![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
Литература / Олейник.Лекции по дискретной математике / вариант .doc / Глава 3 / Параграф 3
.2.doc3.2. Изоморфизм графов
Определение. На множестве
неориентированных графов введем бинарное
отношение, называемое отношением
изоморфизма, которое определим
следующим образом: будем говорить, что
графы
и
связаны отношением изоморфизма,, если
существует пара взаимно однозначных
отображений
и
таких, что для любого ребра
выполнено условие:
.
Графы
и
,
связанные отношением изоморфизма,
называют изоморфными и пишут
.
Пример
1. На рисунке изображены три
геометрических графа.
Покажем,
что графы
и
неизоморфны. Будем рассуждать от
противного. Предположим, что эти графы
изоморфны. Тогда существует пара задающих
изоморфизм отображений
,
так что
и
.
То есть при изоморфизме образами кратных
ребер графа
должны быть кратные ребра. Но кратных
ребер в графе
нет. Следовательно, наше предположение
об изоморфизме графов
и
неверно.
Покажем, что графы
и
изоморфны. Определим отображения
следующим образом:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Надо показать, что для каждого ребра
графа
,
если
то
Вначале проверим выполнение этого
условия для ребра
графа
,
т.е. покажем, что высказывание
истинно.
Действительно, с учетом того, что
,
,
,
вместо
можем записать
,
что верно (см. рис.).
Аналогичную проверку делаем и для
остальных ребер графа
.
Утверждение 1. Изоморфизм – отношение эквивалентности на множестве неориентированных графов, т.е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Доказательство. 1. Рефлексивность имеет место, поскольку тождественное преобразование взаимно однозначно.
2. Симметричность имеет место, поскольку взаимно однозначные отображения обратимы и обратные к ним взаимно однозначны.
3. Транзитивность имеет место, поскольку композиция взаимно однозначных отображений есть взаимно однозначное отображение. ■
Замечание. В дальнейшем, если не оговорено противное, графы рассматриваются с точностью до изоморфизма, то есть объектом изучения являются не отдельные графы, а классы эквивалентности по отношению изоморфизма.
Упражнение.
Доказать, что если графы
и
изоморфны и
- пара взаимно однозначных отображений,
реализующих этот изоморфизм, то для
любой вершины
графа
выполнено:
.
Утверждение 2. Для любого графа
существует изоморфный ему геометрический
граф (и в
,
и в
)
(его называют геометрической
реализацией).
Доказательство. Вершинам графа поставим в соответствие помеченные точки плоскости или пространства; а ребрам - помеченные непрерывные кривые. Точки и кривые пометим именами соответствующих вершин и ребер графа. При этом кривые изобразим так, чтобы их концы совпадали с точками, изображающими вершины, инцидентные соответствующим ребрам графа. ■
Очевидно, что диаграмма – это геометрическая реализация графа.
Определение. Геометрический граф называется правильно реализованным, если его ребра не имеют общих точек, отличных от вершин.
Пример 2.
Рассмотрим граф
:
,
,
,
,
,
,
,
.
На
рисунке изображены две геометрические
реализации данного графа:
и
.
Граф
является правильной геометрической
реализацией графа
,
а граф
- нет.
Утверждение 3. Для любого графа
существует его правильная геометрическая
реализация в
.
Доказательство. Опишем алгоритм
построения правильной реализации любого
графа
.
Возьмем
в
произвольную прямую
.
На прямой отметим столько точек,
сколько вершин графа. Точки пометим
теми же буквами, что и вершины графа.
Через прямую
проведем столько различных плоскостей,
сколько ребер графа (каждому ребру будет
соответствовать своя плоскость). Если
ребро
с концами
и
не является петлей, то в соответствующей
ему плоскости на отрезке
как на диаметре построим полуокружность,
которую пометим так же как и ребро:
.
Если ребро
- петля и
- инцидентная ему вершина, то в
соответствующей данному ребру плоскости
изобразим единичную окружность,
касательную к
в точке
,
и пометим ее
.
Очевидно, построенный таким образом
геометрический граф есть правильная
геометрическая реализация графа
.
■
Заметим, что не всякий граф имеет
правильную геометрическую реализацию
в
.
Определение. Если существует правильная геометрическая реализация графа на плоскости, то граф называется планарным.