53

Лекция 3. МЕТОДЫU ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ СТАТИСТИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ U

План

1.Метод моментов.

2.Метод максимального правдоподобия.

1.Метод моментов впервые предложил П.Л.Чебышев. Развитием этого метода занимались ученики Чебышева и английский математик К.Пирсон. Кратко суть метода может быть изложена словами: для определения точечных оценок неизвестных параметров заданного распределения необходимо приравнять теоретические моменты рассматриваемого распределения к соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.

ПримерU 1.U Страховая компания провела анализ дневных суммарных выплат по однотипным медицинским договорам страхования. Результаты анализа (в тыс. грн.) за 100 рабочих дней сведены в табл. 1:

Табл. 1. Статистические данные к примеру 1

оценить методом моментов параметры а и σ .

Решение. Вычислим среднее значение выборки, причем за представителя каждого интервала (разряда) примем его середину:

x= ∑xi wi =

i=1

=0,5 0,01+1,5 0,05 + 2,5 0,14 +3,5 0,26 + 4,5 0,24 +5,5 0,18 +6,5 0,10 +7,5 0,02 = 4,21 .k

Выборочные дисперсия и стандартное отклонение, соответственно, равны:

Согласно методу моментов, нужно приравнять теоретические моменты рассматриваемого распределения к соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Следовательно, выберем параметры а и σ нормального закона так, чтобы выполнялись условия:

a = x,σ 2 = sX 2 a = 4,21;σ =1,4512 .

Подставляя оценки параметров, полученные методом моментов, в теоретическую плотность распределения, имеем

54

Как видно из табл. 2, значения плотности распределения в серединах интервалов мало отличаются от частости. Построим на рис. 1 гистограмму и, по вычисленным значениям, кривую плотности.

Рис. 1. Гистограмма частостей и кривая теоретической плотности распределения.

Судя по рис. 1, что теоретическая кривая плотности распределения f (x) , в основном,

сохраняет особенности статистического распределения. Пример 1 выполнен.

ЗамечаниеU 2.U Оценки, полученные методом моментов, обычно имеют сравнительную эффективность e(θ ) существенно меньше единицы и даже являются смещёнными. Иногда,

из-за простоты их нахождения, они используются в качестве начального приближения для нахождения более эффективных оценок.

2. Наиболее распространенным методом точечных оценок параметров является метод максимального правдоподобия. Этот метод впервые был предложен Р.Фишером.

Пусть по-прежнему имеется выборка x1 , x2 ,..., xn из генеральной совокупности с неизвестной теоретической функцией распределения FX (x) , принадлежащей известному однопараметрическому семейству FX (x;θ) . Функция неизвестного параметра θ

L(x1 , x2 ,..., xn ;θ) = f (x1;θ) f (x2 ;θ)... f (xn ;θ)

называется функцией правдоподобия. Здесь f (x,θ) – плотность распределения случайной ве-

личины X при непрерывном распределении, а в случае дискретного распределения f (x,θ) = P{X = x;θ}. Замечательное свойство функций правдоподобия заключается в том,

что они как бы вбирают в себя всю информацию, которая даётся выборкой относительно параметра θ . Функция правдоподобия по сути не что иное, как вероятность (в непрерывном случае плотность распределения) получить именно ту выборку x1 , x2 ,..., xn , которую бы мы

реально имели, если бы значение неизвестного параметра равнялось θ . Естественно поэтому в качестве оценки неизвестного параметра θ выбрать θ* , доставляющее наибольшее значе-

ние функции правдоподобия L(x1 , x2 ,..., xn ;θ) . Оценкой максимального правдоподобия назы-

вается такое значение θ* , для которого

L(x1 , x2 ,..., xn ;θ* ) = max L(x1 , x2 ,..., xn ;θ) .

θ

На практике используют не саму функцию правдоподобия, а ее логарифм ln L(x1 , x2 ,..., xn ;θ) . Используя необходимое и достаточное условие экстремума функции, оценка макси-

мального правдоподобия θ* может быть найдена следующими действиями:

55

1.Найти производную ∂∂θ ln L(x1 , x2 ,..., xn ;θ) , приравнять ее к нулю и найти корень уравне-

ния правдоподобия

ная отрицательна, то θ* – оценка максимального правдоподобия неизвестного параметра

θ .

