9

Лекция 2. КЛАССИЧЕСКОЕU ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ U

План

1.Частота случайного события. Классическое определение вероятности.

2.Аксиоматика теории вероятностей.

3.Свойства вероятности.

1.Рассмотрим некоторый стохастический эксперимент и событие A , наблюдаемое в этом эксперименте. Например, эксперимент состоит в подбрасывании монеты, а событие A

– выпадение герба. Повторим эксперимент n раз. Пусть k – число экспериментов, в которых произошло событие A .

Число k называют частотой наступления события A в n испытаниях. Отношение

w( A) = kn

называется частостью (или относительной частотой) события A в проведенной серии экспериментов.

Частота может быть определена лишь после проведения серии экспериментов. Вообще говоря, частота изменяется, если мы проведем другую серию из n экспериментов, или если изменим n . Однако, как показывает опыт, при достаточно больших n для большинства экспериментов частота сохраняет почти постоянную величину, причем большие отклонения наблюдаются тем реже, чем больше n .

Например, пусть много раз бросают монету. Многочисленные эксперименты показы-

Если при больших n относительная частота w( A) события A мало отличается от некоторого фиксированного значения p , то говорят, что событие A статистически устой-

чиво, а число p является статистической вероятностью события A .

Дадим другое определение вероятности, которое называют классическим. Рассмотрим стохастический эксперимент, имеющий конечное число n равновозмож-

ных элементарных исходов. Предположим, что событию A благоприятствует k элементарных исходов. Тогда вероятность события A определяется формулой

P( A) = kn .

ПримерU 1.U Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет число очков кратное 3?

Решение. Всего элементарных исходов в эксперименте n = 6 . Из них благоприятных событию A ={3;6} исходов k = 2 . Значит

P( A) = 62 = 13 .

ПримерU 2.U Найти вероятность того, что при двух подбрасываниях монеты герб выпадет хотя бы один раз.

10

Решение. Множество элементарных исходов имеет вид Ω ={ГГ, ГР, РГ, РР}, поэтому n = 4 . Событие A ={ГГ, ГР, РГ} , т.е. k = 3. Откуда

P( A) = 34 .

ПримерU 3.U Игральная кость брошена дважды. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5?

Решение. Итак, Ω ={(1;1),(1;2),(1;3),...,(6;4),(6;5),(6;6)} . Согласно основному принципу

P( A) = 364 = 19 .

ПримерU 4.U В группе 25 студентов: 10 юношей и 15 девушек. Наугад выбирают 3-х студентов. Найти вероятность того, что среди них окажутся: а) только юноши; б) только девушки; в) 1 юноша и 2 девушки.

Решение. а) Эксперимент состоит в выборе наугад 3-х студентов из 25, поэтому n будет одинаковым для а), б) и в):

Событие А={среди выбранных 3-х студентов только юноши}, следовательно, получим

Следовательно, вероятность равна

P( A) = 2300455 = 46091 .

б) Событие С={среди выбранных 3-х студентов 1 юноша и 2 девушки}. Согласно основному принципу комбинаторики

k = С101 C152 =10 215! 13! ! = 141 152 =1050 .

Следовательно, имеем

P( A) = 10502300 = 4621 .

Пример 4 выполнен.

2. В 1933 году выдающийся советский математик Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) построил систему аксиом, завершив логическое обоснование теории вероятностей как науки. И если геометрию можно представлять как науку о системе предметов, называемых «точками, прямыми или плоскостями» и удовлетворяющих известным аксиомам, то и теорию вероятностей можно назвать наукой, посвященной количественному изучению случайных явлений, все законы которой выводятся из системы аксиом, базирующихся на исходных, не подлежащих формальному определению понятиях «элементарное событие» и «вероятность».

Сформулируем аксиомы теории вероятностей в упрощенном виде.

