Тер.вер(решение задач)

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Витебский государственный университет им. П. М. Машерова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

pi X i2 − (X )2 = 28,0675 −1,4752 = 25,8919 = 5,088 тыс. руб.

.pdf

Скачиваний:

502

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

903.75 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Отсюда закон распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных имеет следующий вид (табл.).

X	1	2	2
P	0,2	0,6	0,2

Задача 70. Случайная величина X задана функцией распределения

0,		x <1,
F(x) =	−e1−x ),	x ≥1.
c(1	−e1−x ),	x ≥1.

Найти постоянную c, математическое ожидание квадрата случайной величины X и дисперсию случайной величины X.

Решение.

Определим постоянную c из условия нормировки

lim F(x) =1 .

x→+∞

Отсюда

lim F(x) = lim c(1 − e1−x ) = c lim (1 − e1−x ) = c 1 = c ,
x→+∞	x→+∞	x→+∞

следовательно, c = 1.

Плотность распределения случайной величины X равна

′	0,	x <1,
f (x) = F (x) =		x ≥1.
	e1−x ,	x ≥1.

Математическое ожидание квадрата случайной величины X равно
∞		∞			∞
M[X 2 ] = ∫x2 f (x)dx = ∫x2 e1−x dx =[−5e1−x + 4(1 − x)e1−x −(1 − x)2 e1−x ]						= 5 .

					1
−∞		1
Математическое ожидание случайной величины X равно
∞		∞	∞
M[ X ] = ∫xf (x)dx = ∫xe1−x dx =[−2e1−x + (1 − x)e1−x ]				= 2 .

			1
−∞		1

Дисперсия случайной величины X равна

D[X ] = M[ X 2 ] − M[X ]2 = 5 − 22 = 5 − 4 =1.

Задача 71. Время изготовления детали – равномерно распределенная случайная величина на отрезке [4; 8] мин. Изготовлено пять деталей. Какова вероятность того, что время изготовления каждой из пяти деталей отклоняется от среднего не более чем на 0,5 мин.

Решение.

Определим вероятность того, что время изготовления одной детали отклоняется от среднего не более чем на 0,5 мин. Воспользуемся геометрической вероятностью:

p =	D	=	6,5 −5,5	=	1		=	1	,
	Ω		8 − 4		8 −	4		4

где D – длина отрезка допустимых значений, Ω – длина отрезка всех возможных значений времени изготовления детали, соответственно.

Тогда искомая вероятность равна

P(A) = p5 = 415 = 10241 .

Задача 72. Случайная величина X равномерно распределена от 0 до 1. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = X − 2 .

Решение.

Случайная величина Y = X − 2 равномерно распределена от 0 до 1. Ее математическое ожидание равно

M[X ] = ∞∫xf (x)dx = ∫1		xdx =	x2	1	=	1		.
			x2	1		1

−∞	0	2		0		2
−∞	0	2		0
Дисперсия равна
D[X ] = M[ X 2 ] − M[ X ]2 = ∞∫x2 dx −							1		=	x3	1	−	1	=	1	−	1	=		1	.
							1			x3			1		1		1			1

		−∞				4			3		0		4		3		4		12
		−∞									0

Задача 73. Качество продукции характеризуется двумя случайными параметрами X и Y. Закон распределения случайной величины Z = (X ;Y ) представлен в таблице. Найти законы

распределения одномерных случайных величин X и Y. Найти условное распределение случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла значение 0,2.

X	Y	0	0,1	0,2	0,3
		0	0,1	0,2	0,3

5		0,2	0,1	0,05	0,05
6		0	0,15	0,15	0,1
7		0	0	0,1	0,1

Решение.

Найдем закон распределения одномерной случайной величины X.

P(X = 5) = 0,2 + 0,1 + 0,05 + 0,05 = 0,4 ,

P(X = 6) = 0 + 0,15 + 0,15 + 0,1 = 0,4 ,

P(X = 7) = 0 + 0 + 0,1 + 0,1 = 0,2 .

Следовательно, закон распределения одномерной случайной величины X имеет вид

X	5	6	7
P	0,4	0,4	0,2

Найдем закон распределения одномерной случайной величины Y:

P(Y = 0) = 0,2 + 0 + 0 = 0,2 ,

P(Y = 0,1) = 0,1 + 0,15 + 0 = 0,25 ,

P(Y = 0,2) = 0,05 + 0,15 + 0,1 = 0,3 ,

P(Y = 0,3) = 0,05 + 0,1+ 0,1 = 0,25 .