ЗамечаниеU 3.U Для использования метода максимального правдоподобия необходимо,

чтобы функция правдоподобия была дифференцируемой. Оценку θ* следует искать среди значений θ , удовлетворяющих уравнению правдоподобия или принадлежащих границе области допустимых значений θ . Для наиболее важных, с практической точки зрения, се-

мейств FX (x;θ) уравнение правдоподобия имеет единственное решение θ* . Это решение и

является оценкой максимального правдоподобия.

ЗамечаниеU 4.U Метод максимального правдоподобия до настоящего момента был изложен для случая оценки одного параметра θ . Естественно, что все вышесказанное распространяется и на случай оценки k неизвестных параметров θ1 ,θ2 ,...,θk .

Перечислим достоинства метода максимального правдоподобия:

•для случая оценки одного параметра оценка максимального правдоподобия θ* всегда будет состоятельной;

•при больших объемах выборки n распределение оценки максимального правдоподобия

θ* можно приближённо считать нормальным со средним θ и дисперсией nI1(θ) , где

I (θ) – информация Фишера. Оценка θ* будет асимптотически эффективной в том

смысле, что не существует другой асимптотически нормальной оценки, имеющей меньшую дисперсию;

•если существует эффективная оценка неизвестного параметра θ E , то она является оценкой максимального правдоподобия θ* .

ПримерU 2.U Найти методом максимального правдоподобия оценку параметра λ распределения Пуассона

Хорошей иллюстрацией примера 2 может служить знаменитый опыт Резерфорда, Чедвика и Эллиса. Радиоактивное вещество наблюдали в течение N = 2608 промежутков времени, каждый длиной в 7,5 секунд, и для каждого интервала регистрировали число частиц, достигших счётчика. Всего таких частиц было зарегистрировано n =10094 . В табл. 3 приведены во втором столбце результаты этих наблюдений, в третьем столбце – отвечающие им частости, а в четвёртом – теоретические вероятности, подсчитанные по формуле Пуассона. Причем в качестве параметра λ была взята, по сути, оценка метода максимального прав-

Результаты выглядят довольно впечатляюще. Частости, полученные опытным путем, незначительно отличаются от теоретических вероятностей. Этот факт говорит о том, что, вопервых, был верно предугадан тип теоретического распределения (т.е. распределения Пуассона), и, во-вторых, параметр λ теоретического распределения был удачно оценен по значениям статистической выборки.

Табл. 3. Данные опыта Резерфорда, Чедвика и Эллиса

ЗамечаниеU 5.U В общем случае оценка максимального правдоподобия может быть не только неэффективной, но и смещённой. Однако эта смещенность не имеет существенного значения и может быть исправлена, например, домножением на соотвествующий множитель (см. предыдущую лекцию). Недостаток метода максимального правдоподобия состоит в том, что он подчас требует сложных вычислений.

57

Лекция 4. ОЦЕНКИU ПАРАМЕТРОВ С ПОМОЩЬЮ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ U

План

1.Понятие доверительного интервала.

2.Нахождение доверительного интервала для оценки математического ожидания

нормального распределения при известной дисперсии.

3.Нахождение доверительного интервала для оценки математического ожидания

нормального распределения при неизвестной дисперсии. Оценка истинного значения измеряемой величины.

4.Нахождение доверительного интервала для оценки среднеквадратического от-

клонения нормального распределения. Оценка точности измерений.

1.Оценки неизвестных параметров, полученные ранее, мы называли точечными, т.к. они оценивали параметр одним числом или точкой. Однако, точечная оценка не совпадает с оцениваемым параметром. Было бы разумно указывать те допустимые границы, в которых

может находиться неизвестный параметр θ при наблюдении выборки x1 , x2 ,..., xn . Причем,

находить эти границы надо с некоторой наперёд заданной степенью доверия или доверительной вероятностью.

Пусть оценка θ , построенная по выборке объема n , служит оценкой неизвестному параметру θ . Ясно, что чем точнее оценка θ , тем меньше абсолютная величина разности θ −θ . Если же рассматривать неравенство θ −θ <δ , то чем меньше положительное число

δ , тем оценка точнее. Таким образом, δ называют точностью оценки. Надежностью (до-

верительной вероятностью) оценки θ неизвестного параметра θ называется вероятность γ , с которой выполняется это неравенство, т.е.

P{θ −θ <δ}=γ .