11

Рассмотрим некоторый стохастический эксперимент с конечным числом исходов. Пусть Ω – пространство элементарных исходов. Обозначим через F – множество всех подмножеств пространства элементарных исходов Ω . Например, если Ω ={Г, Р} , то

F ={A1 = , A2 = Ω, A3 ={Г}, A4 ={P}}.

Все множества из F называются случайными событиями. Предположим, что каждому случайному событию A F поставлено в соответствие число P( A) , называемое вероятностью

события A и удовлетворяющее аксиомам: p1 )P( A) ≥ 0;

p2 )P(Ω) =1;

Тройка (Ω, F, Р) называется вероятностным пространством.

3. Сформулируем свойстваU вероятности:U

1) P( A) =1− P( A) .

Доказательство. Используя 2-ю и 3-ю аксиому, имеем

A A = Ω P( A) + P( A) =1 P( A) =1− P( A) .

2) P( ) = 0 .

Доказательство. Учитывая свойство 1), получим

= Ω P( ) =1− P(Ω) = 0 .

3)Если А В то P(B \ A) = P(B) − P( A) .

Доказательство. Т.к.

B = A (B \ A) P(B) = P( A) + P(B \ A) ,

причем использовалась 3-я аксиома, в силу того, что A ∩(B \ A) = .

4)A B P( A) ≤ P(B) .

5)P( A) ≤1.

Доказательство. По свойству 4) имеем

АΩ P( A) ≤1.

6)Р( A B) = Р( А) + Р(В) − P( А∩ В) .

Доказательство. Т.к.

A B = (A \ ( А∩ В)) (В\ ( А∩ В)) (А∩ В),

то используя свойство 3) и 3-ю аксиому, получим

Р( A B) = Р( А) − Р( А∩ В) + Р(В) − Р( А∩ В) + Р(А∩ В)=

=Р( А) + Р(В) − Р( А∩ В).

Тем самым доказана т.н. теорема сложения вероятностей. 7) Если события A и B несовместны, то

Р( A B) = Р( А) + Р(В) .

Доказательство. Т.к. A ∩ B = , то по свойству 2) Р( A ∩ B) = 0 . Используя свойство

6), имеем

Р( A B) = Р( А) + Р(В) .

Доказана теорема сложения вероятностей для несовместных событий.

ПримерU 5.U На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них – в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А).

Решение. Приведем два способа решения.

12

Первый способ. Событие А произойдет, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: В = {один учебник в переплете, два без переплета}; С = {два учебника в переплете, один без переплета}; D = {три учебника в переплете}. Тогда

А= В + С + D,

ипо теореме сложения вероятностей для несовместных событий получим

Р(А) = Р(В) + Р(С) + Р(D).

Найдем вероятности событий В, С, D. Очевидно, что

Тогда

Р(А) = 4591 + 2091 + 912 = 6791 .

Второй способ. Введем противоположное событие A ={ни один из взятых учебников не окажется в переплете} и найдем его вероятность:

()= С3 = 24

РА 10 . С153 91

Так как верна формула

P( A) =1− P( A) ,

то искомая вероятность равна

Р(А) =1 − 2491 = 6791 .

13

Лекция 3. УСЛОВНЫЕU ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА U

План

1.Условные вероятности.

2.Теорема умножения вероятностей.

3.Формула полной вероятности.

4.Формула Байеса.

1.В ряде случаев приходится рассматривать вероятности случайных событий, если известно, что некоторое случайное событие B уже произошло. Введем следующее определение.

Пусть событие B имеет положительную вероятность. Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B , называют

Р( А/ В) = Р( A ∩ B) .

Р(В)

Р( A ∩ B) = 83 . Используя определение условной вероятности, имеем

Р( А/ В) = 73//88 = 73 .

Пример выполнен полностью.

2. Непосредственно из определения условной вероятности, следует теорема умноже-

ния вероятностей.

ТеоремаU 1 (умножения вероятностей).U Если P( A) > 0 , P(B) > 0 , то имеют место равенства

Последнее равенство часто называют теоремой умножения вероятностей для независимых событий.

