увеличением расстояния z быстро затухают. Это явление проявляется лишь при достаточно больших λ и мелкой структуре поля в плоскости z = 0.

Передаточная функция слоя пространства в области Френе-

ля. Передаточную функцию Нϕ(νх,νу) в области Френеля найдем непосредственно подставляя импульсную характеристику hϕ(νх,νу) из (1.32) в Фурье-образ импульсного отклика (передаточную функцию системы, или иначе коэффициент передачи системы)

Hϕ(x,y) =kexp(ikz)/2iπz ∞∫∫exp[0,5ik(x2 +y2)/z]exp[−2iπ(νxx +νyy)]dx =

−∞

=kexp(ikz)/2iπz ∞∫exp(0,5ikx2 /z −2iπνxx)dx∞∫exp(0,5iky2 /z−2iπνyy)dy.

На рис. 1.9 приведены зависимости модуля и фазы коэффициента передачи от пространственной частоты (νх2 + νу2)0,5.

Рис. 1.9 − Характеристикислоя пространства в приближении Френеля

23

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

Ясно, что модуль коэффициента передачи Нϕ(νх,νу) = 1 постоянен, а фаза изменяется по квадратичному закону

ψ=kz0{1−0,5[(λνx)2 +(λνy)2]}.

Поле в произвольной точке зоны Френеля определяется анало-

гично (1.48)

U(x, y,z) =exp(ikz) ∞∫∫G(νx ,νy ,0)exp{−0,5ikz[(λνx )2 +(λνy )2 ]}× (1.51)

−∞

×exp[2iπ(νx x+νy y)]dνxdνy.

Сравнивая строгое выражение (1.47) с приближением Френеля (1.50), видно, что последнее выражение справедливо, когда в области интегрирования 1 >> (λνх)2 + (λνу)2.

Фактически последнее неравенство должно соблюдаться для

наивысшей частоты спектра νmax = (ν2x max + ν2y max)0,5, зависящей от размера наименьшей неоднородности lmin распределения поля в плоскости

z= 0 − νmax = l/lmin. Френелевское приближение для коэффициента передачи справедливо в том случае, когда (kν4maxλ4/8)z < 0,1π (см. (1.27), (1.28)). Отсюда получаем ограничение на приближение Френеля, основанное на

Таким образом, получили два условия − (1.26) и (1.52). Первое устанавливает нижнюю границу z, а второе верхнюю. Если обе области перекрываются, т. е.

то приближение Френеля дает хороший результат на всей оси z [4]. Приближение "тени". В радиооптике часто необходимо знать

поле за различными неоднородностями (диафрагмами, транспарантами, линзами, дифракционными решетками и т.п.). Точное решение задачи имеет вид (1.48). Тогда, ограничиваясь в силу малости z первым членом разложения ехр{ikz[1 − (λνх)2 − (λνу)2]0,5} в ряд и допуская максимальную погрешность такого приближения 0,5kz(λνmax)2 < 0,1×2π, получаем из

(1.48):

−∞

=exp(ikz)U(x, y,0).

Таким образом, при малых z в принятом приближении поле в плоскостях, перпендикулярных оси z, распределено точно так же, как и в плоскости z = 0. Экспоненциальный множитель exp(ikz) учитывает лишь набег фазы волны при распространении между двумя плоскостями.

24

Введение в радиооптику

Выражение (1.54) называется приближением тени. Учитывая, что νmax ≈ 1/lmin (lmin − минимальная неоднородность поля в плоскости z = 0), получаем область значений величины z, в которой справедливо приближение "тени"

В частности, при λ = 0,5 10−6 м, lmin = 10−4 м получим z ≤ 4 мм, a при той же длине волны и lmin = 10−3 м величина z ≤ 400 мм.

2 КОГЕРЕНТНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССОРЫ

Используя основные положения и принципы скалярной теории дифракции рассмотрим процессы, происходящие в оптических процессорах, позволяющих реализовать оптическую обработку информации [1, 4].

Схема когерентного оптического процессора (КОП) приведена на рис. 2.1 и включает в себя: источник когерентного света (ИКС), состоящий из источника излучения − лазера и коллиматора; устройство ввода (УВ) входного сигнала s вх(t) в оптическую систему (ОС), реализующую заданный алгоритм пространственной обработки; фотоприемник (ФП), преобразующий оптическое излучение в выходной электрический сигнал sвых(t).

Рисунок 2.1 − Обобщенная структурная схема когерентного оптического процессора

2.1 Пространственное преобразование Фурье в ОС

Выше было показано, что свойствами Фурье-преобразования обладают тонкие линзы. По современным представлениям фокусирующее действие линзы − процесс преобразования сигнала в его спектральную плотность. Основные этапы этого преобразования следующие: сначала пространственный сигнал модулируется линзой по фазе, которая изменяется по квадратичному закону (а пространственная частота − по линейному). В результате получается пространственный сигнал с линейной частотной модуляцией. Затем промодулированный сигнал пропускается через фильтр с квадратичной фазочастотной характеристикой и равномерной амплитудно-частотной характеристикой, причем фаза импульсной характеристики фильтра изменяется так же, как фаза коэффициента пропускания линзы, только с обратным знаком. Роль такого фильтра играет соответствующий слой свободного пространства [4].

25

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

Наибольшее применение на практике получили сферические (параболические) линзы. Они образованы двумя сферическими (параболическими) поверхностями (рис. 2.2, а) и в параксиальном приближении (вблизи оси линзы) обладают одинаковыми свойствами.

Рисунок 2.2 − Линза (а) и действие собирающей (б) и рассеивающей (в) линз на плоскую световую волну

Линза считается тонкой, если можно пренебречь смещением светового луча внутри нее, т.е. если координаты хл, ул точек входа и выхода луча на поверхностях линзы совпадают. Тогда линза вызывает лишь искривление волнового фронта проходящей световой волны, но не влияет на ее амплитуду. Поэтому тонкую линзу можно рассматривать как фазовый транспарант с функцией пропускания Тл = ехр[iϕ(хл,ул)], где ϕ(хл,ул) − характеризует фазовую задержку волнового фронта в точке (хл,ул), при этом используется временная зависимость вида exp(−iωt).

Если d0 − максимальная толщина линзы, изготовленной из материала с показателем преломления n, а толщина линзы в точке (хл, ул) составляет d(хл,ул), то

и в параксиальном приближении

d(хл, ул) ≈ d0 - 0,5(х2л + у2л)(1/R1 +1/R2 ),

где R1 и R2 − радиусы кривизны поверхностей линзы.

При R1 > 0 и R2 > 0 имеем двояковыпуклую линзу (рис. 2.2, б), а

формулу (2.1) можно записать в виде ϕ(х, у) = knd0 − k(х2л + у2л)/2fл.

Здесь первое слагаемое описывает постоянную фазовую задержку, которая не сказывается на работе оптических систем и поэтому может не учитываться. Тогда для функции пропускания получим

26

Введение в радиооптику

Если на линзу параллельно оптической оси падает плоская волна с амплитудой U0, то линза модулирует ее по фазе, и световое ЭМП непосредственно за линзой будет иметь вид

Выражение (2.4) в параксиальном приближении описывает сферическую волну, которая при fл > 0 сходится в точку, находящуюся на оптической оси на расстоянии fл за линзой (рис. 2.2, б), а при fл < 0 расходится из точки, расположенной на таком же расстоянии перед линзой

(рис. 2.2, в).

Простейшая оптическая система. Эта система − оптический каскад − состоит из одной линзы с примыкающими к ней слоями пространства (рис. 2.3). Пусть входная плоскость Р1 − х0, у0 с заданным распределением комплексной амплитуды U0(х0,у0) находится на расстоянии d1 перед линзой, а выходная плоскость P2 − х, у находится на расстоянии d2 за линзой.

Рисунок 2.3 − Оптический каскад

Для решения задачи на первом этапе определяем световое поле непосредственно перед линзой, воспользовавшись формулой дифракции Френеля (1.22):

Здесь опущен несущественный фазовый множитель exp(ikd1), описывающий постоянную фазовую задержку [4].