Следовательно, закон распределения одномерной случайной величины Y имеет вид

Y	0	0,1	0,2	0,3
P	0,2	0,25	0,3	0,25

Найдем условное распределение случайной величины X при условии, что случайная величина Y

приняла значение 0,2:
P(X = 5 / Y = 0,2) =	P(X = 5,Y = 0,2)	=		0,05			=		1		,
	P(Y = 0,2)			0,3					6

P(X = 6 / Y = 0,2) =	P(X = 6,Y = 0,2)	=		0,15			=		1		,
	P(Y = 0,2)			0,3					2

P(X = 7 / Y = 0,2) =	P(X = 7,Y = 0,2)		=		0,1	=		1		.
	P(Y = 0,2)			0,3
							3

Следовательно, условный закон распределения случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла значение 0,2, имеет вид

X	5		6		7
P(X/Y=0,2)		1		1		1
P(X/Y=0,2)	6		2		3
	6		2		3

Задача 74. Плотность вероятности двумерной случайной величины (X; Y) равна

x + y,	x [0;1], y [0;1],
f (x, y) =	x [0;1], y [0;1].
0,	x [0;1], y [0;1].

Найти коэффициент корреляции rxy.

Решение.

Коэффициент корреляции равен

r	=	cov(X ,Y )					,
xy			σx σy
			σx σy
где cov(X ,Y )				− ковариация, равная cov(X ,Y ) = M[XY ] −μxμy ; σx, σy – средние квадратические
отклонения случайных величин X и Y.
				∞ ∞														1 1										1 1
M[XY ] = ∫ ∫xyf (x.y)dxdy = ∫∫xy(x + y)dxdy = ∫∫x2 y + xy2 dxdy =
				−∞−∞														0 0										0 0
1 x3					x2			2				1				1 1							1 2				y2		y3		1		1 1 1
1 x3					x2			2				1				1 1							1 2				y2		y3		1		1 1 1
													dy = ∫
			y +			y														y +					y			+				=		+		=		.
= ∫			y +			y														y +					y	dy =		+				=		+		=		.
0		3			2							0			0		3						2				6		6		0		6		6		3
0												0			0							1							1		0								1		3 .
В задаче 72				получили									μx		= μy			=				1		D[X ] = D[Y ] =					1	. Следовательно, σx = σy =									1	=
В задаче 72				получили									μx		= μy			=						D[X ] = D[Y ] =						. Следовательно, σx = σy =									12	=
																		2										12											12		6
Тогда коэффициент корреляции равен
		cov(X ,Y )									1		−	1		1				1	−		1
										3			−	2					3		−		4
r	=						=			3				2	2		=		3				4		=1.
r	=						=										=								=1.
xy			σx σy										3		3						1
			σx σy										3		3						1
																		12
									6						6
									6						6

Задача 75. Из большой партии деталей было отобрано 100 деталей. Определить вероятность того, что отклонение средней прочности отобранных деталей от средней прочности партии не превышает 0,3, если дисперсия прочности наугад взятой детали равна 2,25.

Решение.

По теореме Чебышева имеем

−μx

≤ 0,3)>1 −

2,25

=1 −

2,25

=1 −0,25 = 0,75 .

100 0,32

Задача 76. Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. в компанию A и 15 тыс. руб. в компанию B. Компания A обещает 20% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,1.

Компания B обещает 10% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,05. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, определить ожидаемую доходность и уровень риска.

Решение.

Возможно четыре исхода: X1 – обе компании «не лопнули»; X2 – компания A «не лопнула», а компания B «лопнула»; X3 – компания A «лопнула», а компания B «не лопнула»; X4 – обе компании «лопнули». Поскольку компании работают независимо друг от друга, то по теореме умножения вероятностей найдем вероятности этих исходов:

P( X1 ) = 0,9 0,95 = 0,855 ;

P(X 2 ) = 0,9 0,05 = 0,045 ;

P(X 3 ) = 0,1 0,95 = 0,095 ;

P(X 4 ) = 0,1 0,05 = 0,005 .

