Курс лекций по высшей математике. 2 часть

x

dt

x

1 n x2n

1 x2

x4 x6 ......

... dx или

0 1 x2

0

x3

x5

... ( 1)n

x 2n 1

arctgx

x

...

(9)

3

5

2n

1

Можно показать, что ряд (9)

имеет область сходимости

1;1 .

1

x2 dx

Пример 1. Вычислить

e

с точностью до 0,001.

0

Воспользуемся

полученным

разложением:

e x

2

x

2

x

4

x

6

1

... .

1!

2!

3!

1

x

2

1

x

2

x

4

x

6

Тогда:

e

dx

1

... dx

0

0

1!

2!

3!

x

x3

x5

x7

x9

x11

1

1 1

1

1

1

1

3

10

42

9

4!

11 5!

0

3

10

42

216

1320

1

3

8 10

2

3 10

2

3 1

2 (1 0,25) 3

. Используем биномиальный

8

8

ряд: x

0,25 ,

m

1

.

3

1

(

1

1)

1

(

1

1) (

1

2)

1

0,25

3

3

0,252

3

3

3

0,253

3 10

2

(1

3

2!

3!

1

1

1

1

2

1

3

3

3

3

3

0,254 ) 2

1

0,0833

0,0069 0,00096

4!

2

1

0,0833

0,0069

2,1528

2,153

e x

1

x

x 2

...

xn

R (x) , где R

( x)

x n

1

ec , c

0; x .

n

2!

n!

n

(n 1)!

При

x

0,1

получаем

знакоположительный

числовой

ряд;

c

0;0.1 . 0.1

0;0,5 , поэтому

0

c

0,1

0,5 и

ec

e0,5

2 .

Тогда

Rn (x)

x

n 1

ec

2

x

n 1

. Необходимо взять столько членов ряда,

(n

1)!

(n

1)!

2

x

n 1

чтобы

выполнялось

условие

или

Rn (x)

(n

1)!

0,001

x

n 1

0,0005 .

(n

1)!

При x

0,1 получаем:

e0,1

1

0,1

0,1 2

0,1

3

1

0,1

0,005

0,0002

1,1052

1,105 .

2!

3!

Так как 0,0002<0,0005, то достаточно взять четыре слагаемых.

Пример

4.

Проинтегрировать

дифференциальное

уравнение

y

y

x 2 ,

y(0)

2 методом последовательного дифференцирования.

y(x)

y 0

y 0

x

y 0

x 2 ...

y n

0

x n ... .

1!

2!

n!

y

y x 2 ,

y

y

2x , y

y 2 , y 4

y 5 , ... , y n

y 3

при n

4, 5, ... .

При

x

0

получаем:

y(0)

2 ,

y 0

2 ,

y (0)

2 ,

y n (0)

0 при n

3, 4, 5, ... . Окончательно получаем

y x

2

2x

x 2 .

функциями с периодом

2 являются sin x

и cos x . Легко показать,

что функции sin wx и cos wx имеют период

2

.

w

Вычислим несколько интегралов, которые нам понадобятся в даль-

нейшем.

k и n–натуральные числа

1

1

cosnxdx

cosnxdnx

sin nx

0.

n

n

1

1

sin nxdx

sin nxdnx

cosnx

0.

n

1

n

0, n

k

cos k x cos nk dx

cos(k n)x

cos(k

n)x dx

, n

k

2

sin k x sin nxdx

1

cos(k

n)x

cos(k

n)x dx

0, n

k

, n

k

2

sin k xcosnxdx

1

sin(k

n)x

sin(k

n)x dx 0.

2

a0

a1 cos x b1 sin x

a2 cos 2x

b2 sin 2x

2

(1)

a0

an cos nx

bn sin nx

an cos nx bn sin nx .

2

n 1

Этот ряд

называется

тригонометрическим

рядом, а числа

ряда.

Если ряд (1) сходится к функции f (x) , то функция

f (x)

являет-

ся периодической с периодом 2

. Поэтому будем рассматривать сумму

ряда f (x) в любом интервале длины 2 , например,

;

. Будем

считать, что функция f (x) есть сумма ряда (1):

f (x)

a0

an cos nx bn sin nx

(2)

2

n 1

f (x)dx

a0

dx

(a

cosnxdx b

sin nxdx) .

2

n

n

n 1

cos nxdx

0

и

sin nxdx

0 ,

поэтому

f (x)dx

a0

dx

a

, откуда

2

0

1

a0

f (x)dx .

(3)

Умножим обе части равенства (2) на coskx и проинтегрируем по-

лучено равенство от –

до .

f (x) cos kxdx

a0

cos kxdx

2

an

cos nx cos kxdx

bn sin nx cos kxdx

n 1

Учитывая,

что

cosk xdx

0,

sin nx cosk xdx 0,

cos nxcos k xdx

0, n

k

, n

k ,

получаем

f (x) cos k xdx

ak

.

Отсюда

ak

1

f (x) cos k xdx.

Переобозначая k на n , получаем

an

1

f (x) cos nxdx.

(4)

Аналогично, умножая обе части равенства (2) на sin kx и интегри-

руя от – до , получим

bn

1

f (x)sin nxdx.

(5)

Определение:

Тригонометрический

ряд

a0

an cosnx

bn sin nx , коэффициенты которого вычисляют-

2

n 1

функции f (x) , а числа a0 , an ,bn , n

1,2, , называются коэффици-

ентами Фурье.

Мы предполагали, что функция

f (x) является суммой тригоно-

a

1

x cosndx

1

x

1

sin nx

o

n

udv

uv

vdu

1

1

sin nxdx

1

sin n

n

n

u

x, dv cosnxdx

1

sin n

1

cosnx

du

dx,v

cosnxdx

n

n

2

1

sin nx

1

(cosn

cosn

) 0.

n

n2

b

1

xsin nxdx

1

x(

1

cosnx)

1

cosnxdx

n

n

n

u x, dv

sin nxdx, du

dx

2

cosn

1

sin nx

n

n2

v

sin nxdx

1

cosnx

2

n

n 1

2

n

(

1)

(

1)

.

n

n

Получаем f (x) ~

(

1)

n 1 2

sin nx .

n

n 1

Замечание: Нетрудно показать, что если функция

f (x) имеет пе-

риод 2

, то

2

f (x)dx

f (x)dx , где –любое число. Этот факт можно ис-

ций.

Если функции f (x)

и

(x)

одновременно обе чѐтные или обе

нечѐтные, то их произведение

f (x)

(x) являются чѐтной функцией.

Если одна из функций f (x) и

(x) чѐтная,