4.5.6 Поверхня обертання

Поверхня, утворена обертанням деякої плоскої кривої навколо осі, що лежить у її площині, називається поверхнею обертання. Нехай деяка крива L лежить у площині . Рівняння кривої запишуться у вигляді

(4.21)

Тоді рівняння поверхні, утвореної обертанням цієї кривої навколо осі матиме вигляд

.

Доведення.

Візьмемо на поверхні довільну точку . Проведемо через точку М площину, перпендикулярну осі Oz, і позначимо точки перетину її з віссю й кривою L відповідно через і N, де . Відрізки і є радіусами однієї й тієї ж окружності. Тому . Оскільки , то або Крім того, мабуть,

Оскільки точка N лежить на кривій L, то її координати задовольняють рівняння (4.21). Відтак, . Підставивши допоміжні координати й точки N, приходимо до рівняння . Що й потрібно було довести.

Як видно, рівняння виходить із рівняння простою заміноюу на , а координата z , що відповідає осі обертання ,зберігається.

Аналогічно надходять, коли відбувається обертання лінії, що лежить у площинах і. Результати можна звести в таблицю 4.1.

Таблиця 4.1 – Рівняння поверхонь обертання

Обертається крива	Навколо осі	Рівняння поверхні обертання
,
,
,
,
,
,

4.5.7 Конічна поверхня

Поверхня, утворена прямими лініями , що проходять через дану точку й перетинають деяку плоску лінію L (не минаючи через Р), називається конічною поверхнею або конусом. При цьому прийнято називати:

– лінію L напрямною конуса;

– точку її вершиною;

– пряму утворюючою.

Нехай напрямна L задана рівняннями

(4.22)

а точка – вершина конуса.

Знайдемо рівняння конуса.

Візьмемо на поверхні конуса довільну точку . Утворююча , минаючи черезточки й М, перетне напрямну L у деякій точці . Координати точки N задовольняють рівняння (4.22) напрямної:

(4.23)

Канонічні рівняння утворюючих ,що проходять через точки Р і N, мають вигляд

(4.24)

Виключаючи і з рівнянь (4.23) і (4.24), одержимо рівняння конічної поверхні, що зв'язує поточні координати х, у і z.

Конус другого порядку. Поверхня, яка в прямокутній системі координат описується канонічним рівнянням називаєтьсяконусом другого порядку.

Дослідження форми конуса

У перетині поверхні площинами іодержуємо пари прямих, які є твірними конічної поверхні.

При перерізах параболоїда площинамимаємо систему:

З цієї системи виходить, що

1) при в перерізі є еліпси, рівняння яких

;

2) при маємо точку .

Аналіз перетинів дає змогу побудувати поверхню.

Поверхні, складені із прямих ліній, називаються лінійчатими. Такими поверхнями є циліндричні, конічні поверхні, а також однопорожнинний гіперболоїд і гіперболічний параболоїд.

Приклад.

Скласти рівняння конуса з вершиною в точці , якщонапрямною є окружність , що лежить у площині .

Розв'язання.

Нехай – будь-яка точка конуса. Канонічні рівняння утворюючих, що проходять через точку йточку перетину утворюючої з окружністю, будуть . Виключимо, і із цих рівнянь і рівняння (точка лежить на окружності), при цьому . Маємо:,. Звідсий. Підставляючи значення й у рівняння окружності , одержимо або . Це і є шукане рівняння конуса.

Приклад.

Знайти проекцію на площину () лінію перетину еліптичного параболоїда і площини.

Розв'язання.

Для розв’язування задачі виключимо з рівняння еліптичного параболоїда за допомогою рівняння площини, одержимоабоЗвідки випливає, що проекцією буде еліпс.

Контрольні запитання та завдання

1. Напишіть канонічне рівняння еліпсоїда.

2. Напишіть канонічні рівняння гіперболоїдів.

3. Напишіть канонічні рівняння параболоїдів.

4. Що називається циліндричною поверхнею? Що називається утворюючою й напрямною циліндричної поверхні?

5. Напишіть рівняння гіперболічного циліндра, еліптичного циліндра.

6. Яка поверхня називається поверхнею обертання? Запишіть рівняння поверхні, утвореної обертанням кривої навколо осі .

7. Яка поверхня називається конусом? Що називається утворюючою й напрямною конуса?

8. Напишіть канонічне рівняння конуса.

143