Тер.вер(решение задач)

-для доверительной вероятности p = 99,7% 10,371 < μx < 20,762 .

Доверительный интервал для генеральной дисперсии определяется по формуле

Доверительный интервал для генеральной дисперсии равен:

-для доверительной вероятности p = 68% 52,724 < σ2x < 89,428 ;

Подставив квантили распределения Пирсона получим доверительный интервал для генерального с.к.о.:

-для доверительной вероятности p = 99,7% 11,119 < σx < 24,752 .

Задача 140. Постройте доверительные интервалы для генерального среднего μx μy и μz при доверительной вероятности p = 68%; 95%; 99,7% упрощенным способом: «одна/две/три сигмы».

Решение.

Решение для выборки X.

Величину коэффициента t можно приближенно выбрать для стандартных значений вероятности (табл.8). Для этого используются процентные точки стандартной функции нормального распределения с нулевым средним и единичной дисперсией

Таким образом, получаем доверительных интервалов: - p = 68%; x −σx < μ < x + σx ;

-p = 95%; x − 2σx < μ < x + 2σx ;

-p = 99,7%; x −3σx < μ < x +3σx .

интервалы для генерального среднего µx:

- для доверительной вероятности p = 68% 14,080 < μx <17,054 ;

-для доверительной вероятности p = 95% 12,593 < μx <18,540 ;

-для доверительной вероятности p = 99,7% 11,106 < μx < 20,027 .

Задача 141. При уровне значимости α = 32%; 5%; 0,3% проверьте гипотезы:

1) σ2x = σ2y ; 2) μx = x + 5 ; 3) μx = μy .

Решение.

1. Расчетное значение критической статистики при неизвестных математических ожиданиях определяется из выражения

принимается.

Поскольку вероятности 5%; 0,3% меньше чем 32%, то, очевидно, что и на уровнях значимости α = 5%, α = 0,3% гипотеза σ2x = σ2y также не принимается.

2. Проверим гипотезу о среднем значении: μx = a = x + 5 = 20,567 .

Расчетное значение статистики равно

μx = x + 5 на уровне значимости α = 32% не принимается.

Т.к. вероятности 5%; 0,3% меньше чем 32%, то, очевидно, что и на уровнях значимости

α = 5%, α = 0,3% гипотеза μx = x + 5 также не принимается. 3. Проверим гипотезу о равенстве средних μx = μy .

Расчетное значение статистики равно

μx = μy на уровне значимости α = 32% не принимается.

Т.к. вероятности 5%; 0,3% меньше чем 32%, то, очевидно, что и на уровнях значимости

α = 5%, α = 0,3% гипотеза μx = μy также не принимается.

Задача 142. Вычислите линейные коэффициенты корреляции ryx и rzx. Сделайте вывод о тесноте линейной связи между признаками.

Решение.

Расчеты выполним для коэффициента корреляции ryx.

Линейный коэффициент корреляции вычисляется следующим образом:

Подставив исходные данные, получим rxy = −0,973 .

Проверим значимость статистической связи. Расчетное значение статистики равно

Критическая статистика равна tα (n − 2) = t0,025 (28) = 2,368 .

2

Поскольку расчетное значение статистики больше критического значения, то на уровне значимости α = 5% считаем, что между признаками X и Y имеет место отрицательная линейная статистическая связь.

Задача 143. Вычислите коэффициенты корреляции рангов Спирмена и Кендалла Y(X) и Z(X). Сделайте вывод о тесноте связи.

Решение.

Расчеты выполним для коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендалла Y(X). Коэффициент ранговой корреляции Спирмена между переменными X и Y находится по

формуле

где ri и si − ранги i-го объекта по переменным X и Y, n − число пар наблюдений. Составим таблицу:

где K – статистика Кендалла, представляющая собой минимальное число обменов между элементами последовательности s, необходимое для приведения ее к упорядочиванию, аналогичному последовательности r.

Для определения статистики K необходимо ранжировать объекты по одной переменной (пусть, для определенности по X) в порядке возрастания (при этом ее ранги будут упорядочены ( r1 ≤ r2 ≤K≤ rn ) и определить соответствующие им ранги si, i = 1, … , n,

переменной Y. Статистика K равна общему числу инверсий (нарушений порядка, когда большее число стоит слева от меньшего), в ранговой последовательности s1 , s2 ,K, sn .

Результаты расчетов приведены в табл. 10.

Большие по величине значения ранговых коэффициентов корреляции свидетельствуют о наличии тесной связи между признаками X и Y.

Задача 144. Постройте уравнения регрессии Y(X), Z(X) графическим способом.

Решение.

Расчеты выполним для уравнения регрессии Y(X).

При построении линии регрессии на корреляционном поле проводят линию регрессии с помощью линейки, «на глаз» - по местам «сгущения» точек. Отдельные точки, далеко отстоящие от «облака рассеяния» (аномальные данные), игнорируют (рис.4). На линии регрессии выбирают две точки, ближе к краям диапазона значений. Это точки M1 (5; −14) и

M 2 (26; −82) . Составляем систему уравнений – два уравнения с двумя неизвестными:

a +5b = −14,a + 26b = −82.

Задача 145. С помощью метода наименьших квадратов (МНК) постройте уравнения регрессии Y(X), X(Y), Z(X), X(Z). Нанесите линии регрессии на корреляционное поле.

Решение.

Расчеты выполним для уравнения регрессии Y(X)

y(x) = b0 + b1 x .

Коэффициенты регрессии b0, b1 находим методом наименьших квадратов, решая систему линейных уравнений

b0 n +b1 ∑xi = ∑yi ,b0 ∑xi +b1 ∑xi2 = ∑yi xi ,

где n = 30.

Для расчета выполним предварительные вычисления, которые приведены в табл. 11.

Таким образом, линейная однопараметрическая модель регрессии показателя y от x имеет вид: