
3.7. Цикломатическое число графа
Пусть
- произвольный граф;
- число его вершин,
- число ребер,
- число связности.
Определение. Поставим графу
в соответствие число
,
называемое цикломатическим
числом графа.
Теорема (о знаке цикломатического числа). Цикломатическое число любого графа неотрицательно, т.е.
.
(*)
Доказательство. Доказательство проведем, используя принцип математической индукции, взяв в качестве параметра число ребер графа.
Базис индукции.
Пусть
.
Тогда
и
.
Индуктивный переход.
Предположим, что неравенство
выполнено для любого графа, у которого
число ребер меньше или равно
.
Докажем, что тогда оно справедливо и
для графа
,
у которого
.
Удалим произвольное ребро графа
,
то есть перейдем к графу
.
Число ребер графа
равно
,
следовательно, по предположению индукции,
для этого графа выполнено условие
,
т.е.
.
Возможны два случая:
1. удаленное ребро - не мост;
2. удаленное ребро - мост.
В первом случае
.
Следовательно,
или
.
Во втором случае по теореме о мостах
.
Следовательно,
или
.
В обоих случаях показано, что цикломатическое
число графа
неотрицательно. Таким образом,
справедливость индуктивного перехода
обоснована. ■
Следствие. Граф
,
у которого
,
не является связным.
Доказательство. Предположим
противное, т.е., что существует связный
граф
,
у которого
.
С другой стороны по теореме о знаке
цикломатического числа имеем:
.
Таким образом, с одной стороны
,
а с другой
.
Пришли к противоречию.
■
Утверждение. Пусть
,
,
…,
- все компоненты связности графа
.
Тогда
.
Доказательство.
,
,
…,
- дизъюнктное разбиение графа
,
поэтому
,
.
Поскольку каждая компонента связности
–
связный граф, то
и
.
Суммируя по i,
получим:
.
■
На множестве простых циклов графа
введем бинарное отношение, которое
назовем отношением равенства и
определим следующим условием: будем
считать, что два простых цикла равны,
если множества их ребер совпадают.
Это бинарное отношение, будучи отношением
эквивалентности, разбивает множество
циклов данного графа на классы
эквивалентности. Далее, говоря о простых
циклах графа, мы будем иметь в виду, если
не оговорено противное, именно эти
классы эквивалентности, а не отдельных
их представителей. Это
соглашение позволяет задавать простой
цикл
множеством его ребер.
Замечание.
На совокупности всех подмножеств
множества ребер графа
введем две операции:
а) операцию
сложения по модулю 2 или симметрической
разности
;
б) операцию умножения на 0 и 1:
,
.
Операция
допускает естественное обобщение на
любое конечное число множеств (сделайте
его самостоятельно).
Линейной комбинацией подмножеств
ребер
назовем множество
,
где
.
Говорят, что система
зависима, если найдется набор чисел
,
не все из которых равны 0, такой что
.
В противном случае систему множеств
называют независимой.
Пусть
- некоторые простые циклы графа
,
а
- множества ребер этих простых циклов.
Система циклов
называется фундаментальной,
если система множеств
независима и множество ребер любого
простого цикла графа
можно представить как линейную комбинацию
множеств
.
Утверждение 2. Число циклов в любой
фундаментальной системе циклов графа
одинаково и равно цикломатическому
числу графа
.