![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Курс лекций по высшей математике. 2 часть
.pdf![](/html/2706/10/html_9JoN0sKkP7.GCRD/htmlconvd-kTe7Eq11x1.jpg)
Систему уравнений для определения A, B и C можно получить либо приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в последнем тождестве, либо следующим образом. Положим в (11) x 2 . Тогда 1 A 12 . Отсюда A 1/12 . Подставляя A в уравнения, которые полу-
чаются из (12), если приравнять коэффициенты при x 2 и x0 получим:
0 A B |
0 |
1/12 |
B |
|
B 1/12 |
||||
1 4 A 2C |
|
|
1 4 /12 2C |
|
C 1/ 3 |
||||
Так что имеем окончательно: |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
1 |
|
1/12x |
1/ 3 |
. |
|
|
x3 |
8 12 x 2 |
|
x2 |
|
|
|||
|
|
2x 4 |
ГЛАВА 2
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§1.Первообрàзная функция. Неопределенный интеграл
Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Многочисленные вопросы науки и техники приводят к постановке обратной зада-
чи: для данной функции |
f x |
найти такую функцию F x , производная |
||||
которой равнялась бы f |
x . |
|
|
|
|
|
Функция F x |
называется первообрàзной для функции |
f |
x |
на |
||
данном промежутке, |
если для всех x из этого промежутка F |
x |
f |
x |
||
или, что то же самое, |
dF x |
f x dx. |
|
|
|
Естественно, возникает вопрос: для всякой ли функции существует первообразная? Ответ на него для достаточно широкого класса функций дает следующая теорема.
Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную.
13
![](/html/2706/10/html_9JoN0sKkP7.GCRD/htmlconvd-kTe7Eq12x1.jpg)
Очевидно, первообразная для данной функции определяется не од-
нозначно. Так, для функции |
f x |
cos x первообразной является не |
||||||||||||||||
только sin x, но и sin x |
|
3, и sin x |
|
|
, и вообще sin x |
С. |
|
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||
Теорема. Если функция F x |
является первообразной для функции |
|||||||||||||||||
f x |
на отрезке |
a;b , |
то всякая другая первообразная для |
f x |
отли- |
|||||||||||||
чается от F x |
|
на постоянное слагаемое, то есть может быть пред- |
||||||||||||||||
ставлена в виде F x |
С, |
где C–постоянная. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Доказательство. По определению первообразной |
F x |
f x , то- |
||||||||||||||||
гда |
F x |
C |
|
F |
x |
C |
f x , |
то есть при любом C=const функция |
||||||||||
F x |
С также является первообразной для f x . Покажем, |
что перво- |
||||||||||||||||
образных другого вида нет. Если |
Ф x –любая другая первообразная |
|||||||||||||||||
функции |
|
|
f |
x , |
|
|
то |
|
|
Φ x |
f |
x , |
|
тогда |
||||
Ф x |
F x |
Ф x |
F |
x |
f x |
|
f x |
0 для любого x |
a;b , |
а это |
||||||||
значит, что Ф x |
F x |
|
const, то есть Ф x |
F x |
С. |
|
|
|||||||||||
Из теоремы следует, что выражение |
F x |
С, |
где F x –некоторая |
|||||||||||||||
первообразная функции |
f |
x , |
а C–произвольная постоянная, охватыва- |
|||||||||||||||
ет совокупность всех первообразных функции |
f x . |
|
|
|
|
|||||||||||||
Если |
F x –одна из первообразных функции |
f |
x , то выражение |
|||||||||||||||
F x |
С, |
где C–произвольная постоянная, называется неопределенным |
||||||||||||||||
интегралом от функции |
f |
x |
обозначается |
f x dx. |
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, |
|
f |
x dx |
F x |
C, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
f x |
называется подынтегральной функцией, |
f |
x dx – подынте- |
||||||||||||||
гральным |
выражением, |
x–переменной |
интегрирования, символ |
– |
знаком неопределенного интеграла.
Процесс нахождения неопределенного интеграла называется ин-
тегрированием функции.
