Курс лекций по высшей математике. 2 часть
.pdfТеорема 3: Ряды сходятся или сходятся одновременно |
|
|||||||
U1 |
U2 |
... Uk |
1 Uk |
Uk |
1 |
... |
Un ... |
(1) |
|
|
|
|
Uk |
1 |
... |
Un ... |
(5) |
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn U1 U2 .... Un , Sk |
U1 |
U2 .... |
Uk , |
n k |
Uk 1 Uk |
2 ... Un . |
||
Очевидно Sn |
Sk |
n k , где k–некоторое число, не зависящее от |
||||||
n. Пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S, то есть lim Sn |
S . Тогда |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
lim |
n |
k |
lim Sn |
Sk |
lim Sn |
lim Sk |
S |
Sk , |
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
это означает, что ряд (5) сходится, |
так как |
n |
k – |
n |
k –я частичная |
||||||||||
сумма ряда (5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пусть |
теперь |
ряд (5) |
сходится и |
имеет |
сумму |
, |
то |
есть |
||||||
lim |
n k |
. Тогда |
lim Sn |
lim Sk |
n |
k |
lim Sk |
lim n |
k |
Sk |
, |
||||
n |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
что означает сходимость ряда (1). Аналогично доказываются случаи рассходимости. Предоставляем сделать это самостоятельно.
Теорема 4: (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд
|
|
|
U1 |
U2 |
U3 |
... |
Un ... |
|
сходится, то |
lim Un |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: Пусть данный ряд имеет сумму S. |
||||||||
|
|
|
Sn |
U1 |
U2 |
U3 |
... Un , |
|
|
|
|
Sn 1 |
U1 |
U2 |
U3 |
... Un 1 |
|
Так |
как |
ряд |
сходится, |
то |
lim Sn |
S и lim Sn 1 S , тогда |
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
lim Un |
lim |
Sn Sn 1 S |
S |
0 , что и требовалось доказать. |
||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
Следствие: (Достаточный признак расходимости числового ряда.)
Если у числового ряда |
lim Un |
0 , то ряд расходится. |
|
|
n |
|
|
Действительно, если |
бы |
ряд |
сходился, то по теореме (4) |
lim Un 0 . |
|
|
|
n |
|
|
|
Замечание: Условие lim Un |
0 является необходимым, но не дос- |
||
n |
|
|
|
таточным для сходимости ряда. Это означает, что существуют расходя-
щиеся ряды, у которых lim Un 0 . В качестве примера рассмотрим ряд |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
1 |
1 |
|
... |
1 |
|
... . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
3 |
|
n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
83
|
Очевидно |
lim U n |
|
lim |
1 |
|
|
0 . |
Рассмотрим |
Sn |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
... |
1 |
|
|
. |
Так |
как |
1 |
|
|
|
1 |
|
, |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
, |
1 |
|
|
|
1 |
|
,..., |
1 |
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
то |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Sn |
|
+ |
|
+…+ |
|
или Sn |
|
n |
|
= |
|
|
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
то nесть lim Sn |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Следовательно lim Sn |
|
lim |
|
n , |
, что означает |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходимость рассматриваемого ряда.
3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов
Нахождение суммы ряда S lim Sn часто связано с большими тех-
n
ническими трудностями. В таких случаях сумму находят приближенно: S Sn . Последнее равенство тем точнее, чем больше n, при условии,
что ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов.
Будем сначала рассматривать числовые ряды с положительными
членами: |
Un |
0 , |
n=1,2,3, |
…. Для |
таких рядов частичные |
суммы |
||
S1 U1 , |
S2 |
U1 |
U2 , …, Sn |
U1 |
U2 |
... Un , … образуют |
возрас- |
|
тающую числовую последовательность |
|
|
||||||
|
|
|
S1 |
S2 |
S3 ... |
Sn .... |
|
|
Возможны два случая: |
|
|
|
|
|
|||
последовательность частичных сумм неограничена; в этом случае |
||||||||
lim Sn |
и ряд расходится; |
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
последовательность частичных сумм ограничена, то есть существу- |
||||||||
ет такое число C |
0 , что Sn |
C при n |
1,2,3,... .В этом случае сущест- |
вует конечный lim Sn , следовательно, ряд сходится. Таким образом для
n
доказательства того, что знакоположительный числовой ряд сходится, достаточно доказать ограниченность последовательности его частичных сумм.