Доходы (убыток) от вложения денег:

-при исходе X1 составит 10 0,2 + 15 0,1 = 3,5 тыс. руб.;

-при исходе X2 составит 10 0,2 – 15 = −13 тыс. руб.;

-при исходе X3 составит –10 + 15 0,1 = –8,5 тыс. руб.;

-при исходе X4 составит –10 – 15 = −25 тыс. руб.

Отсюда закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, имеет вид

x =Xi	3,5	−13	–8,5	−25
pi = P(x = Xi)	0,855	0,045	0,095	0,005

Ожидаемая доходность равна математическому ожиданию полученной случайной величины:

X = M[ X ] = ∑pi X i =1,475 тыс. руб.

i=1

Уровень риска оценим через среднее квадратическое отклонение данной случайной величины:

Задача 77. Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. в компанию A и 15 тыс. руб. в компанию B. Компания A обещает 10% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,5. Компания B обещает 5% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,25. Составить закон

распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, определить ожидаемую доходность и уровень риска.

Решение.

P(X1 ) = 0,5 0,75 = 0,375 ;

P(X 2 ) = 0,5 0,25 = 0,125 ;

P(X 3 ) = 0,5 0,75 = 0,375 ;

P(X 4 ) = 0,5 0,25 = 0,125 .

Доходы (убыток) от вложения денег:

-при исходе X1 составит 10 0,1 + 15 0,05 = 1,75 тыс. руб.;

-при исходе X2 составит 10 0,1 – 15 = −14 тыс. руб.;

-при исходе X3 составит –10 + 15 0,05 = –9,25 тыс. руб.;

-при исходе X4 составит –10 – 15 = −25 тыс. руб.

x =Xi	1,75	−14	–9,25	−25
pi = P(x = Xi)	0,375	0,125	0,375	0,125

Ожидаемая доходность равна математическому ожиданию полученной случайной величины:

X = M[ X ] = ∑pi X i = −7,6875 тыс. руб.

i=1

Уровень риска оценим через среднее квадратическое отклонение данной случайной величины:

Задача 78. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов 5 недействующих. Случайным образом из этой партии взято 4 аппарата. Построить закон распределения случайной величины X – числа недействующих аппаратов из отобранных. Найти дисперсию

этой случайной величины. В каких единицах она измеряется? Построить интегральную функцию распределения случайной величины X, многоугольник распределения.

Решение.

Очевидно, что случайная величина X может принимать пять возможных значения – 0, 1, 2, 3 или 4. Найдем вероятности этих событий. Воспользуемся классической формулой:

P(X	= 0) =					C 4	=		15! 4! 16!					=	91
					15												,
						C204			4! 11! 20!						323		,
						C204			4! 11! 20!						323
P(X	=1) =		C1C				3	=		5		15! 4! 16!				=	455
			5 15																,
						C204					3! 12! 20!						969		,
						C204					3! 12! 20!						969
P(X	= 2) =					C 2C 2			=	10			15! 4! 16!				=	70
						5 15														,
						C204						2! 13! 20!						323		,
						C204						2! 13! 20!						323
P(X	= 3) =			C 3C1				=		10			15	4! 16!			=	10
				5 15																,
						C204							20!					323		,
						C204							20!					323
P(X	= 4) =					C 4	=		5 4! 16!					=	1
						5											.
						C204				20!					969		.
						C204				20!					969
Закон распределения дискретной случайной величины X – числа недействующих
аппаратов из отобранных имеет вид:

						xi									0					1		2		3		4
		pi = P(X = xi)													91						455		70		10		1
		pi = P(X = xi)													323					969		323		323		969
															323					969		323		323		969

Дисперсия равна

D[ X ] = M[ X 2 ] − M[ X ]2 = ∑xi2 pi − ∑xi pi .


M[X	2		2			91			2	455				2		70		2	10				2	1				1589
		] = 0						+1				+ 2					+3				+ 4						=			.
		] = 0			323			+1		969		+ 2				323	+3		323		+ 4					969	=		969	.
M[X ] = 0				91			+1		455		+ 2		70		+ 3		10	+ 4			1	=			969		=1 .
M[X ] = 0			323				+1		969		+ 2		323		+ 3		323	+ 4		969		=		969			=1 .
			323						969				323				323			969				969

D[X ] = 1589969 −1 = 969620 = 0,6398 шт2.