Геометрически неопределенный интеграл y F x С представляет собой семейство «параллельных» кривых.
14
![](/html/2706/10/html_9JoN0sKkP7.GCRD/htmlconvd-kTe7Eq13x1.jpg)
1. Свойства неопределенного интеграла
1. f x dx f x ; d
f x dx f x dx –производная неопределен-
ного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал– подынтегральному выражению.
Доказательство. Из определения первообразной:
|
f x dx |
F x C |
F x C f x ; |
||
d |
f |
x dx |
f |
x dx dx |
f x dx. |
2. |
d |
x |
x |
C – неопределенный интеграл от дифференциала |
некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.
Доказательство. Из определения первообразной следует, что функ-
ция |
x |
является первообразной для функции d |
x , следовательно, |
||||
x |
C является неопределенным интегралом от d |
x . |
|||||
Например, |
dx |
x C, |
d cos x |
cos x C. |
|
||
3. |
f |
x |
g x dx |
f |
x dx |
g x dx –неопределенный интеграл |
от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций.
Доказательство. Достаточно показать, что совпадают производные
левой и правой частей равенства. |
|
|
|||
f x |
g x |
dx |
f x g x –по свойству 1; |
|
|
f x dx |
g x dx |
f x dx |
g x dx |
f x g x . |
|
4. kf |
x dx |
k f x dx , где k=const–постоянный множитель можно |
вынести за знак неопределенного интеграла. Доказывается аналогично свойству 3.
Из свойств 1 и 2 следует, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями.
15
![](/html/2706/10/html_9JoN0sKkP7.GCRD/htmlconvd-kTe7Eq14x1.jpg)
2. Таблица основных неопределенных интегралов
1. |
dx |
x |
|
|
C; |
|
|
|
||||||||
2. |
|
xα dx |
|
|
|
|
|
xa 1 |
|
C, a |
1 ; |
|||||
|
|
|
|
|
a |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
|
dx |
ln |
|
x |
|
|
C; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
a x dx |
|
|
|
|
|
|
|
C; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
||||||
5. |
|
e x dx |
|
|
|
|
|
e x |
|
|
C; |
|
|
|||
6. |
sin xdx |
|
|
|
|
cos x |
C; |
|
||||||||
7. |
|
cos xdx |
|
|
|
sin x |
C; |
|
||||||||
8. |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
ctgx |
|
C; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
|
dx |
|
|
|
|
|
tgx |
C; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
cos 2 |
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. |
|
dx |
|
|
|
|
|
arctgx |
C; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 x 2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x |
|
|
C; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
x2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
arctg |
|
x |
|
C; |
||||||
a 2 |
|
x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||||
13. |
|
|
dx |
|
|
|
arcsin |
x |
|
|
C; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||||||||||
|
a2 x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
x2 |
|
a |
C; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
2 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15. |
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
ln |
|
x |
|
a |
|
C; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x2 |
a2 |
|
2a |
x |
|
a |
|
|||||||||||||||||
16. |
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
ln |
|
a |
|
x |
|
C; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a 2 |
x2 |
|
|
2a |
a |
|
x |
|
17.shxdx chx C;
18. chxdx shx C;
19. |
|
dx |
thx C; |
|
|
|
|||
ch 2 x |
||||
|
|
|
||
20. |
|
dx |
cthx C. |
|
|
|
|||
|
sh2 x |
|||
|
|
|
Справедливость этих формул проверяется непосредственно: дифференцированием убеждаемся, что правые части равенств являются первообразными для соответствующих подынтегральных функций.