СледствиеU 1.U Пусть P(B) > 0 . События A и B независимы тогда и только тогда, когда

Р( А/ В) = Р( А) .

Доказательство. Действительно, если A и B независимы, то

14

Р( А/ В) = Р( A ∩ B) = Р( A)Р(B) = Р( А) .

Р(В) Р(В)

Докажем обратное утверждение:

Р( А/ В) = Р( А), Р( А/ В) = Р( A ∩ B) Р( А) = Р( A ∩ B) Р( A ∩ B) = Р( A)Р(B) .

Р(В) Р(В)

Т.е. события независимы. Следствие доказано.

Заметим, что следствие 1 используют в качестве определения независимости собы-

тий.

ПримерU 2.U Три стрелка, для которых вероятность попадания 0,7, 0,8 и 0,9, соответственно, стреляют в мишень. Найти вероятность того, что в мишени окажется два попадания.

Решение. Введем события A1 ={первый стрелок выстрелил и попал}, A2 ={второй стрелок выстрелил и попал}, A3 ={третий стрелок выстрелил и попал}. Тогда P( A1 ) = 0,7 , P( A2 ) = 0,8 и P( A3 ) = 0,9 . Искомое событие B ={после залпа в мишени два попадания} можно записать следующим образом:

B = ( А1 ∩ А2 ∩ А3 ) ( А1 ∩ А2 ∩ А3 ) ( А1 ∩ А2 ∩ А3 ) .

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий имеем

Р(B) = Р( А1 ∩ А2 ∩ А3 ) + Р( А1 ∩ А2 ∩ А3 ) + Р( А1 ∩ А2 ∩ А3 ) .

Применяя теорему умножения вероятностей для независимых событий, получим

Р(B) = Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) =

=0,7 0,8 (1−0,9) +0,7 (1−0,8) 0,9 +(1−0,7) 0,8 0,9 = 0,056 +0,126 +0,216 = 0,398 .

3.Случайные события H1 , H 2 ,..., H n образуют полную группу событий, если они по-

парно несовместны и в сумме дают достоверное событие: 1)H1 H 2 ... H n = Ω;

2)Hi ∩ H j = ,i ≠ j.

любого случайного события A верна формула полной вероятности:

n

Р( А) = ∑P(Hi )P( A / Hi ) .

i=1

Доказательство. Заметим, что

А= А∩Ω = ( А∩ Н1 ) ( А∩ Н2 ) ... ( А∩ Нn ) .

Применим теорему сложения вероятностей для попарно несовместных событий и теорему умножения вероятностей:

Р( А) = Р( А∩ Н1 ) + Р( А∩ Н2 ) +... + Р( А∩ Нn ) =

n

=Р(Н1 )Р( А/ Н1 ) + Р(Н2 )Р( А/ Н2 ) +... + Р(Нn )Р( А/ Нn ) = ∑P(Hi )P( A / Hi ) .

i=1

Теорема доказана.

События H1 , H 2 ,..., H n называют гипотезами, а их вероятности – априорными (доо-

пытными) вероятностями. Сумма вероятностей гипотез всегда равна единице.

ПримерU 4.U Среди 50 экзаменационных билетов 30 «счастливых». Студенты подходят

за билетами один за другим. У кого больше вероятность взять «счастливый» билет: у того, кто подошел первым или у того, кто подошел вторым?

Решение. Вероятность взять «счастливый» билет для первого студента равна 30 / 50 = 3/ 5 . Пусть событие A состоит в том, что второй студент взял «счастливый» билет.

15

Введем гипотезы: H1 – первый студент взял «счастливый» билет, H 2 – первый студент не взял «счастливый» билет. Введенные гипотезы образуют полную группу событий. Их вероя-

Т.е. вероятность взять «счастливый» билет для второго студента такая же, как и для первого.

4. Английский священник и математик Томас Бейес (или Байес) (1702-1761) доказал в своё время одну из основных теорем элементарной теории вероятностей.

