4 Аналітична геометрія в просторі

4.1 Поверхні та лінії в просторі

Основні поняття

Рівнянням поверхні в просторі називається таке рівняння із трьомазмінними, якому відповідають координати х, у і кожної точки поверхні й не відповідають координати будь-якої точки, що не лежить на цій поверхні.

Рівняння називаєтьсянеявним рівнянням поверхні в просторі; поверхня, задана у вигляді функції , називаєтьсяявно заданою.

Таким чином, поверхню в просторі можна розглядати як геометричне місце точок, що задовольняють яку-небудь умову (рівняння). Якщо ж дано рівняння вигляду , то воно можевизначати не тільки поверхню, а й точку, лінію або зовсім не визначати ніякий геометричний образ. Говорять, «поверхня вироджується».

Так, рівняннюне відповідають ніякі дійсні значеннях, у, , а рівнянню відповідають лише координатиточки .

Лінію у просторі можна розглядати як лінію перетинання двох поверхоньта, або як геометричне місцеточок, що є загальним для двох поверхонь. Координати точок цієї лінії задовольняють систему двох рівнянь із трьома невідомими

Рівняння цієї системи називаються рівняннями лінії в просторі.

Параметричними рівняннями лінії в просторі називаються рівняння

(4.1)

де , і – координати довільної точки , що лежить на даній лінії, a t – змінна, яка називається параметром; параметр t визначає положення точки на лінії.

Векторним рівнянням лінії в просторі називається рівняння , де t – скалярний змінний параметр.

Параметричні рівняння (4.1) лінії є проекціями вектора на осі координат.

Змінні, які входять у рівняння поверхні або лінії, називаються поточними, координатами точок відповідно поверхні або лінії.

Рівняння поверхні або лінії дозволяє вивчення їхніх геометричних властивостей замінити дослідженням їхнього рівняння.

4.2 Рівняння площини

Найпростішою поверхнею є площина, яку у просторі можна задавати різними способами.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору

Знайдемо рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому ненульовому вектору . Візьмемо наплощині довільну точку йрозглянемо вектор . Оскільки вектори йперпендикулярні, то й їхній скалярнийдобуток дорівнює нулю: , тобто

. (4.2)

Рівняння (4.2) називається рівнянням площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору.

Вектор , що перпендикулярний площині, називається нормальним вектором цієї площини.

Якщо в рівнянні (4.2) коефіцієнтам надавати різні значення, можна одержати різні рівняння площин, що проходять через точку . Сукупність площин, що проходять через дану точку, називається пучком площин, а рівняння (4.2) – рівнянням пучка площин.

Рівняння площини в загальному вигляді

У рівнянні (4.2) розкриємо дужки, введемо позначення . Тоді рівняння набудевигляду

, (4.3)

де – координати нормального вектора . Отримане рівняння називається рівнянням площини взагальному вигляді.

Окремі випадки:

1) якщо , то ||;

2) якщо , то ||;

3) якщо , то ||;

4) якщо , то проходить через початок координат;

5) якщо , то ||;

6) якщо , то ||;

7) якщо , то ||;

8) якщо , то збігається із площиною;

9) якщо , то збігається із площиною;

10) якщо , то збігається із площиною.

Рівняння площини у відрізках

Нехай у загальному рівнянні (4.3) площини всі коефіцієнти відмінні від нуля. Тоді, якщо провести перетворення

,

і ввести позначення: ; ; , то одержимо рівняння вигляду:

.

Це рівняння називається рівнянням площини у відрізках, тому що числа а, b і вказують, які відрізкивідтинає площина на осях координат.

Нормальне рівняння площини

Розглянемо прямокутну систему координат . Позначимо через відстань від початку координатО до площини . Якщо:

1), де;

2) ||, де й ;

3) – радіус-вектор точки , то. З огляду на те, що ,одержимо

. (4.4)

Рівняння (4.4) називається нормальним рівнянням площини.

Покажемо, як навести рівняння площини в загальному вигляді до нормального рівняння (4.4). Помножимо рівняння площини в загальному вигляді на деякий множник .Одержимо

.

В зв'язку з тим, що це рівняння має бути тотожним рівнянню (4.4), то із (4.4) одержимо , , , . Використовуючи властивість напрямних косинусів , маємо , звідки нормувальний множник – . Відповідно до рівності , знак множника, що нормує, протилежний знаку вільного члена загального рівняння площини.

Рівняння площини, що проходить через три задані точки

Знайдемо рівняння площини , що проходить через три задані точки , і , що не лежать на одній прямій.

Візьмемо на площині довільну точку й складемо вектори , , . Оскільки ці вектори лежать на площині , то вони компланарні. Умовою компланарності трьох векторів є рівність нулю їхнього мішаного добутку , тобто

(4.5)

Рівняння (4.5) називається рівнянням площини, що проходить через три задані точки.

Відстань від точки до площини

Нехай задані площина рівнянням і точка . Відстаньd від точки до площини дорівнює модулю проекції вектора , де – довільна точка площини , на напрямок нормального вектора . Отже,

Оскільки точка належить площині , то , тобто . Тому

.

Якщо пряма задана нормальним рівнянням , то з огляду на те, що ,,,, де , тобто , , , одержимо

.

Кут між площинами

Нехай площини йзадані рівняннями взагальному вигляді.

: , де – нормальний вектор і;

: , де – нормальний вектор і.

Один із двох кутів між площинами йдорівнюєкуту між нормальними векторамий, а інший– . Тоді _{й відповідно гострий кут визначається за формулою}

_.

Окремі випадки:

1) – умова ||;

2) – умова .