В качестве надежности берут число близкое к единице: 0,95; 0,99; 0,999 и т.д. Другими словами, доверительной вероятностью можно назвать такую вероятность γ , что событие веро-

ятности 1−γ можно считать практически невозможным. Каждый конкретный случай опре-

деляет соответствующую доверительную вероятность. Например, степень надежности пассажирского самолета должна превосходить надежность электрической лампочки.

Задавшись доверительной вероятностью γ , мы должны по выборке x1 , x2 ,..., xn определить интервал [θ′;θ′′], в котором будет находиться неизвестный параметр θ . Такой интер-

вал называют доверительным интервалом, а оценку – интервальной оценкой.

ЗамечаниеU 1.U Грубой принципиальной ошибкой было бы считать доверительную вероятность γ вероятностью того, что неизвестный параметр θ будет принадлежать довери-

тельному интервалу [θ′;θ′′]. Параметр распределения θ , вообще говоря, не случаен. Границы же доверительного интервала [θ′;θ′′] случайны, т.к. находятся по значениям выборки.

Когда говорят, что неизвестный параметр θ не может выйти за границы доверительного интервала [θ′;θ′′], констатируют только тот факт, что если при любом истинном значении θ в

результате эксперимента получена выборка x1 , x2 ,..., xn , а затем по ней построен доверительный интервал [θ′;θ′′], то этот интервал с вероятностью γ накроет значение θ .

Метод доверительных интервалов впервые предложил американский математик

Ю.Нейман. Используя точечную оценку θ неизвестного параметра θ , можно строить доверительные интервалы. На практике используют обычно два типа доверительных интервалов: симметричные и односторонние. Они находятся аналогично, поэтому ограничимся рассмотрением симметричных доверительных интервалов.

случайной величины X равно σ =1,4512 , построить доверительный интервал для математического ожидания а с доверительной вероятностью 0,95.

стических данных в задаче 100. Однако, т.к. все параметры оценивались с использованием середин 8 интервалов, то будет правильным взять n = 8 . В нашем случае γ2 = 0,475 . Число t

определяется из равенства Φ(t) = 0,475 . Воспользовавшись таблицей значений интегральной функции Лапласа, получим t =1,96 . Если использовать статистические функции из Microsoft

Excel, то нужно вычислить НОРМСТОБР( ) от аргумента γ2 +0,5 = 0,975 , т.е.

t = НОРМСТОБР(0,975) = 1,959961.

Используя пакет Maple 6, получим

нормальному закону. Поэтому рассмотрим задачу нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дис-

персии. Случай, когда дисперсия известна, был рассмотрен выше.

По данным выборки можно построить случайную величину:

где х – выборочная средняя, s – исправленное выборочное среднеквадратическое отклоне-

61

При использовании пакета Maple 6 рассчитывают

tγ = stats[statevalf, icdf, studentst[7]](0.95/2+0.5)=2.36462.

Вычисляя tγ ns =1,297 , убеждаемся в том, что доверительным интервалом для математиче-

ского ожидания а с надёжностью 0,95 будет интервал I0,95 = (2,913;5,507).

ЗамечаниеU 2.U При неограниченном росте объёма выборки n распределение Стьюдента

стремится к нормальному. Практически при n > 30 можно вместо распределения Стьюдента использовать нормальное распределение.

При малых объемах выборки n < 30 доверительный интервал, найденный по интегральной функции Лапласа (т.е. первым методом) является более узким, чем интервал, найденный по распределению Стьюдента (второй метод). Это свидетельствует не о слабости метода Стьюдента, а объясняется тем, что малая выборка содержит малую информацию о признаке Х . Рассмотренные примеры 1 и 2 демонстрируют сказанное выше.

Поговорим теперь об оценке истинного значения измеряемой величины.

Пусть по n независимым измерениям одинаковой точности нужно оценить истинное значение а некоторой физической величины. Результаты отдельных измерений будем рассматривать как случайные величины X1 , X 2 ,..., X n . Эти величины независимы (т.к. измере-

ния независимы), имеют одинаковое математическое ожидание а (истинное значение изме-

ряемой величины), одинаковые дисперсии σ 2 (точность измерений одинакова) и распределение нормально (такое предположение подтверждается опытом). Т.е., все предположения, допускаемые в первом и втором методах нахождения доверительных интервалов, выполняются. Следовательно, формулы, выведенные в этих методах, применимы и в этом случае. Таким образом, истинное значение измеряемой величины можно оценивать по среднему арифметическому результатов измерений с помощью доверительных интервалов. Здесь метод Стьюдента предпочтительнее, поскольку в задачах практики значение σ обычно неизвестно.

