4.4 Взаємні задачі на пряму та площину

Кут між прямою й площиною

Нехай площина задана загальним рівнянням , а пряма канонічними рівняннями

Підкутом між прямою й площиною розумітимемо кожний із двох суміжних кутів, утворених прямою та її проекцією на цю площину. Позначимо через кут між площиною й прямою L, а через – кут між векторами й . Тоді ,. Тому гострий кут визначається за формулою

.

Окремі випадки:

1) – умова ||;

2) – умова .

Взаємне розташування прямої та площини

Нехай площина й пряма задані рівняннями:

, де – нормальний вектор площини;

:, де – напрямний вектор, а точка належить прямій.

Пряма паралельна площині

Пряма ||, якщо скалярний добутокіточка : і .

Пряма лежить у площині

Пряма , якщо скалярний добутокіточка : і .

Пряма перетинає площину

Пряма перетинає , якщо скалярний добуток: .

Точку перетину прямої і площинизнаходять за наступною схемою:

1) від канонічних рівнянь перейти до параметричних рівнянь

2) підставити отримані значення ,, у рівняння площини ,одержати рівняння , з якого визначити параметр ;

3) для даного параметра обчислити значення ,, , що відповідають координатам точки перетину й.

Відстань від точки до прямої в просторі

Нехай потрібно визначити відстань від точки до прямої: , де – напрямний вектор і точка належить прямій.

Сполучимо початокнапрямного вектора ізточкою ,визначимо вектор . На векторахіпобудуємо паралелограм. Довжина перпендикуляра, щоопущений із точки на вектор, як висота паралелограма, дорівнює відстані відточки допрямої . Якщо – площа паралелограма, – відстань, то . Оскільки площадорівнюємодулю векторного добутку векторів і:, а , та відстань обчислюється за формулою

=.

Відстань між перехресними прямими

Нехай перехресні прямі йзадані канонічними рівняннями.

: , де й – напрямний вектор;

: , де й – напрямний вектор .

Щоб визначити відстаньміж прямими, побудуємо паралелепіпед на векторах , і(початок векторів у точці). Тодівисота паралелепіпеда дорівнюватиме . Якщо – об'єм паралелепіпеда, – площа його основи, то . Через те, що об'єм дорівнює модулю мішаного добутку векторів , і, а площа – модулю векторного добутку векторів і , то відстань обчислюється за формулою

,

де ,.

Приклад.

Задано координати вершин тетраедра :, , , . Знайти: 1) довжину ребра ; 2) кут між ребрамиі; 3) площу грані; 4) об’єм тетраедра; 5) рівняння медіанитрикутника; 6) рівняння грані; 7) рівняння висоти тетраедра, опущеної з вершинина грань; 8) довжину висоти(двома способами).

Розв’язання.

1. Через те, що маємо:

2. Шуканий кут є кутом між векторами і . По координатах початку та кінця знайдемо вектори: , . Тоді, враховуючи, що , , маємо .

3. Площа грані А₁А₂А₃ дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і . Через те, що то:

і, отже,

4.

5. За формулами поділу довжини відрізка у заданому відношенні знаходимо координати серединивідрізка:

Отже, . Рівняння прямої, що проходить через дві точки і , має вигляд Підставивши координати точок ів це рівняння, отримаємо шукане канонічне рівняння медіани:

або

6. Запишемо рівняння площини, що проходить через точки :

Розклавши визначник за елементами першого рядка, матимемо: .

7. Оскільки вектор нормалі до площинизбігається з напрямним вектором прямої, то.

8. Спосіб 1. Відомо, що Звідки

Спосіб 2. Висоту тетраедра можна знайти як відстань від точки до площини:

де – координати точки:– координати нормального вектораплощини. Тоді

Приклад.

Знайти точку перетину прямої : і площини : .

Розв’язання.

Від канонічних рівнянь перейдемо до параметричних рівнянь або

Підставимо одержані значення ,,в рівняння площини . Отримаємо . Звідки параметр .

Для даного параметра обчислимо значення ,,, які відповідають точціперетину і:;;. Отже, .

Контрольні запитання та завдання

1. Що називається рівнянням поверхні в просторі?

2. Як записуються параметричні й векторні рівняння лінії в просторі?

3. Як аналітично записати рівняння лінії, що утворюється при перетинанні двох поверхонь?

4. За якою формулою записується рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору? Як називається вектор, що є перпендикулярним площини?

5. Яке рівняння площини називається рівнянням у загальному вигляді? Навести окремі випадки.

6. Записати рівняння площини у відрізках. Що означають параметри, які входять у рівняння площини у відрізках?

7. Вивести нормальне рівняння площини.

8. Записати рівняння площини, що проходить через три задані точки.

9. Як обчислюється кут між площинами?

10. Записати формули обчислення відстані від точки до площини.

11. Як задається рівняння прямої у векторно-параметричному; параметричному; канонічному вигляді? Як називається вектор, що є колінеарним прямій?

12. Записати рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки.

13. Написати загальне рівняння прямої в просторі. Як перейти від загального рівняння прямої до канонічних?

14. Як знайти кут між прямими в просторі? Записати умови перпендикулярності й паралельності прямих.

15. Як знайти кут між прямою й площиною? Записати умови перпендикулярності й паралельності прямої та площини.

16. Як установлюється взаємне розташування прямої та площини?

17. Як обчислюється відстань від точки до прямої в просторі; між перехресними прямими?