Тер.вер(решение задач)

P400;0,8 (300 ≤ vn ≤ 360)≈ F0 (5,0) − F0 (−2,5) =1 − 0,00621 = 0,99379 .

Задача 102. Сумма всех вкладов в банке составляет 2 млн. руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 тысяч руб., равна 0,6. Что можно сказать о числе вкладчиков?

Решение.

Пусть ξ − размер случайно взятого вклада, а n − число всех вкладчиков. Тогда средний размер вклада равен: M [ξ] = 2000n (тыс. руб.). Согласно первому неравенству Чебышева

P(ξ ≥ ε)≤ Mε[ξ]

имеем

P(ξ ≤10)≤ M10[ξ] , или P(ξ ≤10)≥1− 200010n .

Учитывая, что P(ξ ≤10)= 0,6 , получим 1− 200n ≤ 0,6 , откуда n ≤ 500 .

Задача 103. Случайная величина ξ имеет дисперсию 0,004. Найти вероятность того, что случайная величина ξ отличается от М[ξ] более чем на 0,2.

Решение.

В соответствии со вторым неравенство Чебышева

P{ ξ− M [ξ] ≤ ε} ≥1− Dε[2ξ]

Задача 104. Случайная величина ξ задана функцией распределения

Найти: 1) постоянные b и c; 2) плотность распределения вероятностей pξ(x).

Решение.

Т.к. случайная величина ξ задана на отрезке [−a, a], то должны выполняться условия: F(−a) = 0 и F (a) =1. В данном случае

F(−a) = b +c arctg(−1) = b −c π4 = 0 , F(a) = b +c arctg1 = b +c π4 =1.

В результате получаем систему двух уравнений с неизвестными b и c:

b − π4 c = 0,

b + πc =1,4

решив которую, найдем b =12 , c = 2π. Следовательно, случайная величина ξ характеризуется следующей функцией распределения

Задача 105. Случайная величина ξ задана плотностью распределения

Найти функцию распределения Fξ(x).

Решение.

Если x ≤ π/4, то pξ(x) = 0, следовательно,

Итак, случайная величина ξ имеет следующую функцию распределения:

Решение.

Используем формулы математического ожидания и дисперсии:

Рассмотрим дискретную случайную величину ξ с рядом распределения

Если различным возможным значениям случайной величины ξ соответствуют различные значения случайной величины η, то вероятности соответствующих значений случайных величин ξ и η равны, т.е. если Р(ξ = хi) = pi, то и P(η = ϕ(xi)) = pi .

Задача 107. Найти ряд распределения случайной величины η = ξ2, если

Решение.

Поскольку

P(η = 4) = P(ξ = −2) + P(ξ = 2) = 0,1 + 0,2 = 0,3,

P(η = 1) = P(ξ = 1) = 0,3,

P(η = 9) = P(ξ = 3) = 0,4,

то

3. Математическая статистика

Задача 108. По данному статистическому распределению выборки методом произведений вычислите: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Решение.

Выборочное среднее равно:

x= ∑xi ni = 12665 =126,65 .

∑ni 100

Выборочная дисперсия равна

Выборочное среднее квадратическое отклонение равно

sx = sx2 = 48,53 = 6,97 .

Задача 109. По данному статистическому распределению выборки методом произведений вычислите: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Решение.

Выборочное среднее равно:

x= ∑xi ni = 14860 =148,6 .

∑ni 100

Выборочная дисперсия равна

Выборочное среднее квадратическое отклонение равно

sx = sx2 = 220,04 =14,83 .

Задача 110. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания a нормального распределения с надежностью γ = 0,95 , зная выборочную среднюю x0, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

x0 = 50,2 , n = 49 , σ = 4 .

Решение.

Доверительный интервал имеет вид

Отсюда 50,2 − 0,871 < a < 50,2 + 0,871, или 49,329 < a < 51,071.

Задача 111. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания a нормального распределения с надежностью γ = 0,95 , зная выборочную среднюю x0, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

x0 = 55,3 , n = 64 , σ = 5 .

Решение.

Доверительный интервал имеет вид

Задача 112. По данному статистическому распределению выборки методом произведений вычислите: 1) выборочную дисперсию; 2) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Решение.

Выборочное среднее равно:

Задача 113. Заданы среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины X, выборочная средняя x , объем выборки n. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания a с заданной надежностью

γ = 0,95 . σ = 9 , x =18,31, n = 49 .

Решение.

Доверительный интервал имеет вид

Отсюда 18,31 − 2,52 < a <18,31 + 2,52 , или 15,79 < a < 20,83 .

Задача 114. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии y на x

уx − уB = rB σB ( у) (х− хB ) по данной корреляционной таблице

σB (х)

σB (x) = sx2 = 22,448 = 4,738 .

σB ( y) = sy2 = 96,75 = 9,836 .

Таким образом, выборочное уравнение прямой линии регрессии y на x имеет вид

ух −32,5 = 0,802 9,8364,738 (х−18,45) .

Задача 115. При изучении физико-механических свойств обувных кож испытано n =12 образцов и получены следующие значения предела прочности кожи на разрыв X, Н/мм:

Требуется: а) выполнить первичную статистическую обработку результатов наблюдений,

т.е. определить выборочное среднее x , «исправленное» стандартное отклонение S(X) и коэффициент вариации V изучаемого признака; б) полагая, что изменчивость величины признака X описывается законом нормального распределения, найти доверительный интервал для среднего предела прочности a этой кожи на уровне заданной надежности γ = 0,90 .

Решение.

а) Выборочное среднее предела прочности кожи на разрыв равно:

Определим параметр t по таблице значений функции Лапласа: t =1,649 . Отсюда

δ= tS( X ) =1,649 1,557 = 2,562 Н/мм,

идоверительный интервал для среднего предела прочности a этой кожи на уровне заданной надежности γ = 0,90 будет равен:

(x −δ, x + δ) = (18,557 − 2,562; 18,557 + 2,562) = (16,013; 21,137) .

Задача 116. Результаты обследования роста рабочих приведены в таблице.

Решение.

Поскольку выборочные значения случайной величины Х (рост рабочих) заданы в виде группировки, преобразуем исходную таблицу, поставив в соответствие каждому интервалу значений роста рабочих центральное значение данного интервала. В результате имеем таблицу

отклонения s случайной величины Х найдем по формулам:

xB = 1 ∑m xi ni ,

n i=1

где xi – середина i-го интервала; m = 8.

Подставив данные из последней таблицы в расчетные формулы, получим: