Литература / Олейник.Лекции по дискретной математике / вариант .doc / Глава 3 / параграф 3.17

. Определим как множество всех вершин , для каждой из которых существует -цепь такая, что . Добавим в вершину и положим . Докажем, что для полученного разреза выполняется равенство .

Покажем, что для любой дуги выполнено равенство . Будем рассуждать от противного. Предположим, найдется дуга , для которой . Пусть - начало, - конец этой дуги, , . Множество определено нами так, что можно говорить о существовании -цепи , для которой . Дополним эту цепь дугой и вершиной до -цепи . Будем иметь: (здесь учтено, что , поскольку - прямая дуга в цепи ). Но выполнение неравенства означает, что вершина . Пришли к противоречию. Таким образом, предположение было неверным и для любой дуги выполнено равенство . Следовательно, .

Аналогично показывается, что для всех дуг имеет место равенство и, следовательно, . Поскольку (в силу леммы 1) для любого разреза справедливо равенство , для построенного разреза получаем равенство .

. Это утверждение полностью совпадает с утверждением доказанной ранее леммы 2. ■

Следствие. Величина максимального потока в произвольной сети равна пропускной способности минимального разреза.

Замечание. В ходе доказательства теоремы при обосновании справедливости перехода был, по существу, предложен алгоритм нахождения минимального разреза. А именно: пусть найден максимальный поток ; находим как множество всех вершин , для каждой из которых существует -цепь такая, что ; добавляем в вершину и положим . Полученный разрез минимален.

Пример 5. Для сети из примера 1, разрез , где и , минимален.

64