Курс лекций по высшей математике. 2 часть

следующим образом:

x

Re z, y

Im z .

Если x=0, то число z называют чисто мнимым; если y 0 , то полу-

чается

вещественное

число

z

x

0i

x . Два

комплексных

числа

z x

iy и z

x

iy

называются сопряженными.

Два комплексных числа

z1

x1

iy1

и z2

x2

iy2

равны друг дру-

гу, если x1

x2

и

y1

y2 ; комплексное число z считается равным нулю,

если x

y

0 .

y

Всякое

комплексное

число

можно изобразить на плоскости,

т.к. каждому z соответствует упо-

рядоченная

пара

вещественных

y

M x, y

чисел x,y

:

Число z=0 ставится в соот-

ветствие

началу

координатной

плоскости. Такую плоскость мы в

дальнейшем будем называть ком-

0

x

x

плексной плоскостью, ось абс-

цисс–действительной, а ось орди-

нат–мнимой осью комплексной плоскости.

Число

x2

y2

называется модулем комплексного числа z

x iy

и обозначается

z

или r:r

x2

y2 .

Отметим, что

z

x iy

называют алгебраической формой записи

комплексного числа.

пользовавшись

связью

декартовых

и

полярных

координат:

x

r cos , y

r sin

, получим тригонометрическую форму

записи

комплексного числа

z r sin

i sin

(1)

где

r

x2

y2

, φ–аргумент комплексного числа, который нахо-

дят

из

формул

cos

x

,

sin

y

или

в

силу того,

что tg

y

,

r

r

x

ло z

1

i 3 .

Решение.

Найдем модуль

и

аргумент

комплексного

числа:

2 .

Угол φ найдем из соотношений

cos

x

,

sin

y

.

z

1

3

r

r

1

3

Тогда получим cos

, sin

. Очевидно точка

z

1

i

3 на-

2

2

ходится во второй четверти:

120o

2

3

π .

Подставляя

в

формулу

(1)

найденные r

и

φ,

имеем

z

2 cos

2

i sin

2

.

3

3

Замечание. Аргумент комплексного числа определен неоднознач-

но, а с точностью до слагаемого, кратного 2π. Тогда через

arg z обо-

значают

значение

аргумента,

заключенное

в

пределах

o

arg z

2π

o . Тогда Argz

arg z

2kπ .

Используя известную формулу Эйлера

ei

cos

i sin

,

получа-

ем показательную форму записи комплексного числа. Имеем

z

r cos

i sin

rei

1.Сумма двух комплексных чисел

z1

x1

iy1 и

z2

x2

iy2

опре-

деляется согласно формуле z1

z2

x1

x2

i y1

y2 .

2.Операция вычитания комплексных чисел определяется как опе-

рация,

обратная

сложению.

Комплексное

число

z

z1

z2 ,

если

z2

z

z1 ,

является

разностью

комплексных

чисел z1 и

z2.

Тогда

z

x1

x2

i y1

y2 .

3.Произведение двух комплексных чисел z1

x1

iy1

и z2

x2

iy2

определяется по формуле

z1z2

x1

iy1

x2

iy2

x1x2

iy1x2

ix1 y2

i 2 y y

2

x x

2

y y

2

i x y

2

x

2

y

.В частности z

z

x

iy

x

iy

1

1

1

1

1

= x 2

y 2 . Можно получить формулы умножения комплексных чисел в

показательной

и

тригонометрической

формах.

Имеем

z z

2

r ei

1

r ei 2

r r ei

1

2

r r

cos

1

2

i sin

1

2

.

1

1

2

1 2

1 2

4.Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная

умножению, то есть число

z

z1

называется частным от деления z1 на

z2

z2, если z1

z2

z . Тогда

z1

x1

iy1

x1

iy1 x2

iy2

z2

x2

iy2

x2

iy2 x2

iy2

x x

2

iy x

2

ix y

2

i 2 y y

2

x x

2

y y

2

i x y

2

x

y

1

1

1

1

1

1

1

2

1

x2 2

y2 2

x2 2

y2 2

Окончательно

z1

x1x2

y1 y2

i

x1 y2

x2 y1

.

z2

x

2

y

2

x

2

y

2

2

2

2

2

B показательной и тригонометрической формах:

z1

r1ei

1

r1

ei

1

2

r1

cos

i sin

.

r ei

1

2

1

2

z

2

r

r

2

2

2

2

5.Возведение в целую положительную степень комплексного числа

лучше производить, если число записано в показательной или тригоно-

метрической формах.

Действительно,

если

z

rei

, то

zn

rei

n

r nein

r n

cos n

i sin n .

Формула z n

r n cos n

i sin n

называется формулой Муавра.

6.Извлечение корня n–й степени из комплексного числа определя-

ется как операция, обратная возведению в степень n,

n

1,2,3,... то есть

комплексное число

z

n z

называется корнем n–й степени из ком-

1

плексного

числа z,

если

z

z n . Из

этого определения следует, что

1

r r n , a

r

n r .

n

1

, a

1

n , что следует из формулы Муавра,

1

1

записанной для числа z :z r n cos n

1

i sinn

1

.

1

1

Как было отмечено выше, аргумент комплексного числа определен

Argz

2πk , а аргумент числа z1, зависящий от k, обозначим φk и бу-

дем вычислять по формуле

2πk

. Ясно, что существует n ком-

k

n

n

2kπ

2kπ

n z

n r

cos

i sin

,

k

0, 1, ..., n 1,

а

в

показа-

n

n

i

2kπ

n

n

тельной–по формуле

z

re

n

.

Пример 2. Возвести число z

3

i

в пятую степень.

Решение. Получим тригонометрическую форму записи числа z.

3

1

.

π

r

3 1

2, cos

, sin

Отсюда

,

а

2

2

6

z

2 cos

π

i sin

π

. Тогда

по

формуле

Муавра

получим:

6

6

z5

2 cos

5

i sin

5

2 cos

5

i sin

5

6

6

6

6

π

π

3

1

3

1

2

cos

i sin

2

i

2

i

3

i

z .

6

6

2

2

2

2

Пример 3. Найти все значения

1

i

3 .