ТеоремаU 3.U Если H1 , H 2 ,..., H n – полная группа событий и Р(Hi ) > 0,i =1,..., n , то для любого случайного события A , такого, что P( A) > 0 , верна формула Байеса:

Р(H k / А) = nP(H k )P( A / H k ) .

∑P(Hi )P( A / Hi )

i=1

Доказательство. Используя определение условной вероятности, теорему умножения и формулу полной вероятности, получим

Теорема доказана.

Значимость формулы Байеса следующая. Предположим, что произведен опыт, в результате которого наступило событие A . Формула Байеса позволяет переоценить гипотезы. Условные вероятности Р(H k / A) называют апостериорными (послеопытными) вероятно-

стями.

ПримерU 5.U Для создания университетской сборной команды по шахматам, проводятся отборочные соревнования среди студентов первых трех курсов. Первый курс выделил для соревнований 4 студента, второй – 6, третий – 5. Вероятности того, что студент первого, второго и третьего курса попадет в сборную, соответственно равны 0,9, 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. На каком курсе вероятнее всего он учится?

Решение. Пусть событие A состоит в том, что наудачу выбранный студент попал в сборную. Введем гипотезы: H1 – выбран студент первого курса, H 2 – выбран студент второ-

го курса, H3 – выбран студент третьего курса. Введенные гипотезы образуют полную группу

Переоценим гипотезы по формуле Байеса, т.е. найдем вероятности того, что выбранный студент учится на первом, втором или третьем курсе:

150

Ответ: вероятнее всего, что студент попавший в сборную учится на втором курсе.

16

Лекция 4. СХЕМАU БЕРНУЛЛИ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ U

План

1.Формула Бернулли. Наиболее вероятное число успехов.

2.Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

3.Формула Пуассона.

1.Предположим, что проводятся независимые испытания и при каждом из них может наступить два исхода – успех с вероятностью p или неудача с вероятностью q ( p + q =1 ).

Такую последовательность испытаний называют схемой Бернулли. Она названа так в честь швейцарского математика Якоба I Бернулли (1654-1705). Например, при стрельбе по цели успех – попадание, неудача – промах. Обозначим через νn – число успехов в n испытаниях.

Вероятность появления k успехов в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

P(νn = k) = Cnk pk qn−k .

Наиболее вероятное число успехов k0 в схеме Бернулли определяется из неравенства:

np −q ≤ k0 ≤ np + p .

Тогда: а) если np −q – нецелое число, то наиболее вероятное число успехов будет единственным; б) если np −q – целое, то наивероятнейших чисел будет два: k0 = np −q или

k0 = np −q +1 = np + p .

ПримерU 1.U Стрелок, попадающий в мишень с вероятностью 0,7, стреляет 5 раз. Вы-

числить вероятность того, что мишень будет поражена 3 раза. Каково наиболее вероятное число попаданий?

Решение. Имеем p = 0,7 , q =1−0,7 = 0,3 , n = 5 , k = 3. Согласно формуле Бернулли, получим

P(ν5 = 3) = C53 0,730,32 =10 0,343 0,09 = 0,3087 .

Наивероятнейшее число попаданий определим из неравенства:

5 0,7 −0,3 ≤ k0 ≤ 5 0,7 +0,7 3,2 ≤ k0 ≤ 4,2 k0 = 4 .

ПримерU 2 (парадокс де-Мере).U Французский философ, литератор, придворный кавалер и азартный игрок Шевалье де-Мере (1607-1648), современник и соотечественник математика, физика и философа Блеза Паскаля (1623-1662), считал, что вероятность получить хотя бы одну единицу при одном подбрасывании четырёх игральных костей равна вероятности получить хотя бы один раз две единицы при 24 подбрасываниях двух костей. Более того, в своих проигрышах он обвинял математиков. Равны ли эти вероятности?

Решение. Опишем рассматриваемые события: A ={выпадение хотя бы одной единицы при одном подбрасывании 4 игральных костей}, B ={хотя бы одно выпадение двух единиц при 24 подбрасываниях 2 костей}. И в случае A , и в случае B мы находимся в рамках схемы Бернулли, причём, это разные схемы Бернулли.