4. Рассмотрим задачу нахождения доверительного интервала для оценки среднеквадратического отклонения нормального распределения.

Пусть некий количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднеквадратическое отклонение σ по исправленному выборочному среднеквадратическому отклонению s . Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр σ с заданной надежностью γ . Следовательно,

должно выполниться соотношение

P{σ − s <δ}=γ

или

P{s −δ <σ < s +δ}=γ .

Как и ранее, следует воспользоваться известной случайной величиной, для которой имеются вычислительные таблицы или готовые статистические функции в каком-нибудь пакете прикладных программ. Чтобы прийти к такой случайной величине проделаем некоторые преобразования. Для начала запишем неравенство

Требуется найти q . Для этого введем в рассмотрение случайную величину χ :

62

χ = s σn −1 ,

где n – объём выборки.

Случайная величина s 2 (σn2−1) распределена по т.н. закону χ2 с n −1 степенями сво-

боды. Плотность же распределения χ имеет вид

χ n−2 e−χ2 / 2

R(χ, n) = 2(n−3) / 2 Γ n −1 .

2

n−1 /(1+q)

Из последнего уравнения по заданным n и γ можно найти q . Действительно, имеем

дёжностью γ . Для выполнения этой задачи нужно: а) вычислить по выборке исправленное

Jγ = (s − sq; s + sq).

63

Число q определяется из таблицы значений q = q(γ, n) по заданным n и γ . Можно использовать также таблицу критических точек распределения χ2 . В ней χ2 будет опреде-

ляться по заданному уровню значимости α = γ и по заданному числу степеней свободы

пределена по нормальному закону, построить доверительный интервал для среднеквадратического отклонения σ с доверительной вероятностью 0,95.

Решение. Напомним, что s =1,5514 и n = 8 – объём выборки. Требуется найти с надёжностью γ = 0,95 доверительный интервал Jγ = (s − sq; s + sq), который покрывает неизвестное среднеквадратическое отклонение σ . Число q можно определить из таблицы значений q = q(γ, n) , т.е. q = q(0,95;8) = 0,8 . Применяя Microsoft Excel, получим

q = КОРЕНЬ(7/ХИ2ОБР(7;0,95))-1 = 0,797151.

Используя Maple 6, сначала рассчитаем число

χ2 = stats[statevalf, icdf, chisquare[7]](1-0.95) = 2.167349909,

откуда

q = sqrt(7/2.167349909)-1 = 0.797151.

Вычислим sq =1,2367 . Доверительным интервалом для среднеквадратического отклонения σ с доверительной вероятностью 0,95 будет интервал J0,95 = (0,3147;2,7881).

ЗамечаниеU 3.U Ранее предполагалось, что q <1. Если же q >1 , то учитывая, что σ > 0 ,

доверительный интервал следует находить в следующем виде: 0 < σ < s(1 + q).

Причём q находится теми же способами.

Скажем несколько слов об оценке точности измерений.

В теории ошибок принято точность измерений характеризовать средним квадратическим отклонением σ случайных ошибок измерений. В качестве оценки σ используют несмещённое выборочное стандартное отклонение s . Обычно результаты измерений взаимно независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае измерений равной точности). Поэтому методы, применяемые при нахождении доверительного интервала для оценки среднеквадратического отклонения нормального распределения, годятся и для оценки точности измерений.

64

Лекция 5. ОБЩИЕU ПОНЯТИЯ О СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗАХ И ИХ ПРОВЕРКЕ U

План

1.Статистическая гипотеза. Виды статистических гипотез. Ошибки первого и второго рода.

2.Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.

3.Нахождение критических областей. Мощность критерия.

1.Уже не раз упоминалось о том, что в задачах математической статистики важно знать закон распределения генеральной совокупности. Если же мы только приблизительно знаем, что данная генеральная совокупность распределена по конкретному закону, то по этому поводу мы можем выдвинуть гипотезу. В этой гипотезе будет идти речь о виде предполагаемого распределения. В другом случае закон распределения может быть известен, однако неизвестны его параметры. Если имеются основания предположить, что неизвестный

параметр θ равен определенному значению θ0 , то выдвигают гипотезу: θ =θ0 . Т.о., в этой

гипотезе речь идет о предполагаемой величине параметра какого-то известного распределения. В рамках математической статистики часто выдвигаются и другие гипотезы: о равенст-

ве параметров распределений, о независимости выборок и т.д.