График функции распределения случайной величины X, приведен на рис. 1.

		Функция распределения
		1
F (x )
		0,8
		0,6
		0,4
		0,2
		0
-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
								x
Рис. 1. График функции распределения случайной величины X.
График многоугольника распределения показан на рис. 2.
		Многоугольник распределения
	0,5
P (X=x i )
	0,4
	0,3
	0,2
	0,1
	0
	0		1		2		3	x	4
	Рис. 2. Многоугольник распределения.

Задача 79. Измеряемая случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с параметрами M(X) = 10, σ(X) = 5. Записать выражение плотности распределения X. Найти симметричный относительно M(X) интервал, в который с вероятностью P попадает измеренное значение. Рассмотреть значения: а) P = 0,99739; б) P = 0,9544.

Решение.

Выражение плотности распределения X имеет вид:

f (x) =	1	e−	( x−10)2
			50	.
5	2π

а) Для P = 0,99739 доверительный интервал имеет вид:

(10 −3 5; 10 +3 5) = (−5; 25) .

б) Для P = 0, 9544 доверительный интервал имеет вид:

(10 − 2 5; 10 + 2 5) = (0; 20) .

Задача 80. Закон распределения P(X = x) приведен в таблице. Требуется:

а) определить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X) случайной величины X;

б) построить график этого распределения.

xi	0	1	2	3	4	5
pi	0,16	0,35	0,31	0,12	0,03	0,03

Решение.

Математическое ожидание случайной величины X равно:

M ( X ) = ∑xi pi = 0 0,016 +1 0,35 +K+ 5 0,03 =1,6 .

i=1

Дисперсия случайной величины X равна:

D( X ) = ∑[xi − M ( X )]2 pi = (0 −1,6)2 0,016 +K+ (5 −1,6)2 0,03 =1,34 .

i=1

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно

σ( X ) = D( X ) = 1,34 =1,158 .

Полигон представляет собой ломанную, у которой концы отрезков имеют координаты

(xi , pi ), i =1,K, L . Полигон для случайной величины X показан на рис. 1.

			Полигон
	0,4
	0,35
	0,3
	0,25
p	0,2
	0,15
	0,1
	0,05
	0
	0	1	2	3	4	5	6
				x
			Рис. 1. Полигон.

Задача 81. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2, причем x1 < x2. Известны вероятность p1 = 0,5 возможного значения x1, математическое ожидание M(X) = 3,5 и дисперсия D(X) = 0,25. Найти закон распределения этой случайной величины.

Решение.

Поскольку дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2, то вероятность возможного значения x2 равна

p2 =1 − p1 =1 − 0,5 = 0,5 .

С учетом того, что математическое ожидание M(X) = 3,5, имеем p1 x1 + p2 x2 = 0,5 x1 + 0,5 x2 = 0,5 (x1 + x2 ) = 3,5 ,

откуда получим

x2	=	3,5	− x1 = 7 − x1 .	(1)
		0,5

С учетом того, что дисперсия D(X) = 0,25, имеем

p1 (x1 − 3,5)2 + p2 (x2 − 3,5)2 = 0,5 [(x1 − 3,5)2 + (x2 − 3,5)2 ] = 0,25 .

Подставив (1) в последнее уравнение, получим

(x1 − 3,5)2 + (7 − x1 − 3,5)2 = 2 (x1 − 3,5)2 = 00,25,5 = 0,5 .

Из последнего уравнения имеем:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.2016232.96 Кб51Теория муз. дела.doc
#
11.11.20193.1 Mб16ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ_ред.doc
#
04.05.20192.67 Mб45Теория финансов-лекции.doc
#
02.09.201942.24 Кб9теория фирмы, издержки.docx
#
21.12.20181.05 Mб8Теория_и_история_источниковеденя_(дапаможн_к)[1....doc
#
14.04.2015903.75 Кб502Тер.вер(решение задач).pdf
#
24.09.2019285.9 Кб6термодинамика.docx
#
02.09.2019110.59 Кб4Территор общ самоупр Иные формы местн самоупр.doc
#
14.04.2015250.37 Кб916тест по криминалистике с решением.doc
#
14.04.2015145.41 Кб127Тест по Маторовой.doc
#
17.11.2019477.7 Кб6Тест по Угол. пр. общ.ч..doc