Скачиваний:
70
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
211.97 Кб
Скачать

3.15. Ориентированные графы

Определение. Пусть - конечное непустое множество (назовем его множеством вершин); - конечное множество (назовем его множеством дуг); - отображение множества в (назовем его отображением инцидентности). Тройку называют ориентированным графом или, короче, орграфом.

Элементы множества называют вершинами, а элементы множества - дугами.

Пусть вершины , и дуга таковы, что . В этом случае будем также писать . Вершина называют началом дуги , а вершина - ее концом. При этом говорят, что дуга исходит (выходит) из вершины и заходит в вершину . Дуга и вершина () называются инцидентными.

Число дуг, выходящих из вершины , называется полустепенью исхода вершины и обозначается . Число дуг, заходящих в вершину , называется полустепенью захода вершины и обозначается . Число называется степенью вершины .

Понятие изолированных и висячих вершин, кратных дуг и петель вводится для орграфов так же, как и для неориентированных графов.

Лемма. Пусть - произвольный орграф. Тогда

.

Это утверждение аналогично лемме о рукопожатиях, рассмотренной нами в параграфе 3.1. для неориентированных графов; его часто называют орлеммой о рукопожатиях.

Определение. На множестве орграфов введем бинарное отношение, называемое отношением изоморфизма, которое определим следующим образом: будем говорить, что орграфы и связаны отношением изоморфизма,, если существует пара взаимно однозначных отображений и таких, что для любой дуги выполнено условие:

.

Орграфы и , связанные отношением изоморфизма, называют изоморфными и пишут .

По аналогии с понятием геометрического неориентированного графа вводится понятие геометрического орграфа, а также понятие геометрической реализации (диаграммы) орграфа. Разница состоит лишь в том, что отрезкам непрерывных кривых, изображающим дуги, придают направление.

С каждым орграфом естественно связать неориентированный граф , называемый основанием данного графа. Для получения основания необходимо каждую дугу графа заменить на такое ребро , что если , то .

Пример 1. На рисунках изображен ориентированный граф и его основание .

Орграф, основание которого есть полный граф, называется турниром.

Определение. Орграф называется связным, если связно его основание.

Определение. Путем длины на орграфе называется последовательность вершин и дуг

такая, что для любой дуги вершина является началом, а вершина - концом.

Про такой путь говорят, что он соединяет вершины с , кратко называют - путем; вершины и называют при этом соответственно началом и концом пути.

Случай, когда длина пути равна нулю, не исключается; в этом случае путь сводится к одной вершине.

Определение. Замкнутый путь без повторяющихся вершин (за исключением концевых) называется контуром.

Контур нулевой длины не рассматривают.

На множестве вершин орграфа введем бинарное отношение – отношение достижимости, полагая:

.

Несложно показать, что отношение достижимости является отношением эквивалентности

Определение. Орграф называется сильно связным или орсвязным, если любые его две вершины связаны отношением достижимости.

Очевидно, что сильно связный граф является связным; обратное утверждение в общем случае неверно.

Пример 2. Граф из примера 1 связным является, а орсвязным – нет.

Пусть - произвольный неориентированный граф. Превратим каждое его ребро в дугу, придав ребру одно из направлений. Полученный при этом орграф будем называть ориентацией графа .

Если среди ориентаций графа найдется сильно связный граф, то граф называется ориентируемым.

Пусть - произвольный орграф с m вершинами и n дугами. Пометим его дважды, т.е. упорядочим множества его вершин и дуг.

Определение. Матрицей смежности орграфа называется матрица размера , элементы которой , где - число дуг, исходящих из вершины с номером и заходящих в вершину с номером .

Определение. Матрицей инцидентности орграфа называется матрица размера , элементы которой определены следующим:

1. , если вершина с номером i – начало дуги с номером j и j-ая дуга – не петля;

2. , если вершина с номером i – конец дуги с номером j и j-ая дуга – не петля;

3. во всех остальных случаях.

Пример 3.

;

.

56

Соседние файлы в папке Глава 3