4.3 Рівняння прямої в просторі

Векторно-параметричне, параметричні та канонічні рівняння прямої

Положення прямої в просторі цілкомвизначається точкою на прямій та вектором, який єпаралельним цій прямій. Вектор називаєтьсянапрямним вектором прямої. Нехай задані координати точки йнапрямного вектора :,. На прямійвізьмемо довільнуточку . Позначимо радіус-вектори точок і відповідно через і . Видно, що вектор лежить на прямійі. Оскільки вектор паралельний вектору , тоскориставшись необхідною й достатньою умовою колінеарності двох векторів, одержимо ,де t – скалярний множник, що називається параметром, може приймати різні значення залежно від положення точки М на прямій. Одержимо рівняння або

, (4.6)

яке називається векторно-параметричним рівнянням прямої.

Координати радіус-векторів і дорівнюють координатам відповідних точок і :, . Тоді, помітивши, що ,запишемо рівняння (4.6) покоординатно. Одержимо рівняння

(4.7)

які називаються рівняннями прямої в параметричному вигляді.

Виключивши параметр із рівнянь (4.7), одержимо так звані канонічні рівняння прямої:

. (4.8)

Зауваження.

Звернення до нуля одного зі знаменників рівнянь (4.8) означає звернення до нуля відповідного чисельника. Наприклад, канонічні рівняння задають пряму, що проходить через точку перпендикулярно осі (проекція вектора на вісь дорівнюєнулю). Це означає, що пряма лежить у площині , і тому для всіх точок прямої буде .

Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Нехай пряма проходить черезточки й. Тоді занапрямний вектор прямої можна взяти вектор і в рівнянні (4.8) замість,іпідставити відповідно, і .Одержимо рівняння прямої, що проходить через точки й:

Передбачається, що в цьому рівнянні одночасно.

Окремі випадки:

1) якщо , то||;

2) якщо , то||;

3) якщо , то||.

Рівняння прямої в загальному вигляді

Пряму в просторі можна задати як лінію перетину двох непаралельних площин і .

Тоді система рівнянь

(4.9)

де координати векторів і не пропорційні,визначає пряму як геометричне місцеточок простору, координати яких задовольняють кожне з рівнянь системи.

Рівняння (4.9) називаються загальними рівняннями прямої.

Від рівняння прямої в загальному вигляді (4.9) можна перейти до канонічних рівнянь (4.8). Для цього потрібно знайти точку , через яку проходить прямаL, та її напрямний вектор . Координати точки знаходять із системи рівнянь (4.9), додавши одній з координат довільне значення. Щоб знайти координати напрямного вектора прямої , зазначимо, що прямаL перпендикулярна векторам і . Тоді занапрямний вектор прямої L можна прийняти векторний добуток векторів і :

.

Зауваження.

Канонічні рівняння прямої можна одержати, якщо взяти дві які-небудь точки на ній. Для цього треба знайти загальне розв’язання системи рівнянь (4.9) і з нього два часткових розв’язки.

Кут між прямими

Нехай прямі йзадані канонічними рівняннями.

: , де й– напрямний вектор;

: , де й– напрямний вектор .

Під кутом між цими прямими розуміють кут між напрямними векторами й. Тому, за формулою для косинуса кута між векторами, одержуємо

або

. (4.10)

Окремі випадки:

1) – умова ||;

2) – умова .

Зауваження.

1. Для знаходження гострого кута між прямими й чисельник правої частини формули (4.10) необхідно взяти замодулем.

2. Якщо прямі йзадані іншими рівняннями, то спочатку перейти до канонічних рівнянь.

Взаємне розташування прямих у просторі

Нехай прямі йзадані канонічними рівняннями.

: , де й– напрямний вектор ;

: , де й– напрямний вектор .

Прямі збігаються

Повинні виконуватися умови:

1) || ; (4.11)

2) ||. (4.12)

Прямі паралельні

Вектори й колінеарні, але вектори йне єколінеарними. Тобто виконується умова (4.11), але не виконується (4.12).

Прямі лежать в одній площині

Прямійлежать в одній площині, якщо вектори, і компланарні й вектор не єколінеарним вектору .Тобто не виконується умова (4.11) і мішаний добуток векторів , і дорівнюєнулю:

(4.13)

Прямі перехрещуються

Прямійне єпаралельними, не перетинаються, але лежать у паралельних площинах, тобто не виконуються умови (4.11) і (4.13).