Тер.вер(решение задач)

Задача 117. Дана таблица:

Задание:

1)построить гистограмму частот. Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии;

2)используя результаты пункта 1, обосновать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Записать выражение соответствующего теоретического распределения;

3)вычислить для всех интервалов значений X соответствующие вероятности и теоретические частоты, используя критерий Пирсона (с уровнем значимости α = 0,1). Проверить обоснованную выше гипотезу;

4)в предположении, что выборка извлечена из нормально распределенной генеральной совокупности, найти доверительный интервал, заключающий генеральную среднюю признака с надежностью γ = 0,98.

Решение.

1) Объем выборки n = ∑ni = 200 . Величины всех интервалов одинаковы и равны h = 2 .

i

Для построения гистограммы частот составим таблицу.

Гистограмма частот имеет следующий вид:

интервала; m = 7. Подставив данные из последней таблицы в расчетные формулы, получим:

3) Проверить предложенную выше гипотезу о нормальности распределения, используя критерий Пирсона (с уровнем значимости α = 0,1).

Для расчета вероятностей pi попадания случайной величины X в интервалы [xi , xi+1 ]

используем функцию Лапласа в соответствии со свойством нормального распределения:

и, соответствующая первому интервалу теоретическая частота np1 = 200 0,0326 = 6,515 и т.д.

Для определения расчетной статистики ψрасч удобно составить таблицу:

Итак, расчетное значение статистики ψ расч = 2,254 . Поскольку число интервалов m = 7, а

нормальный закон распределения определяется S = 2 параметрами, то число степеней свободы k = m − S −1 = 7 −2 −1 = 4 . Соответствующие верхнее и нижнее критические значения статистики определим из статистической таблицы:

Отсюда доверительный интервал, заключающий генеральную среднюю признака с надежностью γ = 0,98, равен

8,03 −0,477 ≤ x0 ≤ 8,03 + 0,477 , или 7,553 ≤ x0 ≤ 8,03 +8,507 .

Задача 118. В таблице указаны курс акций E и эффективность рынка F на протяжении ряда кварталов. Найти регрессию курса акций на эффективность рынка, а также оценки характеристик акций: «собственной» вариации v и a, r (эффективность безрисковых вложений равна 6).

Решение.

Уравнение регрессии курса акций на эффективность рынка имеет вид

F = b0 +b1 E .

Поскольку по условию эффективность безрисковых вложений равна 6, то b0 = 6 . Отсюда искомое уравнение преобразуем к виду

F = 6 +b1 E .

Минимизируем сумму квадратов ошибок:

Определим оценки характеристик акций: «собственной» вариации v и a, r.

Средний курс акций равен

a = 1 ∑10 Ei = 25 . 10 i=1

Дисперсия курса акций равна

= 2506 −10 25 10 = 0,866 . 8 6

Задача 119. Найдите степень корреляции между следующими парами значений x и y. Определите уравнение регрессии y = a +bx для каждого случая

а)

б)

в)

Для каждого из этих случаев с помощью уравнения регрессии определите значение y при x = 7 и прокомментируйте вероятную точность этих прогнозов.

Решение.

Коэффициенты регрессии a, b находим методом наименьших квадратов, решая систему линейных уравнений:

an +b∑xi = ∑yi ,a∑xi +b∑xi2 = ∑yi xi ,

где n = 5.

Решение данной системы имеет вид:

∑yi −b∑xi

Коэффициент корреляции между x и y равен:

Построим уравнение регрессии y = a +bx для каждого случая.

а) Вспомогательная таблица имеет вид:

Уравнение регрессии имеет вид y = 2 +3x .

Коэффициент корреляции между x и y равен:

Прогноз среднего значения y при x = 7 равен y(7) = 2 +3 7 = 23.

б) Вспомогательная таблица имеет вид:

Уравнение регрессии имеет вид y =13 −1,5x .

Коэффициент корреляции между x и y равен:

Отсюда, используя приведенные выше формулы, получим:

Уравнение регрессии имеет вид y = 0,8 + 2,6x .

Коэффициент корреляции между x и y равен:

Прогноз среднего значения y при x = 7 равен y(7) = 0,8 + 2,6 7 = 8,2 .

Вслучае а) имеем линейную функциональную связь. Поэтому точность прогноза здесь 100%-ная. Такие связи в регрессионном анализе не рассматриваются.

Вслучае б) имеем значимую линейную регрессионную зависимость.

Вслучае в) коэффициент корреляции мал, поэтому связь между величинами статистически не значимая.

Задача 120. Крупный коммерческий банк заказал маркетинговое исследование по выявлению эффекта «премирования» как стимула для открытия счета в банке. Для проверки случайным образом было отобрано 200 «премированных» посетителей и 200 «непримированных». В результате выяснилось, что 89% посетителей, которым предлагалась премия, и 79% посетителей, которым не предлагалась премия, открыли счет в банке в течение 6 месяцев.

Используя эти данные, проверьте гипотезу о том, что доля «премированных» посетителей, открывших счет в банке, существенно отличается от удельного веса «непремированных» посетителей, открывших счет в банке. Принять уровень значимости α = 0,05 .

Решение.

Проверим гипотезу о равенстве математических ожиданий удельных весов случайных величин при неизвестных дисперсиях. Расчетное значение t-статистики определяется по формуле:

s12 = a1 (1 − a1 ) = 0,89 0,11 = 0,0979 , s22 = a2 (1 − a2 ) = 0,79 0,21 = 0,1659 .

В результате критическая статистика равна

Критическое значение статистики определим по таблице:

tкр = tα (n1 + n2 − 2) = t0,025 (398) = 2,250 .

2

Поскольку t расч > tкр ,

то на уровне значимости α = 0,05 принимаем гипотезу о том, что доля «премированных» посетителей, открывших счет в банке, существенно отличается от удельного веса «непремированных» посетителей, открывших счет в банке.

Задача 121. Опрос случайно выбранных 10 студентов, проживающих в общежитии университета, позволяет выявить зависимость между средним баллом по результату предыдущей сессии и числом часов в неделю, затраченных студентом на самостоятельную подготовку.

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05 . Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов. Если студент занимается самостоятельно по 12 ч в неделю, то каков прогноз его успеваемости?

Решение.

Построим диаграмму рассеяния исходных данных (см. рис. 1).

По графику можно предположить линейный характер зависимости успеваемости от числа часов в неделю, затраченных студентом на самостоятельную подготовку.