3.13. Раскраска графа

Пусть - произвольный граф и- некоторое множество, элементы которого будем называтькрасками.

Определение.Раскраской графа в цветов называется отображение такое, что для любых двух смежных вершин и выполняется .

Будем говорить, что вершина имеет цвет .

Отметим, что здесь не предполагается, что отображает на все множество красок.

Граф называется - раскрашиваемым, если он может быть раскрашен в цветов. Если при этом его нельзя раскрасить в цвет, то он называется - хроматическим. Число в таком случае называютхроматическим числом графаи обозначают.

Пример 1. Рассмотрим граф : ,,,. Поскольку в графе есть смежные вершины, то раскрасить его в один цвет нельзя. Пример раскраски этого графа в два цвета: вершину красим в красный цвет, а вершины и - в желтый. Следовательно, хроматическое число графа.

Заметим, что хроматическое число любогонулевогографа, т.е. графа, множество ребер которого пусто, равно 1.

Граф, хроматическое число которого равно двум, называетсябихроматическим.

Утверждение 1. Изоморфные графы имеют одинаковые хроматические числа.

Доказательство этого утверждения рекомендуем провести самостоятельно.

Теорема (критерий бихроматичности). Пусть - ненулевой обыкновенный граф. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. Граф - бихроматичен.

2. Граф не имеет циклов нечетной длины.

3. Граф двудольный.

Доказательство.Доказательство проведем по следующей схеме:.

. Будем рассуждать от противного. Предположим, что графбихроматичен и на нем имеется цикл нечетной длины:. Зафиксируем некоторую раскраску графа в два цвета. Так как концы каждого ребра графа имеют разный цвет, то вершины цикла, совпадающие с членами последовательностис нечетными номерами, окрашены в один цвет. Следовательно, вершиныи, а, значит,иокрашены одинаково, что невозможно, поскольку эти вершины смежные. Пришли к противоречию, следовательно, наше предположение было неверным.

. Вначале докажем справедливость этого утверждения для связного графа.

Пусть - ненулевой обыкновенный связный граф, не имеющий циклов нечетной длины. Зафиксируем некоторую вершинуграфа и разобьем множествовершин графана два непересекающихся подмножестваи: в множествособерем все вершины , для которых длина любой кратчайшей-цепи четна, а в- вершины, для которых эта длина нечетна. Вершинупоместим в. Для удобства подмножестваибудем далее называть долями.

Покажем, что концы любого ребра графа лежат в разных долях. Будем рассуждать от противного: предположим, найдется ребро, концыикоторого лежат одновременно вили. Тогда,(поскольку вершины смежные с, лежат с ней в разных долях). Пусть- кратчайшая-цепь и- кратчайшая-цепь. Пусть- последняя вершина цепи, принадлежащая цепи:,. Вершиныилежат в одной доле, следовательно, длины цепейиимеют одинаковую четность. А поскольку цепии- кратчайшие, то их фрагментыиимеют одинаковую длину. Делаем вывод: длины фрагментовитакже имеют одинаковую четность. Заметим, что по построению цепиине имеют одинаковых ребер. Кроме того, они не содержат ребра(реброне может быть внутренним ребром ни одной из этих цепей, так как в этом случае цепиине могут быть кратчайшими; реброне может быть последним ребром ни одной из цепей, так как в этом случае длины цепей отличались бы на единицу и, значит, не могли бы иметь одну четность). Поэтому, склеив инвертированный фрагмент, фрагменти цепь, получаем цикл нечетной длины, что противоречит условию.

Таким образом, мы разбили множество вершин графа на два непустых, непересекающихся подмножества (доли) так, что концы любого ребра принадлежат разным долям. Следовательно, графдвудольный.

Пусть теперь граф - ненулевой обыкновенный несвязный граф, не имеющий циклов нечетной длины. Так как граф ненулевой, то среди его компонент связности есть неодноэлементные, причем, как показано выше, каждая неодноэлементная компонента – двудольный граф. Разобьем множество вершин графана два подмножества. В одно подмножество включим вершины одной из долей каждой двудольной компоненты связности, в другое – все остальные вершины графа (включая вершины одноэлементных компонент связности). Тем самым, множество вершин графаокажется разбитым на два непустых, непересекающихся подмножества (доли) так, что концы любого ребра принадлежат разным долям. Следовательно, графдвудольный.

. Пусть- ненулевой, двудольный граф. Покрасим вершины одной доли одним цветом, а вершины другой – другим. Получим раскраску графа в два цвета. Поскольку граф ненулевой, т.е. имеет хотя бы одно ребро, то он не может быть раскрашен в один цвет. Таким образом, граф- бихроматичен. ■

Следствие. Любое неодноэлементное дерево является бихроматичным графом.

Утверждение 2. Если наибольшая из степеней вершин обыкновенного графа равна , то .

Доказательство.Доказательство проведем по индукции, взяв в качестве параметра число вершин графа.

Базис индукции.Пусть. Тогда,, т.е. неравенствовыполнено.

Индуктивный переход.Предположим, что неравенство выполнено для любого графа с числом вершин меньшим либо равным. Покажем, что оно остается в силе для графа, число вершин которого равно. Удалим из графапроизвольную вершину. Тогда по предположению индукции. Заметим, что, следовательно,. Значит существуетраскраска графа. Но, значит хотя бы один цвет в-раскраске графасвободен для. Следовательно, можно дополнить-раскраску графадо-раскраски графа, приписав вершинелюбой цвет, не использованный для раскраски смежных с ней вершин.■