Литература / Олейник.Лекции по дискретной математике / вариант .doc / Глава 3 / Введение в гл

Глава 3. Элементы теории графов

Введение. Бинарные отношения на множестве

Определение. Бинарным отношением на множестве называется подмножество .

Для обозначения бинарных отношений, как правило, будем использовать строчные буквы греческого алфавита: и т.п.

Пусть - некоторое бинарное отношение на множестве . Если , то говорят, что и связаны бинарным отношением и пишут .

Пример 1. Пусть . Тогда

.

Рассмотрим на множестве бинарное отношение , определенное тавтологией: . Зададим это отношение перечислением элементов: .

Определение. Бинарное отношение на множестве называется рефлексивным, если для выполняется .

Определение. Бинарное отношение на множестве называется симметричным, если для из следует .

Определение. Бинарное отношение на множестве называется антисимметричным, если для из и следует .

Определение. Бинарное отношение на множестве называется транзитивным, если для из и следует .

Пример 2. Рассмотрим на множестве действительных чисел бинарные отношения , определенные тавтологиями:

, ,

, .

Тогда

	Виды бинарных отношений
	рефлексивн.	симметричн.	антисимметр.	транзитивн.
	+	–	+	+
	+	+	–	+
	–	–	+	+
	+	–	–	+
	+	+	+	+

Определение. Бинарное отношение называется отношением эквивалентности если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Например, отношениями эквивалентности являются рассмотренные выше отношения и .

Определение. Пусть - некоторое бинарное отношение на множестве , . Классом эквивалентности, порожденным элементом , называется множество, обозначаемое и определяемое следующим:

.

Ниже приводится утверждение, к которому нам неоднократно придется обращаться при изложении курса дискретной математики.

Теорема (о свойствах классов эквивалентности). Пусть - отношение эквивалентности на множестве . Тогда

1. ;

2. ;

3. .

Доказательство. 1. - отношение эквивалентности, следовательно, является рефлексивным, т.е. выполняется . Но тогда и, значит, .

2. Пусть , т.е. . Имеем:

.

Возьмем любой элемент множества , тогда . Так как и , то, в силу транзитивности , , т.е. . Таким образом, .

Аналогично получим, . Следовательно,

3. Доказательство этого утверждения рекомендуем провести самостоятельно. ■

Следствие. Всякое отношение эквивалентности, заданное на множестве , определяет разбиение множества на классы эквивалентности этого отношения.

Определение. Бинарное отношение называется отношением порядка если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Например, отношением порядка является рассмотренное выше отношение .

Будем говорить, что отношение порядка является отношением линейного порядка, если для либо , либо . В противном случае говорят, что - отношение частичного порядка.

Примеры. 3. Рассмотренное выше отношение - отношение линейного порядка.

4. Пусть - конечное множество. Определим на булеане бинарное отношение : (здесь , ).

Если , то – отношение линейного порядка.

Если , то – отношение частичного порядка. Действительно, пусть , тогда . Имеем: например, , но не связано с и не связано с .

33