Например, для формулы 3: при x>0 ln |
x |
|
|
ln x |
и |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ln |
x |
|
C |
ln x |
; |
|
|
|
|
|
||||
|
x |
1 |
|
1 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
при x<0 ln |
x |
ln x и |
ln |
x |
C |
ln |
|
x |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
16
![](/html/2706/10/html_9JoN0sKkP7.GCRD/htmlconvd-kTe7Eq15x1.jpg)
§2. Основные методы интегрирования
1.Метод разложения, или непосредственное интегрирование–
основан на применении свойств 3, 4 неопределенного интеграла. Пример 1.
|
|
|
3x6 |
|
x4 5x3 2x |
dx |
|
3x6 |
|
|
|
x4 |
|
5x3 |
|
|
|
|
|
2x |
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
x4 |
|
x4 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 x2 dx |
|
dx 5 |
|
dx |
|
2 x |
3 dx 3 |
x3 |
|
|
x 5ln |
|
x |
|
2 |
x 2 |
|
C |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
5ln |
x |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dx |
|
|
|
|
sin2 x |
|
cos2 |
x dx |
|
|
|
|
|
sin2 |
x |
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||
|
sin2 x cos2 |
x |
sin2 |
x |
cos2 x |
|
|
|
sin2 x |
cos2 |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos2 |
x |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
ctgx |
|
|
C |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
sin2 x |
cos2 x |
|
|
cos2 |
x |
|
sin2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2.Метод замены переменной–основан на использовании формулы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x dx |
f |
z |
|
|
z dz, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||||||
где z–новая |
переменная, |
связанная с |
x |
соотношением |
x |
(z) , |
z
непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную про-
изводную. Справедливость этой формулы следует из того, что равны дифференциалы ее левой и правой частей (проверьте).
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
z , тогда x |
3 |
z 2 , |
dx |
2zdz ]= |
||||||
x |
x |
3dx =[пусть |
x 3 |
||||||||||||||
|
|
|
z 5 |
|
z 3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 5 |
|
|
|
|
||||||
= z 2 |
3 |
z 2zdz 2 |
3 |
C = |
|
x |
2 |
x |
3 C . |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
На основании свойств дифференциала можно записать:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 |
d kx |
c , где k, c–константы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Покажем на примерах применение этого соотношения. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dx |
1 d 3x 5 |
|
1 |
|
dz |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
ln |
|
3x 5 |
|
C |
||||||||||||||||
3x 5 z |
|
|
|
ln |
z |
C |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3x 5 3 3x 5 |
|
|
|
3 z |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
e1 4xdx |
|
1 |
|
e1 4xd 1 4x |
1 4x z |
|
1 |
ezdz |
1 |
ez |
C |
||||||||||||||||||||||
4 |
|
4 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 1 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
e |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
![](/html/2706/10/html_9JoN0sKkP7.GCRD/htmlconvd-kTe7Eq16x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
z |
|
2 |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
2tgz |
C 2tg |
|
x |
C. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
2 x |
|
cos |
2 x |
|
2 |
|
|
cos 2 |
|
z |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d 5x |
|
|
|
|
|
5x |
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
1 |
arcsin |
z |
C |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 25x2 |
5 |
|
|
|
|
|
22 5x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
z 2 |
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
arcsin |
5x |
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Переобозначив переменные, формулу (1) можно записать в виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
x |
|
x dx |
|
|
|
|
f |
|
z dz, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
x |
z |
|
новая переменная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что |
|
x dx |
d |
|
|
x . Это преобразование называется под- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ведением под знак дифференциала. В частности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xn dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
d xn 1 , n |
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos xdx |
|
|
d sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dx |
|
|
|
|
d ln x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
d tgx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
e x dx |
|
|
|
d e x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d ctgx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a x dx |
|
|
|
1 |
|
|
d a x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
d arctgx |
|
|
|
|
|
d arcctgx ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
d arcsin x |
|
|
d arccos x ; |
||||||||||||||
|
sin xdx |
d cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
d cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tgxdx |
|
|
dx |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
z |
C |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
cos x |
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x4 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
z |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
e |
|
|
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
d x |
|
|
|
x |
|
|
|
z |
|
|
|
|
e |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
C |
|
|
e |
|
|
C. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
![](/html/2706/10/html_9JoN0sKkP7.GCRD/htmlconvd-kTe7Eq17x1.jpg)
Пример 3.