17

B . p ={выпадение двух единиц при одном подбрасывании 2 игральных костей}= 361 ,

Следовательно, P( A) > P(B) , т.е. вероятности не равны.

Такой ответ, по-видимому, и получил де-Мере от Паскаля. Подробно об этом и других парадоксах ТВиМС в книге Секей Г. «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике».

2. При больших значениях n и k расчёт вероятностей по формуле Бернулли представляет вычислительные трудности. Возникает необходимость в асимптотических формулах, позволяющих с достаточной степенью точности определять эти вероятности. Такие формулы в своё время были получены английским математиком Абрахамом де Муавром (1667-1754) и французским математиком, физиком и астрономом Пьером Симоном Лапласом

(1749-1827).

ЛокальнаяU теорема Муавра-Лапласа.U Для схемы Бернулли имеет место следующая формула

таблицы (см. приложение 1). Ее график изображен на рис. 1. Эта функция обладает следующими свойствами:

1)ϕ(x) – четная, т.е. ϕ(−x) =ϕ(x) ;

2)ϕ(x) ≈ 0 при x ≥ 4 .

Рис. 1. График функции Лапласа

Часто возникает необходимость знать вероятность попадания числа успехов в некоторый интервал, т.е. P(k1 ≤νn ≤ k2 ) . Тогда применяется следующая теорема.

ИнтегральнаяU теорема Муавра-Лапласа.U Вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, равна

(см. приложение 2). Ее график изображен на рис. 2. Эта функция обладает следующими свойствами:

1)Φ(x) – нечетная, т.е. Φ(−x) = −Φ(x) ;

2)Φ(x) ≈ 0,5 при x > 5 .

Рис. 2. График интегральной функции Лапласа

ПримерU 2.U Известно, что вероятность рождения мальчика равна приблизительно 0,515.

Какова вероятность того, что среди 10000 новорожденных число мальчиков будет: а) ровно 5000; б) не менее 4000 и не более 5300.

Решение. В данной схеме Бернулли n =10000 , p = 0,515 , q = 0,485 . В случае а) при-

меним локальную теорему Муавра-Лапласа при k = 5000 :

≈ = 5000 −5150 ≈ −

npq 49,98; x0 3,0012 ; 49,98

P(ν10000 = 5000) ≈ 491,98 ϕ(−3,0012) ≈ 0,000088 .

Пункт б) требует применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа, а именно:

=Φ(3,0012) −Φ(−23,0092) = 0,4987 +0,5 = 0,9987 .

Врамках схемы Бернулли часто используется следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа, которое мы приводим в виде утверждения.

УтверждениеU .U Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из кото-

рых вероятность успеха постоянна и равна p ( 0 < p <1), абсолютная величина отклонения

ПримерU 3.U Отдел технического контроля проверяет 144 детали на стандартность. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,9974 границы, в которых будет заключено число стандартных деталей среди проверенных.

19

Решение. По условию n =144, p = 0,9, q = 0,1 и

P(np −nε ≤νn ≤ np + nε) = 0,9974 .

Тогда

np −n 0,075 ≤νn ≤ np + n 0,075 118,8 ≤νn ≤140,4 118 ≤νn ≤141 .

Т.е. среди проверенных деталей стандартных не менее 118 и не более 141.

3. Если вероятность успеха p близка к 0 ( p ≤ 0,05 ) либо, при переходе к противопо-

ложному событию, близка к 1 и число независимых опытов n достаточно велико, то приме-

няют формулу Пуассона:

P(νn = k) ≈ λkk! e−λ ,

где λ = np . Эту формулу получил французский механик, физик и математик Симеон Дени

Пуассон (1781-1840). Формулу Пуассона называют ещё законом редких событий. Обычно этому закону подчиняется число появлений некоторого события, зависящего от большого числа независимых факторов, например, число частиц зарегистрированных счетчиком космических излучений, число катастроф, число вызовов поступивших на телефонную станцию.