Теорема: (признак сравнения)
Даны два знакоположительных числовых ряда
U1 |
U2 |
U3 |
... |
Un ... |
(1) |
V1 |
V2 |
V3 |
... |
Vn ... |
(2) |
84
причем Un |
Vn при всех n |
|
1,2,3,... . |
|
|
|
|
||
|
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1); |
|
|
||||||
|
2)если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2). |
|
|||||||
|
Доказательство: Обозначим n–е частичные суммы рядов (1) и (2): |
||||||||
Sn |
U1 |
U2 |
U3 ... Un , |
|
n V1 V2 V3 |
... |
Vn . . Пусть ряд (2) схо- |
||
дится. Это означает, что существует конечный |
lim |
n |
. По условию |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Un |
Vn , поэтому Sn |
n |
при всех n |
1,2,..., то есть последова- |
тельность { Sn } ограничена, следовательно, ряд (1) сходится. Пусть те-
перь |
ряд (1) расходится, |
то |
есть lim Sn |
. Тогда из |
неравенства |
|
|
|
|
|
n |
|
|
Sn |
n |
следует, что lim |
n |
, следовательно, ряд (2) расходится. |
||
|
|
n |
|
|
|
|
|
Замечания: |
|
|
|
|
|
|
В силу теоремы 3 признак сравнения справедлив и в случае, ес- |
|||||
ли |
Un |
Vn начиная с некоторого номера k, то есть при n |
k . |
Чтобы пользоваться признаком сравнения, нужно иметь для сравнения ряды, про которые заранее известно, сходятся они или расходятся. В качестве таких рядов можно использовать сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, а также обобщенные гармо-
нические ряды |
|
1 |
, где k–действительное число. Несколько позже |
||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
мы докажем, что при k |
1 такие ряды расходятся, а при k |
1 – сходят- |
|||||||||||||||||||||||
ся. При k |
1 получаем расходящийся ряд |
|
1 |
|
, который называется |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n 1 |
n |
||||||||||||||||||||||||
гармоническим рядом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример: Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
... |
1 |
|
|
1 |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ln 2 |
ln 3 |
ln n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Рассмотрим расходящийся ряд |
1 |
|
1 |
|
... |
1 |
|
... Он получен из |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
n |
1 |
|
||||||||
гармонического ряда отбрасыванием U1 |
|
|
1. Так как ln n 1 |
n 1 при |
|||||||||||||||||||||
любом n |
1,2,..., то |
1 |
1 |
, поэтому данный ряд расходится по |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ln n |
1 |
n 1 |
признаку сравнения.
Теорема: (предельный признак сравнения) Даны два знакоположительных числовых ряда
85
|
|
|
|
U1 |
U2 |
U3 ... |
Un ... |
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||
|
|
|
|
V1 |
V2 |
V3 ... |
|
Vn ... |
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||
Если существует конечный предел |
lim |
Un |
A |
0 , то ряды (1) и |
|||||||||||||||||
|
Vn |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(2) сходятся или расходятся одновременно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Доказательство: По условию теоремы существует |
lim |
Un |
|
A . Это |
|||||||||||||||||
Vn |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
означает, |
что для любого положительного числа |
существует такой |
|||||||||||||||||||
номер N, что для всех номеров n |
N выполняется условие |
|
Un |
A |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
Vn |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Последнее неравенство равносильно двойному неравенству |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
U n |
|
A |
или A |
|
U n |
A |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Vn |
|
Vn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
Vn |
Un |
A |
Vn |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
A (ведь неравенство (3) верно при любом |
|
0 и любом |
||||||||||||||||||
n 1,2,...). Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд |
|
A |
Vn по |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
теореме 1. Учитывая (3), по признаку сравнения сходится ряд (1).Если по условию ряд (1) сходится, то по признаку сравнения, учитывая (3),
сходится ряд A Vn , тогда по теореме 1 сходится ряд (2).
n 1
Аналогично доказывается, что из расходимости одного из рядов следует расходимость другого ряда. Рекомендуем эту часть доказать самостоятельно.