Статистическая гипотеза – это гипотеза о типе неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Например, гипотезы: 1) генеральная совокупность распределена по показательному закону; 2) дисперсии двух нормальных совокупностей равны, являются статистическими. Гипотеза: «Я смогу доказать Великую теорему Ферма», не будет статистической. Выдвинутую гипотезу H0 принято называть нулевой или основной.

Противоречащую ей гипотезу H1 называют конкурирующей или альтернативной. Если гипотеза содержит ровно одно предположение, то её называют простой. К примеру, гипотеза H0 : параметр закона распределения Пуассона λ = 7 – простая. Сложной называют гипотезу,

состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, сложная гипотеза H : λ > 7 состоит из бесконечного числа простых гипотез Hi : λ = bi (bi > 7) . Гипотеза

H0 : математическое ожидание нормального распределения равно 5 (параметр σ неизвестен)

– сложная. В то же время, эта гипотеза при известном параметре σ является простой. Статистическая гипотеза называется параметрической, если в ней делаются предпо-

ложения относительно области изменения неизвестного параметра (или нескольких параметров) для заданных параметрических семейств функций распределения. Примеры параметрических гипотез: 1) дисперсии двух нормальных совокупностей равны; 2) параметр закона распределения Пуассона λ = 7 ; 3) математическое ожидание нормального распределения равно 5 (параметр σ неизвестен); 4) вероятность успеха в схеме Бернулли заключена между 0,3 и 0,6 и т.д. Примерами непараметрических гипотез служат высказывания: 1) генеральная совокупность распределена по показательному закону; 2) теоретическая функция распределения генеральной совокупности является нормальной; 3) теоретическая функция распределения не является нормальной; 4) функция распределения генеральной совокупности имеет положительное математическое ожидание и т.д.

Естественно, что выдвигаемые гипотезы нуждаются в проверке. В силу того, что методы проверки – статистические, то речь идет о статистической проверке гипотез. При проверке возможны ошибки.

Ошибка первого рода состоит в том, что правильная гипотеза будет отвергнута. Ошибка второго рода состоит в том, что неправильная гипотеза будет принята. Например, если отвергнуто правильное решение «к зданию факультета можно сделать пристройку», то эта ошибка первого рода и она, по-видимому, приведёт только к материальному ущербу. Ес-

65

ли же будет принято неправильное решение «продолжать строительство», то, возможно, что здание рухнет. Т.е. кроме материального ущерба такая ошибка может привести к гибели людей. Можно привести пример, когда ошибка первого рода имеет более тяжёлые последствия, нежели ошибка второго рода.

Правильное решение тоже может быть принято в двух случаях: 1) принята гипотеза, которая является верной; 2) отвергнута гипотеза, которая и в действительности является неверной.

Вероятность совершить ошибку первого рода называют уровнем значимости и обозначают через α . В качестве уровня значимости рассматривают небольшие вероятности: 0,05; 0,01 и т.д.

2. Для проверки нулевых гипотез используют специально подобранные случайные величины, точное или приближённое распределение которых известно. Среди них: нормально распределённая случайная величина; случайная величина F , распределённая по закону Фишера-Снедекора; случайная величина T , распределенная по закону Стьюдента; случайная

величина χ2 и др. Вообще, статистическим критерием называют случайную величину K , с помощью которой проверяют нулевую гипотезу. Для проверки гипотезы по данным кон-

кретных выборок вычисляют наблюдаемое значение критерия Kн .

После того, как выбран конкретный критерий, множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающиеся подмножества. Критической областью называют множество значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотезы называют множество значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Сформулируем основной принцип проверки статистических гипотез. Если наблю-

даемое значение критерия попадает в критическую область – гипотеза отвергается. Если же наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотеза принимается.

Пусть критерий K – одномерная случайная величина. Тогда все её возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Естественно, что критическая область и область принятия гипотезы тоже будут интервалами. Следовательно, имеются точки, которые разделяют эти области. Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называю критическими, и обозначают kкр . Различают односторонние и двусторонние крити-

ческие области. Среди односторонних областей обычно выделяют правосторонние и левосторонние. Правосторонней называют критическую область, которая определяется неравенством K > kкр , где kкр – положительное число. В свою очередь, левосторонней называется

критическая область, определяемая неравенством K < kкр , где kкр – отрицательное число.