ПримерU 4.U В некотором обществе имеется 0,1% дальтоников. Какова вероятность то-

го, что среди 5000 наугад выбранных человек не менее двух дальтоников?

Решение. В данной схеме Бернулли n = 5000, p = 0,001. Применяем свойство вероят-

ности противоположного события и формулу Пуассона:

P(ν5000 ≥ 2) =1− P(ν5000 < 2) =1− P(ν5000 = 0) − P(ν5000 =1) ≈1−e−5 −5e−5 ≈ 0,9596 .

22

Dξ = 02 14 +12 12 + 22 14 −12 = 12 .

2)Для биномиальной случайной величины Dξ = npq .

3)Для пуассоновской случайной величины Dξ = λ .

Основные свойстваU дисперсииU следующие: 1. Дисперсия постоянной величины равно нулю, т.е.

DС = 0 .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е.

D(Сξ) = С2 Dξ .

3.Если две случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме дисперсий этих случайных величин, т.е.

D(ξ +η) = Dξ + Dη .

Это свойство выполняется и для любого конечного числа независимых случайных величин.

Среднеквадратическим отклонением, или стандартным отклонением, случайной величины называют число

σξ = Dξ .

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение – неотрицательные величины. Они характеризуют средний разброс случайной величины относительно ее математического ожидания.

23

Лекция 6. СИСТЕМЫU СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН U

План

1.Закон распределения двух и более случайных величин.

2.Числовые характеристики системы дискретных случайных величин.

1.Рассмотрим две случайные величины ξ1B (B ω) и ξ2B (B ω), причем множества их значений дискретны, а именно: пусть

ξ1B (B ω) X = {х1B ,B х2B ,B …, хnB },B ξ2B (B ω) Y = {y1B ,B y2B ,B …, yBm}B .

Двумерной дискретной случайной величиной называют случайную величину ξ(ω) = = (ξ1B (B ω), ξ2B (B ω)), возможные значения которой есть пары чисел (xi , y j ), i =1, n; j =1, m. Закон

распределения двумерной дискретной случайной величины определяется указанием вероятностей каждой ее пары, т.е. заданием вероятностей

P{ξ1 (ω)= xi ,ξ2 (ω)= y j }= P(xi ,y j ).

Эти вероятности удовлетворяют следующим условиям:

1)P(xiB ,B yjB )B ≥ 0;

Совокупности значений (yjB ,B P2B (yB jB )),B (xiB ,B P1B (xB iB ))B в данном случае называют частными

(маргинальными) законами распределения;

3)∑P(xi , y j ) = 1.

i, j

Понятие системы двух дискретных случайных величин обобщается на случай любого конечного числа дискретных случайных величин ξ1B (B ω), ξ2B (B ω), …, ξnB (B ω). В данном случае нужно указать вероятности

Р{ξ1B B = хiB ,B ξ2B B = yjB ,B …, ξnB B = zkB }B = P{xiB ,B yjB ,B …, zkB }B

для всех возможных i, j, …, k. Эта вероятность обладает свойствами, аналогичными свойст-

вам 1-3.

Две случайные величины ξ1B (B ω) и ξ2B (B ω) называются независимыми, если

Р(xiB ,B yjB )B = Р{ξ1B B = хiB ,B ξ2B B = yjB }B = Р{ξ1B B = хiB }B Р{ ξ2B B = yjB }B

для любых возможных значений xiB B и yjB .B

Аналогично этому можно дать определение независимости любого конечного числа

появления любой пары (хiB ,B yjB )B может быть получена умножением соответствующих вероятностей их маргинальных законов, т.е.

Р(1,2) = 0,06 = Р1B (1)·B Р2B (2)B = 0,3·0,2;

Р(1,3) = 0,15 = Р1B (1)·B Р2B (3)B = 0,3·0,5

24

ит.д., то есть Р(хiB ,B yjB )B = P1B (xB iB )PB 2B (yB jB )B для любого хiB B и yjB .B

2.К числовые характеристикам системы дискретных случайных величин относят совместные характеристики двух случайных величин – ковариацию и коэффициент корреляции.