Далее, на втором этапе определяем световое поле непосредственно за линзой − Uл(хл,ул)Тл(хл,ул). Реальные линзы, естественно, имеют ограниченные размеры. Однако, если поле локализовано вблизи оси линзы и занимает небольшую часть пространства, можно считать, что апертура линзы бесконечна. В тех случаях, когда необходимо учесть влияние конечных размеров апертуры, следует рядом с идеальной линзой распо-

27

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

ложить диафрагму, у которой диаметр отверстия равен диаметру апертуры линзы. В этом случае в последнем выражении появляется множитель Та(хл,ул) − функция зрачка, равная 1 в апертуре линзы и равная 0 вне ее (эффект виньетирования).

И наконец, на третьем этапе определяем световое поле в выходной плоскости Р2, воспользовавшись формулой дифракции Френеля:

Объединив (2.4) − (2.6) и выполнив интегрирование по переменным хл, ул , получим

где 1/ χ =1/ d1 +1/ d2 −1/ fл.

Рисунок 2.4 − Оптический каскад при d2 = fл и его функциональная схема

Выражение (2.7) описывает преобразование оптического сигнала тонкой линзой с бесконечной апертурой и позволяет рассчитать световое поле на произвольном расстоянии d1 от линзы. В частном случае d2 = fл, т.е. когда плоскость Р2 совпадает со второй фокальной плоскостью линзы (рис. 2.4), формула (2.7) упрощается:

−∞

28

Введение в радиооптику

Из сравнения последнего выражения с (1.1) видно, что интеграл в (2.6) есть Фурье-преобразование функции U0(x0,y0) с пространственными

частотами νх = х/λfл, νу = у/λfл.

Следовательно, с точностью до квадратичного фазового множителя распределение светового поля в выходной фокальной плоскости линзы P2 представляет собой Фурье-образ распределения поля во входной плоскости P1. Фазовый множитель, стоящий перед интегралом, описывает параболическое искривление волнового фронта с радиусом кривизны fл/(l − d1/fл). Если плоскость Р1, совпадает с входной фокальной плоскостью линзы d1 = fл (рис. 2.5), это искривление исчезает, и реализуется точное преобразование Фурье. Таким образом, световые поля во входной и выходной фокальных плоскостях линзы связаны между собой преобразованием Фурье.

Рисунок 2.5 − Фокусирующая система

В системах оптической обработки сигналов (информации) ее ввод в световой пучок осуществляется с помощью пространственновременных модуляторов света (транспарантов). Если такой транспарант с функцией пропускания Т0(х0,у0), то в выходной - фокальной плоскости линзы формируется Фурье-образ функции Т0(х0,у0).

Рассмотрим сначала освещение транспаранта плоской волной UП= U0exp[ik(αx0 + βy0)], при этом в плоскости транспаранта имеем

U0(x0,y0) = T0(x0,y0)U0exp[ik(αx0 + βy0)]. Подставляя это выражение в (2.8)

и используя схему на рис. 2.6, получаем, что согласно теореме смещения изображение спектральной плотности T0(x0,y0) в выходной плоскости Р2 смещается вдоль осей х и у в зависимости от углов α и β.

На рис. 2.6 изображены спектр транспаранта прямоугольной формы, освещенного наклонной плоской волной.

Оптические схемы с управляемым масштабом Фурье-

преобра-зования. Предположим теперь, что транспарант освещается сферической волной от источника, расположенного от него на расстоя-

нии R (рис. 2.7, а).

29

Г.Г. Червяков, В.В. Роздобудько

Рисунок 2.6 − Спектр транспаранта, освещенного наклонной плоской волной

При R > 0 волна расходится. Световое поле непосредственно за транспарантом в плоскости Р1 имеет вид

U0(x0,y0) = U0/Rexp[0,5ik(x20 + y20)/R]T0(x0,y0). (2.9)

Подставив (2.9) в (2.7), получим

Если расстояния R, d1 и d2 связаны соотношении тонкой линзы типа (2.2) − (R + d1)−1 + d−12 = fл−1, то

Таким образом, при возбуждении транспаранта сферической волной от точечною источника Фурье-образ функции T0(x0,y0) формируется в плоскости изображения источника на расстоянии fлR/(R + d1 − fл) от линзы, а не в ее фокальной плоскости.

30