Двусторонней называют критическую область, которая определяется неравенствами K < k1 , K > k2 , где k2 > k1 . В частности, если критические точки симметричны относительно

нуля, то двустороннюю критическую область (при kкр > 0 ) можно определить неравенствами

K< −kкр , K > kкр , или равносильным неравенством K > kкр .

3.Изложим теперь простейшие методы нахождения критических областей. Для определенности рассмотрим правостороннюю критическую область. Для нахождения критиче-

ской точки kкр задают достаточно малый уровень значимости α . А саму критическую точку kкр определяют из условия

P{K > kкр} =α .

Для известных критериев имеются таблицы, по которым находят соответствующую критическую точку. После нахождения критической точки, по данным конкретных выборок рассчитывают наблюдаемое значение критерия Kн . Если окажется, что Kн > kкр , то нулевую гипо-

66

тезу отвергают. В противном же случае говорят, что нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

ЗамечаниеU 1.U Наблюдаемое значение критерия Kн может оказаться больше, чем kкр

не только лишь потому, что нулевая гипотеза ложна. Среди других причин следующие: малый объём выборки, условия эксперимента имеют недостатки, неудачно выбран статистический критерий и т.д. Т.о. нулевая гипотеза может быть и правильной. Отвергая её, мы с вероятностью α совершаем ошибку первого рода. В книгах по контролю качества продукции вероятность признать негодной партию годных изделий называют «риском производителя», а вероятность принять негодную партию – «риском потребителя».

ЗамечаниеU 2.U Ошибочно думать о том, что если нулевая гипотеза принята, то тем самым она доказана. Частный пример, подтвердивший справедливость общего утверждения, ещё не доказывает его. Поэтому говорить о принятии нулевой гипотезы нужно достаточно сдержанно. Слова могут быть такими: «данные наблюдений согласуются с нулевой гипотезой и не дают оснований её отвергать». На практике для большей достоверности гипотезу проверяют другими методами или повторяют эксперимент, увеличив объём выборки. Отвергают гипотезу более категорично, чем принимают. Действительно, если удаётся привести пример, противоречащий некоторому общему утверждению, то само утверждение признаётся ложным.

Нахождение левосторонней и двусторонней критических областей тоже сводится к определению критических точек. Критическая точка kкр для левосторонней критической об-

ласти определяется из условия

P{K < kкр} =α .

Для определения двусторонней критической области следует найти две критические точки k1 и k2 , причём k2 > k1 . Эти точки должны удовлетворять условию

P{K < k1} + P{K > k2 } =α .

Ясно, что критические точки k1 и k2 могут быть выбраны бесчисленным числом способов. Если же имеются основания выбрать симметричные относительно нуля критические точки −kкр и kкр ( kкр > 0 ), то будет иметь место равенство

P{K < −kкр} = P{K > kкр}.

Следовательно, мы можем записать соотношение

P{K > kкр} = α2 ,

которое и служит для нахождения критических точек двусторонней критической области. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую об-

ласть при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Иными словами, мощность критерия – это вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза. Пусть для проверки гипотезы принят определённый уровень значимости α и выборка имеет фиксированный объём n . Возможность варьировать остаётся лишь в выборе критической области. Покажем, что её целесообразно построить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Если через β обозначить вероятность ошибки второго рода

(т.е. события «принята нулевая гипотеза при справедливости конкурирующей»), то мощность критерия будет равна 1− β . При возрастании мощности критерия 1− β уменьшается

вероятность β совершить ошибку второго рода. Следовательно, если уровень значимости α уже выбран, то критическую область нужно строить так, чтобы мощность критерия 1− β

была максимальной. Выполнение этого требования будет обеспечивать минимальную ошибку второго рода.

ЗамечаниеU 3.U Понятно, что чем меньше вероятности ошибок первого и второго рода, тем лучше для исследователя. Однако при заданном объёме выборки невозможно одновременно уменьшить α и β , т.к. при снижении α вероятность β будет возрастать. Например,

67

если положить α = 0 , то будут приниматься все гипотезы (как правильные, так и неправильные), что, естественно, приведёт к росту вероятности ошибки второго рода β . Как же наи-

более целесообразно выбирать α ? Исследователю нужно учитывать «тяжесть последствий» своего решения для каждого конкретного случая.

В дальнейшем будет рассмотрена лемма Неймана-Пирсона. Согласно ей при фиксированном уровне значимости α можно построить критическую область, для которой мощность критерия 1− β будет максимальной.