Ковариацией двух случайных величин называют число ].

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называют число

ρ ξ η = cov(ξ,η) ( , ) σξση .

Коэффициент корреляции отражает тесноту линейной связи двух случайных величин. Основные свойстваU коэффициента корреляцииU следующие:

1.ρ(ξ,η) = ρ(η,ξ) .

2.−1 ≤ ρ(ξ,η) ≤1 .

3.ρ(ξ,ξ) =1, ρ(ξ,−ξ) = −1.

4.Если случайные величины линейно зависят друг от друга, то ρ(ξ,η) = ±1.

5.Если случайные величины независимы, то ρ(ξ,η) = 0 .

6.Если ρ(ξ,η) ≠ 0 , то случайные величины зависимы.

ПримерU 2.U Бросают две игральные кости. Пространство элементарных исходов данного эксперимента Ω={(1,1), (1,2), …, (6,6)}. Всего имеется 36 пар (элементов). Предположим, что каждому исходу (каждой точке Ω) ставится в соответствие максимум своих компонент, т.е. ξ = ξ(a, b) = mах (а, b ). Тогда ξ – случайная величина на Ω, имеющая множество значений {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Составим вначале закон распределения этой случайной величины:

P1 = P{ξ =1}= P{(1,1)}= 361

P2 = P{ξ = 2}= P{(1,2);(2,1);(2,2)}= 363

P3 = P{ξ = 3}= P{(1,3);(2,3);(3,1);(3,2);(3,3)}= 365

P4 = P{ξ = 4}= P{(1,4);(2,4);(3,4);(4,1);(4,2);(4,3);(4,4)}= 367

25

Рассмотрим теперь случайную величину η, равную сумме компонент, т.е. η(а, b) = а + b. Таким образом, η есть случайная величина, принимающая значения 2, 3, 4, …, 12. Распределение η имеет вид:

Окончательно имеем

Dη = 54,83 − 72 = 6,83; σξ = 5,83 = 2,41.

Составим совместную функцию распределения Р( хiB ,B yjB )B случайных величин ξ и η, и за-

пишем ее в виде корреляционной таблицы:

Поясним правило вычисления совместных вероятностей. Например, Р(3,5) есть вероятность того, что максимум выпавших очков равен 3, а сумма выпавших очков равна 5, т.е.

P(3,5)= P{ξ = 3,η = 5}= 362 .

Это следует из факта, что описанному выше событию А = {максимум равен 3, а сумма выпавших очков равна 5} благоприятствуют исходы (2,3) и (3,2). Очевидно

Р(А) = Р(3,5) = Р{(2,3); (3,2)} = 2 .

36

Вычислим ковариацию между случайными величинами ξ, η и коэффициент корреляции. Для этого вначале вычислим М(ξ·η). Очевидно,

26

Лекция 7. НЕПРЕРЫВНЫЕU СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ U

План

1.Непрерывная случайная величина. Функция распределения и ее свойства.

2.Плотность распределения и ее свойства.

3.Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение непре-

рывных случайных величин.

4.Начальные и центральные моменты случайной величины.

1.Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют неко-

торый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

ПримерU 1.U На отрезок [a,b] числовой оси наугад бросают точку, причем считают, что

все положения точки «одинаково возможны». Непрерывная случайная величина ξ – координата брошенной точки.

3.Функция распределения – неубывающая функция на всей числовой оси.

4.Функция распределения непрерывна слева.

ПримерU 2.U Непрерывная случайная величина, описанная в примере 1, имеет функцию распределения

1, x > b

Эта функция распределения определяет т.н. равномерное распределение на отрезке [a,b] . График такой функции распределения изображен на рис. 1.

27

Рис. 1. График функции распределения случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [1,3] .