3.5. Связность, компоненты связности графа

На множестве вершин графа введем бинарное отношение – отношение связности (~), полагая

.

Утверждение 1. Отношение связности является отношением эквивалентности.

Доказательство. а) Рефлексивность отношения связности имеет место, поскольку каждая вершина – маршрут длины 0.

б) Симметричность отношения связности следует из леммы об инвертировании маршрута.

в) Покажем, что отношение связности транзитивно, т.е. что

.

Пусть : , : . Тогда в качестве -маршрута можно взять

. ■

Про построенный таким образом маршрут говорят, что он получен в результате склейки маршрутов и .

Пусть - произвольная вершина графа . Обозначим через класс эквивалентности вершины по отношению связности, т.е. .

Классы эквивалентности по отношению связности обладают рядом свойств, присущих всем классам эквивалентности (см. теорему о свойствах классов эквивалентности, доказанную во введении к главы 3), а именно: 1. ;

2. ;

3. .

Определение. Компонентой связности вершины графа называется подграф , порожденный множеством - классом эквивалентности вершины по отношению связности.

Утверждение 2. Компоненты связности графа обладают следующими свойствами:

1. .

2. .

3. .

Следствие. Совокупность всех различных компонент связности графа является дизъюнктным разбиением графа .

Доказательство последнего утверждения и следствия из него рекомендуем провести самостоятельно.

Определение. Число различных компонент связности графа называется числом связности и обозначается .

Определение. Если , то граф называется связным.

Пример 1. Рассмотрим граф , с множеством вершин , множеством ребер и отображением инцидентности: , , , . Выделим классы эквивалентности вершин графа: , , . Мы видим, что различных классов эквивалентности три; соответственно имеем три компоненты связности:

1. , где , , , , ;

2. , где , ;

3. , где , , .

3.6. Мосты графа

Определение. Ребро графа называется мостом, если .

Пример 1.

Лемма. Если граф связный и его ребро - мост, то .

Доказательство. Предположим противное, т.е., что существует граф и мост в нем, такие, что и . Последнее означает, что в графе найдутся вершины , , , лежащие в разных компонентах связности. Поскольку исходный граф связен, то на нем существуют и - маршруты, и, следовательно, согласно лемме о простой цепи, существуют простые цепи и .

В графе вершины , и лежат в разных компонентах связности, следовательно, в нем нет маршрутов, соединяющих с и с , а это означает, что цепи и разорвались при удалении ребра . Последнее указывает на то, что эти цепи ребро содержали.

Возможные трассы цепей таковы:

1. ; ;

2. ; ;

Отметим, что куски цепей, спрятанные за , не содержат ребра , и, значит, не пострадают при его удалении.

В первом случае, склеив фрагменты и цепей и , получим - маршрут на графе . Это противоречит тому, что вершины и лежат в разных компонентах связности этого графа.

Во втором случае, склеив инвертированный фрагмент цепи и фрагмент цепи , получим - маршрут на графе . А это противоречит тому, что вершины и лежат в разных компонентах связности этого графа.

Таким образом, наше предположение о числе связности графа было неверным и . ■

Теорема (о мостах). Если ребро - мост графа , то .

Доказательство. Так как каждое ребро содержится ровно в одной компоненте связности графа , то при удалении моста точно одна компонента связности графа согласно лемме распадется на две компоненты связности графа . Следовательно, при удалении моста число компонент связности графа увеличится ровно на единицу. ■

Утверждение. Ребро графа является мостом тогда и только тогда, когда оно не содержится ни в одном цикле.

Доказательство. Необходимость. Пусть на графе ребро - мост. Покажем, что оно не содержится ни в одном цикле. Будем рассуждать от противного. Предположим, что найдется цикл, в котором содержится мост : . Пусть и - произвольная пара связных вершин графа . Тогда на этом графе найдется простая - цепь. Есть две возможности: 1) эта цепь не содержит ребра ; 2) эта цепь ребро содержит. В первом случае, при удалении e цепь не нарушается, так что вершины и остаются связными. Во втором случае, при удалении ребра цепь нарушается, но есть возможность заменить участок цепи (или ) на фрагмент (или инвертированный фрагмент) рассматриваемого цикла, в результате чего получится новый -маршрут, т.е и в этом случае при удалении ребра вершины и останутся связными. Следовательно, при удалении ребра число компонент связности графа не изменится, а это противоречит тому, что - мост.

Достаточность. Пусть ребро не содержится ни в одном цикле. Надо показать, что оно является мостом. Будем рассуждать от противного. Предположим, что - не мост. Тогда компонента связности графа, содержащая ребро , после удалении этого ребра останется связным подграфом, и, значит, в графе найдется - цепь. Склеив эту цепь с ребром , получим в графе цикл, содержащий . Таким образом, пришли к противоречию с условием; следовательно, предположение было неверным и ребро - мост. ■