![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
Литература / Олейник.Лекции по дискретной математике / вариант .doc / Глава 3 / Параграф 3.3-3
.4.doc3.3. Части графа. Операции над графами
Пусть
и
.
Отображение
,
определенное правилом:
,
называется ограничением отображения
на множество
.
Определение. Пусть
- граф и
и
.
Если подмножества
и
таковы, что концы любого ребра из
принадлежат множеству
,
то граф
называется подграфом
графа
.
В
число подграфов графа
будем включать пустой подграф и
обозначать его
.
Если
,
то подграф
называется остовным подграфом графа
.
Будем говорить, что подграф
порожден множеством
,
если множество
состоит из всех ребер графа
,
оба конца которых принадлежат множеству
.
Будем говорить, что подграф
порожден множеством
,
если множество
состоит из всех вершин графа
,
инцидентных ребрам множества
.
Пример 1.
:
,
,
,
,
,
.
1. Пусть
,
.
Тогда
,
где
,
- подграф графа
.
2. Пусть
.
Тогда
- пример остовного подграфа графа
.
3. Пусть
.
Тогда подграф, порожденный множеством
,
определен следующим:
,
где
и
,
.
4. Пусть
.
Тогда подграф, порожденный множеством
,
определен следующим:
,
где
и
,
.
Диаграммы графов
,
,
,
,
:
Операции над графами
Пусть
- произвольный неориентированный граф,
а
- его подграф. С каждой вершиной
и каждым ребром
графа
можно
связать подграфы
,
и
.
1. Подграф
получается из подграфа
удалением вершины
и всех инцидентных этой вершине ребер.
Отметим, что если
не входит в множество вершин графа
,
то
.
2. Подграф
получается из подграфа
удалением ребра
и всех инцидентных этой вершине ребер.
Если
не входит в множество ребер графа
,
то
.
3. Подграф
получается из подграфа
добавлением ребра
и двух его концевых вершин. Если
входит в множество ребер графа
,
то
.
4. Говорят, что граф
получен из графа
путем подразбиения ребра
,
если
,
,
,
,
,
где
- концы ребра
.
П
ример
2.
- граф, полученный из графа
путем подразбиения ребра
.
Пусть
и
-
подграфы графа
.
6. Пересечением графов
и
называется граф
.
7. Объединением графов
и
называется граф
.
Аналогично определяется пересечение и объединение любого конечного числа подграфов.
Определение. Пусть
,
,…,
- непустые подграфы графа
и выполнены условия:
1.
;
2.
.
Тогда семейство множеств
называется дизъюнктным разбиением
графа
.
3.4. Маршруты, цепи и циклы в графе
Определение. Маршрутом
длины
на графе
называется такая последовательность
вершин и ребер графа, в которой
.
Такой маршрут кратко называют
-
маршрутом и кратко обозначают
.
Про
-
маршрут говорят, что он соединяет
вершину
с вершиной
.
Вершины
и
называют соответственно началом и
концом маршрута.
Случай, когда длина маршрута равна нулю, не исключается; в этом случае маршрут сводится к одной вершине.
Если
,
то маршрут называется замкнутым.
Заметим, что в обыкновенном графе маршрут
полностью определяется последовательностью
своих вершин.
В произвольном маршруте любое ребро и любая вершина могут повторяться. Накладывая ограничения на число повторений вершин и ребер, приходим к следующим частным видам маршрутов.
Определение. Цепь – это маршрут без повторяющихся ребер.
Цепь, соединяющую вершину
с вершиной
,
кратко называют
-
цепью и обозначают
.
Определение. Цепь называется простой, если в ней нет повторяющихся вершин за исключением, быть может, совпадающих концевых.
Определение. Замкнутая цепь называется циклом.
Определение. Замкнутая простая цепь называется простым циклом.
Пример
1.
-
-
маршрут; его длина равна 4; данный
маршрут является
-
цепью; эта цепь незамкнутая, не простая.
Маршрут
- цикл длины 5, этот цикл не является
простым;
- простой цикл.
Лемма (о простой цепи). Если для
некоторых вершин
и
на графе
существует
-
маршрут, то существует и простая
-
цепь.
Доказательство. Рассмотрим в
графе
-маршрут
наименьшей длины. Покажем, что этот
маршрут является простой цепью. Будем
рассуждать от противного. Пусть в нашем
маршруте имеется повторяющаяся вершина
.
Тогда, заменяя часть маршрута от первого
вхождения вершины
до ее второго вхождения на одну вершину
,
мы получим более короткий
-маршрут.
Получили противоречие
■
Лемма (об инвертировании маршрута).
Если для некоторых вершин
и
на графе
существует
-
маршрут, то существует и
-
маршрут.
Данное утверждение настолько очевидно, что вряд ли нуждается в доказательстве.