|
|
|
arctgx dx |
|
|
arctgx d arctgx |
arctgx |
|
z |
z 2 dz |
2 z 2 |
C |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
arctgx 2 |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ex dx |
|
d ex |
ex |
z |
|
dz |
|
arcsin z C |
|
arcsin ex C. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 e2 x |
1 ex 2 |
1 z 2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3.Метод интегрирования по частям. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Если u |
u x |
и v |
v x –функции, имеющие непрерывные произ- |
||||||||||||||||||
водные, то d uv |
vdu |
udv , |
тогда |
udv |
d uv |
vdu ; проинтегрировав |
это равенство и учитывая свойство 2 неопределенного интеграла, полу-
чим формулу интегрирования по частям:
udv uv vdu.
Иногда эту формулу приходится применять последовательно несколько раз.
Отметим три типа интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям.
P x ekxdx, |
P x sin kx dx, P x cos kx dx, |
где |
P x –многочлен, |
k const. В этих интегралах полагают u P x . |
|
|
|
P x ln xdx, |
P x arcsin xdx, P x arccos xdx, |
P x arctgxdx, |
P x arcctgxdx, где P x–многочлен. В этих интегралах за u при-
нимают функцию, являющуюся множителем при P x.
emx cos nxdx, emx sin nxdx, |
где m, |
n–числа. Эти интегралы вычис- |
|||||||
ляются двукратным интегрированием по частям. |
|
||||||||
Пример 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 1 ex dx |
u |
3x 1; |
|
du |
3dx |
|
3x 1 ex 3 ex dx |
||
dv e |
x |
dx; |
v |
x |
dx e |
x |
|||
|
|
e |
|
|
|||||
3x 1 ex 3ex |
|
C 3x 1 3 ex |
C 3x |
2 ex C. |
19
![](/html/2706/10/html_9JoN0sKkP7.GCRD/htmlconvd-kTe7Eq18x1.jpg)
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
ln x; |
|
|
|
|
du |
|
dx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4x3 |
2x |
|
1 ln xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
4x3 |
2x |
1 dx; |
v |
|
|
dv |
x4 |
|
x2 |
x |
||||
|
x4 |
x2 |
x ln x |
|
|
x4 |
|
x2 |
x |
dx x4 x2 |
x ln x |
x3 |
|
x 1 dx |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x4 |
x2 |
x ln x |
|
x4 |
|
|
x2 |
|
x C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ex sin xdx |
|
u |
ex ; |
|
|
|
du |
ex dx |
|
|
ex cos x |
|
ex cos xdx |
|||||||||||
dv |
|
sin xdx; |
v |
|
|
sin xdx |
cos x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u |
ex ; |
|
|
du |
ex dx |
|
|
ex |
cos x ex |
sin x |
ex sin xdx; |
|
||||||||||||
dv |
cos xdx; |
|
v |
cos xdx sin x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Таким |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
получили: |
||||||
ex sin xdx |
ex |
sin x |
cos x |
|
|
ex sin xdx; |
перенесем последнее слагае- |
|||||||||||||||||
мое в левую часть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
e x sin xdx |
e x |
sin x |
|
cos x |
|
C; e x sin xdx |
|
|
1 |
e x sin x |
cos x |
C. |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. Интегрирование рациональных дробей
|
|
|
|
|
|
|
Ρn |
x |
|
Рациональной |
дробью называется выражение вида |
|
|
, где |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Qm |
x |
|
Pn x , Qm x –многочлены степеней n и m соответственно. |
|
|
|||||||
Если n |
m , рациональная дробь называется правильной, в против- |
||||||||
ном случае |
n m –неправильной. |
|
|
||||||
Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, |
|||||||||
разделив числитель на знаменатель. |
|
|
|||||||
Например, |
x4 |
3x3 |
5x 1 |
–неправильная рациональная |
дробь. |
||||
|
x2 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполним деление:
20
![](/html/2706/10/html_9JoN0sKkP7.GCRD/htmlconvd-kTe7Eq19x1.jpg)
– |
x4 |
3x3 |
5x 1 |
|
x 2 |
3 |
x4 3x2 |
|
|
x2 |
3x 3 |
||
|
|
|
||||
– |
3x3 |
3x 2 |
5x 1 |
|
|
|
3x3 |
|
|
|
|
|
|
|
9x |
|
|
|
|
|
– |
3x 2 |
14x |
1 |
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
14x |
8 |
|
– |
остаток |
Таким образом, неправильную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной дроби:
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
3x3 |
|
|
5x 1 |
|
x2 |
|
3x 3 |
|
|
|
