3.7. Цикломатическое число графа

Пусть - произвольный граф; - число его вершин, - число ребер, - число связности.

Определение. Поставим графу в соответствие число , называемое цикломатическим числом графа.

Теорема (о знаке цикломатического числа). Цикломатическое число любого графа неотрицательно, т.е.

. (*)

Доказательство. Доказательство проведем, используя принцип математической индукции, взяв в качестве параметра число ребер графа.

Базис индукции. Пусть . Тогда и .

Индуктивный переход. Предположим, что неравенство выполнено для любого графа, у которого число ребер меньше или равно . Докажем, что тогда оно справедливо и для графа , у которого .

Удалим произвольное ребро графа , то есть перейдем к графу . Число ребер графа равно , следовательно, по предположению индукции, для этого графа выполнено условие , т.е. .

Возможны два случая:

1. удаленное ребро - не мост;

2. удаленное ребро - мост.

В первом случае . Следовательно, или .

Во втором случае по теореме о мостах . Следовательно, или .

В обоих случаях показано, что цикломатическое число графа неотрицательно. Таким образом, справедливость индуктивного перехода обоснована. ■

Следствие. Граф , у которого , не является связным.

Доказательство. Предположим противное, т.е., что существует связный граф , у которого . С другой стороны по теореме о знаке цикломатического числа имеем: . Таким образом, с одной стороны , а с другой . Пришли к противоречию. ■

Утверждение. Пусть , , …, - все компоненты связности графа . Тогда .

Доказательство. , , …, - дизъюнктное разбиение графа , поэтому , . Поскольку каждая компонента связности – связный граф, то и . Суммируя по i, получим:

. ■

На множестве простых циклов графа введем бинарное отношение, которое назовем отношением равенства и определим следующим условием: будем считать, что два простых цикла равны, если множества их ребер совпадают.

Это бинарное отношение, будучи отношением эквивалентности, разбивает множество циклов данного графа на классы эквивалентности. Далее, говоря о простых циклах графа, мы будем иметь в виду, если не оговорено противное, именно эти классы эквивалентности, а не отдельных их представителей. Это соглашение позволяет задавать простой цикл множеством его ребер.

Замечание. На совокупности всех подмножеств множества ребер графа введем две операции:

а) операцию сложения по модулю 2 или симметрической разности

;

б) операцию умножения на 0 и 1: , .

Операция допускает естественное обобщение на любое конечное число множеств (сделайте его самостоятельно).

Линейной комбинацией подмножеств ребер назовем множество , где .

Говорят, что система зависима, если найдется набор чисел , не все из которых равны 0, такой что . В противном случае систему множеств называют независимой.

Пусть - некоторые простые циклы графа , а - множества ребер этих простых циклов. Система циклов называется фундаментальной, если система множеств независима и множество ребер любого простого цикла графа можно представить как линейную комбинацию множеств .

Утверждение 2. Число циклов в любой фундаментальной системе циклов графа одинаково и равно цикломатическому числу графа .