Замечание: Предельный признак сравнения рекомендуется применять в тех случаях, когда общий член ряда представляет собой отношение степенных функций. Для сравнения выбирается обобщенный гармонический ряд, общий член которого равен отношению старших степеней числителя и знаменателя общего члена данного ряда.
Пример: Исследовать на сходимость ряд
|
n2 |
2 |
. |
n 1 |
n3 |
n 1 |
|
|
|
|
86
Возьмем для сравнения ряд с общим членом |
V |
n2 |
1 |
то есть |
|
|
|
|
|||
|
n |
n3 |
|
n |
|
|
|
|
|
расходящийся гармонический ряд |
|
1 |
. |
U n |
n2 |
2 |
|
, применим |
|
n 1 |
n |
n3 |
n 1 |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
предельный признак сравнения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
n2 |
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
U n |
lim |
2 n |
lim |
2n |
lim |
|
|
n2 |
|
1 0 , следо- |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
Vn |
n n3 |
n 1 |
n n3 |
n 1 n |
1 |
1 |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
n3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вательно, данный ряд расходится по предельному признаку сравнения.
Теорема: (признак Даламбера) |
|
Пусть дан знакоположительный числовой ряд |
|
U1 U2 U3 ... Un ... |
(1) |
и пусть существует |
lim |
Un |
1 |
|
|
. При <1 ряд сходится, при >1 |
|||||||||||||||||
|
Un |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство: По условию существует |
lim |
Un |
1 |
|
. Это озна- |
||||||||||||||||||
Un |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чает, что для любого положительного числа |
существует такой номер |
||||||||||||||||||||||
N, что для всех номеров n |
|
N выполняется условие |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Un 1 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U n |
1 |
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть сначала |
1. |
|
Выберем |
|
так, что |
|
|
|
q |
1. Для всех |
|||||||||||||
n N имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U N 1 |
q , |
U N 2 |
q , |
|
U N |
3 |
|
q , … |
|
|
|
|
|
или |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
U N |
U N 1 |
|
U N |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
UN 1 |
UN |
q , U N 2 |
U N 1 q , |
U N 3 |
|
UN |
|
2 q ,… |
|
|
или |
||||||||||||
|
|
UN 1 |
UN q , U N |
2 |
|
U N |
q2 , U N 3 |
|
U N q3 |
(3) |
|||||||||||||
Рассмотрим ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UN 1 |
UN 2 |
|
U N |
|
3 ... |
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
U N |
|
q |
|
U N |
q2 |
U N q3 ... |
|
|
(5) |
Ряд (5) сходится, так это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Тогда ряд (4) сходится по признаку сравнения (следует из
87
(3)). Ряд (1) сходится по теореме 3. Пусть теперь >1. Выберем так,
что ρ ε |
|
1. Тогда из левой часть неравенства (2) следует, что при |
||
n N |
U n |
1 |
1 или Un 1 |
Un , то есть члены ряда возрастают с возрас- |
U n |
|
|||
|
|
|
|
|
танием номера n. Поэтому |
lim U n 0 , следовательно, ряд расходится |
|||
|
|
|
|
n |
по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана. Замечания.
Если расходимость ряда установлена с помощью признака Далам-
бера, то lim U n 0
n
При =1 признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда. В таких случаях нужно применять другие признаки сходимости.
Признак Даламбера рекомендуем применять при наличии в выражении общего члена ряда показательной функции или факториала.