14x 8 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Простейшими рациональными дробями называются правильные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рациональные дроби следующих четырех типов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Α |
, |
|
|
|
|
Α |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
Bx C |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Βx C |
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
a |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
px |
q |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
px |
q |
k |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
где A, B, C, a, p, q–числа, |
k |
N, k |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дробь 1–го типа: |
|
|
3dx |
|
|
d x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3ln |
x 5 |
|
C. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
5 |
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Дробь 2–го типа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx |
|
|
1 |
|
2x |
3 |
4 |
d 2x |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
2x |
3 |
|
3 |
|
C |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
C. |
|||||||||||
|
2x 3 4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
6 2x 3 3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Дробь 3–го типа: |
|
|
|
|
3x |
1 |
|
|
|
dx |
=[выделим в знаменателе полный |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
квадрат и введем новую переменную: x2 |
4x+13= x 2 2+9 ; |
x 2 z, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x z |
2, |
|
3x 1 3 z |
|
|
2 |
1 |
3z 5, dx |
dz ]= |
|
3z |
|
5 dz |
=[разобьем |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z 2 |
|
9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых вычислим под-
ведением |
|
под |
|
|
|
знак |
|
|
дифференциала, |
|
второй–табличный]= |
|||||||||||||||||
3 |
|
zdz |
5 |
|
dz |
|
|
3 |
|
d z2 |
9 |
|
5 |
arctg |
z |
|
3 |
ln z2 |
9 |
5 |
arctg |
z |
C |
|||||
z2 9 |
|
z2 |
9 2 |
|
|
z2 |
9 |
3 |
3 |
|
2 |
3 |
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
ln x2 |
4x |
13 |
|
5 |
arctg |
x |
2 |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/2706/10/html_9JoN0sKkP7.GCRD/htmlconvd-kTe7Eq20x1.jpg)
Дроби 4–го типа интегрируются с помощью специальной рекуррентной формулы, которую мы рассматривать не будем.
Если правильная дробь не является простейшей, ее представляют в виде суммы простейших дробей.(См Гл.I, §2, 30)
Пример. |
dx |
|
. |
|
|
||
x2 4x 3 x2 |
|
||
|
4x 5 |
Подынтегральная функция–правильная рациональная дробь. Представим ее в виде суммы простейших дробей, учитывая, что x2 4x 3 x 1 x 3 .
1 |
|
|
A |
|
B |
|
Cx |
D |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x 3 x2 |
4x 5 x 1 x 3 |
|
x2 |
4x 5 |
|||||
|
|
приведем к общему знаменателю сумму дробей, стоящих в правой части:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 x |
3 x2 |
|
|
4x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
A x 3 x2 4x 5 B x 1 x2 |
4x 5 Cx D x 1 x 3 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 x |
3 x2 |
|
|
4x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
приравняем числители дробей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A x 3 x2 |
4x 5 B x 1 x2 |
|
4x 5 |
|
|
Cx D x 1 x 3 1; |
||||||||||||||||||||||||||||||
при x |
|
1 получим: |
20A |
1; A |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при x |
|
3 получим: |
52B |
1; B |
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приравняем коэффициенты при x 3 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
A B C 0; C |
A B |
|
1 1 |
|
|
8 |
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
20 |
|
|
|
|
52 |
|
|
260 |
|
65 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
приравняем свободные члены: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
15 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
15A 5B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 39 5 |
|
|
||||||||||||||||
|
15A 5B |
3D |
1; D |
20 |
|
52 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
52 3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
52 3 |
|
52 |
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22