ЗамечаниеU 4.U Единственный способ одновременного уменьшения вероятностей ошибок первого и второго рода состоит в увеличении объёма выборок.

68

Лекция 6. ПРОВЕРКАU СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ДИСПЕРСИЙ И СРЕДНИХ U

План

1.Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

2.Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной

дисперсией нормальной совокупности.

3.Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии ко-

торых известны.

4.Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы. Случай малых независимых выборок.

1.Часто на практике возникает задача сравнения дисперсий. Это связано с потребностью сопоставлять точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т.д. Естественно, предпочтительнее тот инструмент, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально. Из совокупностей

извлечены выборки объема n1 и n2 , соответственно. По ним найдены исправленные выбо-

рочные дисперсии sX 2 и sY 2 . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне

значимости α проверить нулевую гипотезу. Она состоит в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

H0 : DX = DY .

В силу того, что исправленные дисперсии являются несмещенными оценками генеральных дисперсий, т.е.

нулевую гипотезу можно записать следующим образом:

H0 : MsX 2 = MsY 2 .

Т.о. требуется проверить, что математические ожидания исправленных выборочных дисперсий равны между собой. Обычно исправленные дисперсии оказываются различными. Значимо (существенно) или незначимо различаются исправленные дисперсии?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие исправленных дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами, в частности случайным отбором объектов выборки. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов измерений, выполненных двумя приборами, оказалось незначимым, то приборы имеют одинаковую точность. Если же нулевая гипотеза отвергнута, т.е. генеральные дисперсии неодинаковы, то различие исправленных дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий принимают отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е. случайную величину

Величина F при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение ФишераСнедекора со степенями свободы k1 = n1 −1 и k2 = n2 −1 , где n1 – объем выборки, по которой

вычислена большая исправленная дисперсия, n2 – объем выборки, по которой найдена

меньшая дисперсия. Распределение Фишера-Снедекора зависит только от чисел степеней свободы и не зависит от других параметров. Для него имеются специальные таблицы. Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

69

В качестве первого случая рассмотрим нулевую гипотезу H0 : DX = DY и конкурирующую гипотезу H1 : DX > DY . Построим правостороннюю критическую область. Потре-

буем, чтобы вероятность попадания критерия F в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

P{F > Fкр (α; k1 , k2 )} =α .

Критическая точка Fкр (α; k1 , k2 ) находится по таблице критических точек распределения

Фишера-Снедекора. Обозначим отношение большей из наблюдаемых исправленных дисперсий к меньшей, как Fн . Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H0 : DX = DY о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкури-

рующей гипотезе H1 : DX > DY , надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е.

s 2

Fн = sб 2 .

м

По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора находят Fкр (α;k1 , k2 ) . Если Fн < Fкр , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном же случае её отвер-

гают. Если использовать статистические функции из Microsoft Excel, то для нахождения Fкр (α;k1 , k2 ) надо вычислять FРАСПОБР(α; k1 ; k2 ). В Maple 6 для этих целей служит функ-

ция stats[statevalf,icdf,fratio[ k1, k2 ]](1-α ).

ПримерU 1.U По двум независимым выборкам с объёмами n1 =13 и n2 =18 , которые извлечены из нормальных генеральных совокупностей X и Y , найдены исправленные выборочные дисперсии sX 2 =12 и sY 2 = 6 . При уровне значимости α = 0,05 проверить нулевую гипотезу H0 : DX = DY о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе

H1 : DX > DY .

Решение. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Использование Microsoft Excel и Maple 6 приводит к аналогичным результатам:

Fкр (0,05;12,17) =FРАСПОБР( 0,05;12;17 )=2,38065;

Fкр (0,05;12,17) =stats[statevalf,icdf,fratio[12,17]](1-0.05)=2.38065.

В качестве второго случая рассмотрим нулевую гипотезу H0 : DX = DY и конкурирующую гипотезу H1 : DX ≠ DY . В этом случае надо строить двустороннюю критическую

область. Можно доказать, что наибольшая мощность (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области равна α / 2 . Обозначим через F1 левую границу критической области и через F2 – правую. То-

70

Правую критическую точку F2 = Fкр (α / 2;k1 , k2 ) находят по таблице критических точек рас-

пределения Фишера-Снедекора.

