4.5 Поверхні другого порядку

4.5.1 Поняття поверхні другого порядку

Поверхні другого порядку визначаються загальним рівнянням вигляду

, (4.14)

де коефіцієнти – дійсні числа й, принаймні, одне із чисел відмінно від нуля. Можна показати, що шляхом повороту йпаралельного переносу осей координат, рівняння (4.14) прийме найбільш простий або канонічний вигляд. Рівняння, які визначають уявні поверхні, називатимемо виродженими. Рівняння, які задають поверхні другого порядку, – невиродженими. Нижче наведено й досліджені канонічні рівняння поверхонь другого порядку. Для цього використовується метод перетинів, за яким дослідження виду поверхні виконується за допомогою вивчення ліній перетину даної поверхні з координатними площинами або площинами, їм паралельними.

4.5.2 Еліпсоїд

Поверхня, яка в прямокутній системі координат визначається рівнянням

(4.15)

називається еліпсоїдом.

Дослідження форми еліпсоїда

1. Рівняння (4.15) містить змінні х, у і тільки в парних ступенях, тому ,,– осі симетрії, а точка – центр симетрії.

2. ,– точки перетину еліпсоїда з віссю , яківизначаються, якщо покласти й. Аналогічно визначаються точки ,,,

Прийнято називати:

– точки , ,, ,, вершинами еліпсоїда;

– відрізки ,, , а також їхньої довжини 2а, 2b, 2с осями еліпсоїда відповідно;

– числа а, b, с – півосями еліпсоїда відповідно.

3. Для встановлення геометричного образу рівняння (2.35) скористаємось перерізами, паралельними площині .Рівняння таких площин: , де h – будь-яке число.

Лінія, яка утворюється в перерізі, визначається системою рівнянь:

(4.16)

Досліджуємо систему (4.16).

1. Якщо |h|>с, с>0, то <0. В такому разі система рівнянь визначає уявний еліпс, тобто точок перетину еліпсоїда (4.15) з площиною не існує.

2. Якщо |h|=c, тобто , то Лінія перетину (4.16) вироджується у дві точки (0,0,с) і (0,0.-с). Площини дотикаються даної поверхні.

3. Якщо |h|<с, то рівняння (4.16) можна переписати у вигляді:

Перше рівняння визначає еліпс, півосі якого змінюються залежно від . Прив перетині еліпсоїда площиноюмаємо найбільший еліпс.

Аналогічні результати одержуємо, якщо розглянемо перетин еліпсоїда площинамий. Таким чином, проведений аналіз дозволяє зобразити геометричний образ еліпсоїда як замкненої овальної поверхні.

Зауваження.

Якщо в рівнянні (4.15) , то одержимо рівняння сфери.

4.5.3 Гіперболоїди

Однопорожнинний гіперболоїд. Поверхня, яка в прямокутній системі координат визначається рівнянням:

(4.17)

називається однопорожнинним гіперболоїдом.

Дослідження форми однопорожнинного гіперболоїда

1. Рівняння (4.17) містить змінні х, у і тільки в парних ступенях, тому ,,– осі симетрії, а точка – центр симетрії.

2. При перетині гіперболоїда площиною отримаємо лінії, що визначають еліпси

Якщо маємо найменший еліпс при перетині гіперболоїда площиною, якщоh необмежено зростає, то півосі еліпса зростають до нескінченності.

При перетині гіперболоїда площинами ,, отримаємо дві системи

і

з яких випливає, що в перерізі маємо гіперболи.

Двопорожнинний гіперболоїд. Поверхня, яка в прямокутній системі координат визначається рівнянням

, (4.18)

називається двопорожнинним гіперболоїдом.

Дослідження форми двопорожнинного гіперболоїда

Розглянемо переріз площиною. Отримаємо систему

Дослідимо її.

1. Якщо , то лінії перетину немає (маємо уявний еліпс).

2. Якщо , то площина дотикається до гіперболоїда (маємо точки,).

3. Якщо , то лінією перетину буде еліпс.

При перетині гіперболоїда площинами і, отримаємо дві системи

і

з яких випливає, що в перерізі маємо гіперболи. В обох гіпербол дійсною віссю є вісь Oz. Метод перетину дозволяє зобразити поверхню, обумовлену рівнянням (4.18), як поверхню, що складається із двох порожнин, які мають форму опуклих необмежених чаш.