Пример: Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Применим признак Даламбера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Un |
|
|
2n 1 |
, Un 1 |
|
2 n 1 1 |
|
|
2n 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
U n 1 |
|
|
2n 1 3n |
1 |
|
|
|
|
|
2n 1 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
lim |
|
lim |
|
|
lim |
|
n |
|
1, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
U n |
n 3n 1 2n 1 |
|
3 n |
|
|
|
2n 1 3 n |
2 |
1 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Теорема: (признак Коши) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть дан знакоположительный числовой ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
|
U2 |
|
|
... |
|
Un ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и пусть существует |
lim n U |
n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При |
<1 ряд сходится, при |
>1 ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Доказательство: По условию существует |
|
lim n U |
n |
|
|
|
. Это означа- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ет, что для любого положительного числа существует такой номер N, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
что для всех n N выполняется условие: |
|
n U |
n |
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
U |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть <1. Выберем |
таким, чтобы выполнялось |
|
|
|
+ =q<1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qn |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Тогда из (2) получаем |
n U |
n |
|
q |
или U |
n |
|
|
для всех n N. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
88
Рассмотрим ряды: |
|
|
||
|
|
U N |
U N 1 ... |
(3) |
|
|
q N |
q N 1 ... |
(4) |
Ряд (4) сходится, так как это бесконечно убывающая геометриче- |
||||
ская прогрессия; |
ряд (3) сходится по признаку сравнения U n |
q n , |
||
следовательно, по теореме (3) сходится ряд (1). |
|
|||
Пусть теперь |
>1. Выберем |
так, чтобы выполнялось условие: |
||
|
|
|
|
|
1.Тогда из (2) получаем n U n |
1 или Un>1, значит lim Un |
0 и |
||
|
|
|
n |
|
ряд (1) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.
Теорема: (интегральный признак Коши)
Пусть члены знакоположительного числового ряда
U1 |
U2 |
... Un ... |
|
(1) |
|
не возрастают: U1 U2 … Un … и пусть |
f x |
такая положительная, |
|||
непрерывная, невозрастающая на промежутке [1; |
) функция, что |
||||
f 1 U1 , f 2 U2 ,..., f n |
Un ,... Тогда ряд (1) сходится или рас- |
||||
ходится одновременно с несобственным интегралом |
х dx . |
||||
|
|
|
|
|
1 |
Доказательство: |
|
|
|
|
|
Построим график функции |
y |
f x |
на отрезке 1,n и построим |
||
прямоугольники с основаниями |
1,2 , 2,3 ,..., n 1;n |
и высотами U1, U2, |
… Un–1, а также с высотами U2, U3, … Un.
Sn=U1+U2+…+Un–1+Un, Sвпис=U2·1+U3·1+…+Un·1=U2+U3+…+Un=Sn–
U1, Sопис=U1+U2+…+Un–1=Sn–Un
89
|
|
|
|
|
|
n |
|
Площадь криволинейной трапеции S |
|
x dx Получаем |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Sn U1 |
x dx Sn |
Un . |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Sn |
U1 |
|
x dx |
(2) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Sn |
Un |
f |
x dx |
(3) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Пусть |
f |
x dx |
сходится. Это означает, что существует конечный |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
предел lim |
f |
x dx |
Y . Соотношение (2) |
принимает вид: Sn |
U1 Y |
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм Sn ряда (1) ограничена, следовательно, ряд (1) сходится.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
Пусть |
|
f |
x dx |
расходится. Это означает, |
что |
lim |
|
f ( x )dx |
и |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
тогда из (3) следует, что последовательность частичных сумм |
Sn |
ряда |
||||||||||||||||||||||||||||
(1) неограничена, следовательно, ряд (1) расходится. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Пример. Исследуем с помощью интегрального признака обобщен- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ный гармонический ряд |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
nk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
1 |
. При k |
|
1имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x |
k dx |
x |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
lim |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
,k |
1 . |
|||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
1 k |
|
k 1 |
|
||||||||||||||||||
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
x |
|
|
,k |
1 |
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При k=1 имеем |
|
ln x |
|
1 lim ln x |
ln1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при k>1 и расходится при k 1.
90
4. Знакопеременные ряды
Определение: Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.
Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными числовыми рядами, так как они получаются умножением знакоположительных числовых рядов
на (–1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Изучение знакопеременных рядов начнем с частного случая– |
|||||||||||||||||
знакочередующихся рядов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Определение: |
|
|
|
Числовой |
|
|
|
|
ряд |
вида |
|||||||
U |
U |
2 |
U |
U |
4 |
... |
|
1 n 1 |
U |
n |
... , где U |
n |
– |
модуль члена ряда, на- |
||||
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
зывается знакочередующимся числовым рядом. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Теорема: (признак Лейбница) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Если для знакочередующегося числового ряда |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
U |
U |
2 |
U |
U |
4 |
... |
1 n 1 |
|
U |
n |
... |
(1) |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
выполняются два условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Члены ряда убывают по модулю U1 |
U2 |
|
U3 …> Un |
… |
|||||||||||||
|
lim Un |
0 , то ряд (1) сходится, причем его сумма положительна и |
||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не превосходит первого члена ряда.
Доказательство: Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда
S2n U1 U2 U3 U4 U2n 1 U2n .
По условию U1>U2>…>U2n–1>U2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S2n возрастает с возрастанием n и S2n > 0 при любом n.
С другой стороны
S2n=U1–[(U2–U3)+(U4–U5)+…+(U2n–2–U2n–1)+U2n]
Выражение в квадратных скобках положительно и S2n>0, поэтому, S2n<U1 для любого n. Таким образом, последовательность частич-
ных сумм S2n возрастает и ограничена, следовательно, существует ко-
нечный lim S2n S |
. При этом 0<S U1, так как S2n<U1. |
|||
n |
|
|
|
|
Рассмотрим теперь частичную сумму нечетного числа членов ряда |
||||
|
|
S2n+1=S2n+U2n+1. |
|
|
Перейдѐм в последнем равенстве к пределу при n |
: |
|||
lim S2n 1 |
lim S2n |
lim U2n 1 S 0 |
S |
|
n |
|
n |
n |
|
Таким образом, |
частичные суммы как четного, |
так и нечетного |
числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому lim Sn S , то
n
есть данный ряд сходится. Теорема доказана.
91
Пример: Исследовать на сходимость ряд.
|
|
|
1 n 1 |
|
1 |
|
|
|
n |
1 |
n n |
1 2 |
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
Un |
1 |
|
Un 1 |
1 |
|||
|
|
|
|
||||
n n |
1 2 |
n 1 n 2 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Un |
|
lim |
1 |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n n n 1 2 |
|
|
|
|||||
|
Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд |
|||||||||||||||||||||
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Замечания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Теорема Лейбница справедлива и если условие Un>Un+1 выполняет- |
|||||||||||||||||||||
ся, начиная с некоторого номера N. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Вообще, условие Un>Un+1 не является необходимым. Ряд может |
|||||||||||||||||||||
сходиться, |
|
если |
|
оно |
|
|
не |
|
выполняется. |
Например, |
ряд |
|||||||||||
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
... |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
... сходится, как разность двух схо- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
22 |
33 |
|
42 |
|
|
2n 1 3 |
|
|
2n 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
дящихся рядов |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
, хотя условие |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n 1 |
2n 1 3 |
n 1 |
2n 2 |
|
|
Un>Un+1 не выполняется.
Теорема: (Достаточный признак сходимости знакопеременного ря-
да)
Пусть
|
|
|
U1 |
U 2 |
... |
|
U n |
... |
U n |
|
|
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||
знакопеременный ряд. Пусть сходится ряд, составленный из абсо- |
||||||||||||||||||
лютных величин его членов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
U1 |
|
U2 |
|
... |
|
Un |
|
... |
|
Un |
|
|
(3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
Тогда ряд (2) тоже сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказательство: Рассмотрим вспомогательный ряд |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
U1 |
U1 |
U2 |
|
U2 |
... |
Un |
|
Un |
... |
|
|
Un |
Un |
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
Очевидно 0 Un+|Un| |
2|Un| при всех n=1,2,3…. Ряд (3) сходится по |
|||||||||||||||||
условию, поэтому сходится ряд |
|
|
|
и по признаку сравнения схо- |
||||||||||||||
|
2 |
U n |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дится ряд (4). Ряд (2) представляет собой разность двух сходящихся рядов (3) и (4), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.
92