Оказывается, что левую критическую точку можно и не отыскивать. Достаточно найти правую критическую точку F2 при уровне значимости, вдвое меньшем заданного. Тогда не только вероятность попадания критерия в «правую часть» критической области (т.е. правее F2 ) равна α / 2 , но и вероятность попадания этого критерия в «левую часть» критической области (т.е. левее F1 ) также равна α / 2 . Т.к. эти события несовместны, то вероятность по-

падания рассматриваемого критерия во всю двустороннюю критическую область будет равна

α / 2 +α / 2 =α .

Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей при конкурирующей гипотезе H1 : DX ≠ DY . Для этого нужно вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е.

Fн = sб2 . По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню зна- sм2

чимости α / 2 (вдвое меньшем заданного) и числам степеней свободы k1 и k2 ( k1 – число степеней свободы большей дисперсии) найти критическую точку Fкр (α / 2;k1 , k2 ) . Если Fн < Fкр , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном же случае её отверга-

ют.

ПримерU 2.U По двум независимым выборкам с объёмами n1 =13 и n2 = 9 , которые извлечены из нормальных генеральных совокупностей X и Y , найдены исправленные выборочные дисперсии sX 2 =1,2 и sY 2 = 0,3 . Требуется при уровне значимости α = 0,1 проверить нулевую гипотезу H0 : DX = DY о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H1 : DX ≠ DY .

Решение. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

Fн = 10,,23 = 4 .

Теперь используем таблицу критических точек распределения F Фишера-Снедекора. По заданному уровню значимости α / 2 = 0,1/ 2 = 0,05 и числам степеней свободы k1 =13 −1 =12 и

k2 = 9 −1 = 8 находим критическую точку Fкр (0,05;12,8) = 3,28 . Использование Microsoft Excel

и Maple 6 приводит к аналогичным результатам:

Fкр (0,05;12,8) = FРАСПОБР( 0,05;12;8 )=3,28394;

Fкр (0,05;12,8) = stats[statevalf,icdf,fratio[12,8]](1-0.05)=3.28394.

Т.к. Fн > Fкр , то нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий отвергаем. Другими

словами, выборочные исправленные дисперсии различаются значимо. Например, если бы рассматриваемые дисперсии характеризовали точность двух методов измерений, то следует предпочесть тот метод, который имеет меньшую дисперсию (судя по нашему примеру 0,3).

2. Рассмотрим теперь задачу сравнения исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетиче-

скому (предполагаемому) значению. На практике σ0 2 устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически. Пусть из генеральной совокупности извлечена вы-

борка объема n и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s 2 с k = n −1 степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости про-

71

верить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению σ0 2 . Т.к. s 2 является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, имеем нулевую гипотезу

H0 : Ms 2 =σ0 2 .

Итак, требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, надо установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.

На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого раз-

мера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная σ0 2 . Если найденная по выборке характеристика окажется значимо больше σ0 2 , то станок нуждается в наладке.

Критерием проверки нулевой гипотезы является случайная величина

χ2 = s 2 (n −1) .

σ0 2

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Рассмотрим первый случай. Пусть нулевая гипотеза H0 :σ 2 =σ0 2 . Конкурирующая

гипотеза H1 :σ 2 >σ0 2 . В этом случае строят правостороннюю критическую область и тре-

буют, чтобы выполнялось соотношение

P{χ2 > χкр2 (α; k)} =α .

Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Надо вычислить наблюдаемое

заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n −1 найти критическую

Согласно конкурирующей гипотезе, критическая область является правосторонней. Из таблиц по уровню значимости α = 0,01 и числу степеней свободы k = n −1 =15 −1 =14 находим

chisquare[14]](1-0.01)=29.141. Т.к. χн2 < χкр2 , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

72

Другими словами, различие между исправленной дисперсией 14,9 и гипотетической генеральной дисперсией 14,1 – незначимое.

Рассмотрим теперь второй основной случай проверки гипотез. Нулевая гипотеза H0 :σ 2 =σ0 2 . Конкурирующая гипотеза H1 :σ 2 ≠σ0 2 . В этом случае строят двустороннюю

критическую область. При этом исходят из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости α . Критические точки – левую и правую границы критической области

– находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области была равна α / 2 :

В таблице критических точек распределения указаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки. Это за-

Т.е. левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна 1−α / 2 .

Сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной

дисперсии σ 2 нормальной совокупности гипотетическому значению σ0 2 при конкурирую-