3.12. Эйлеровы графы

Определение.Цикл на графе называется эйлеровым циклом, если он содержит все вершины и все ребра графа.

Определение.Граф, на котором имеется эйлеров цикл, называется эйлеровым графом.

Пример 1.Рассмотрим граф: ,,,,. Циклэйлеров. Следовательно,- эйлеров граф.

Лемма. Если степень каждой вершины связного графа четна, то он содержит хотя бы один цикл.

Доказательство.Так как степени вершин графачетные, то. Имеем:

.

Так что , и, значит,. Следовательно, согласно основной теореме о деревьях графне может быть деревом, а, значит, на графе имеется хотя бы один цикл.■

Теорема (критерий эйлеровости графа). Ненулевой граф является эйлеровым в том и только в том случае, если он связен и каждая его вершина имеет четную степень.

Доказательство.1. Пусть- ненулевой эйлеровый граф. Докажем, что он связен и каждая его вершина имеет четную степень.

Раз граф эйлеров, то на нем имеется цикл, проходящий через все вершины графа. Следовательно, каждую пару вершин графа можно соединить маршрутом - фрагментом эйлерова цикла. А это означает, что графсвязный.

Пусть - эйлеров цикл на графеи- произвольная вершина графа.

Поскольку цикл - эйлеров, то вершинавстречается в циклепо меньшей мере один раз. Пусть - номера членов последовательности , совпадающих с вершиной, расположенные в порядке возрастания (). Возможны случаи:

а) вершина не совпадает с началом и концом цикла;

б) вершина совпадает с началом и концом цикла.

Двигаясь по эйлерову циклу, будем подсчитывать число ребер, инцидентных вершине . В первом случае это будут ребра, совпадающие с теми членами последовательности , которые имеют номера , , , ,…, , . Общее число этих членов и есть степень вершины, т.е.. Во втором случае ребра, инцидентные вершине, совпадают с членами последовательности , имеющими номера , ,,…, ,, . Следовательно,. Как в первом, так и во втором случае степень вершинычетна.

2. Докажем, что если каждая вершина связного графа имеет четную степень, то граф эйлеров. Доказательство проведем по индукции, взяв в качестве параметра число ребер графа.

Базис индукции.Пусть, т.е. граф имеет одно ребро (обозначим его). Концы этого ребра имеют четную степень только если это ребро – петля и совпадающие концы этого ребра – единственная вершина графа (обозначим ее). Следовательно, на графе имеется эйлеров цикл:, так что граф – эйлеров.

Индуктивный переход.Предположим, что утверждение верно для любого связного графа с числом ребер меньшим либо равным. Покажем, что оно остается в силе для графа, число ребер которого равно. Согласно лемме на графеимеется цикл. Обозначим его. Если этот цикл проходит через все ребра графа, то он и есть искомый эйлеров цикл и индуктивный переход доказан. В противном случае рассмотрим граф, полученный изудалением ребер этого цикла (обозначим его). Каждая компонента связности графа- либо изолированная вершина, либо связный ненулевой граф с вершинами четных степеней и числом ребер меньшим, либо равным. Значит, по предположению индукции на каждой ненулевой компоненте связности существует эйлеров цикл. Обозначим эти циклы. Поскольку исходный граф связен, то циклимеет хотя бы по одной общей вершине с компонентами связности графа. Выберем на каждой ненулевой компоненте связности графа по одной вершине, общей с циклом, и обозначим эти вершины(). Эйлеров цикл на графепостроим следующим образом: отправимся по циклуиз его начала и будем двигаться по нему до тех пор, пока не встретим вершину из множества, пусть это будет вершина; прервем движение по циклуи, начав с вершины, обойдем эйлеров цикл; после чего продолжим движение по циклу, до тех пор, пока не встретим вершину из множества, пусть это будет вершина; опять прервем движение по циклуи пройдем по эйлерову циклуи так далее, до тех пор, пока не обойдем всего цикла. Склеив соответствующие фрагменты циклови, получим искомый эйлеров цикл. ■

Пример 2.Свое название эйлеровы графы получили в честь Л. Эйлера, который первым рассмотрел такие графы в 1736 году в своей знаменитой работе о кенигсбергских мостах. Задача эта состояла в следующем. На реке Прегель в Кенигсберге было два острова, соединенных между собой и с берегами семью мостами, как показано на рисунке 1. Спрашивается, можно ли, начиная с некоторого места суши, обойти все мосты по одному разу и вернуться назад?

Эйлер предложил рассмотреть граф, изображенный на рисунке 2. В итоге решение задачи о кенигсбергских мостах свелось к поиску эйлерового цикла на графе. Согласно доказанной теореме такого цикла на графе нет, поскольку степени вершин этого графа нечетные.