Курс лекций по высшей математике. 1 часть

ГЛАВА I.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

§1. Определители

1.1.Определители второго порядка

Определение. Выражение

тель 2-го порядка имеет две строки и два столбца. Индексы, стоящие внизу соответствующего элемента, означают номер строки и номер столбца определителя, на пересечении которых стоит указанный элемент. Например, элемент a12 стоит в первой строке и втором столбце

определителя.

Элементы a11 , a22 называют элементами главной диагонали опре-

делителя, а другие два элемента – соответственно элементами побочной диагонали.

Пример 1. Вычислим определитель

1.2. Определители 3-го порядка

Определение. Выражение

называется определителем 3-го порядка. Пример 2. Вычислить определитель:

Решение. По определению получим:

3

Если в формуле (1.1) раскрыть определители 2-го порядка и собрать слагаемые с одинаковыми знаками, то имеем:

Элементы со знаком плюс и со знаком минус выбираются из определителя, как показано на рисунке:

Этот способ вычисления определителя 3-го порядка называется

правилом треугольника.

Пример 3. Вычислить определитель:

2 0 1 6 3 4 по правилу треугольника.

5 2 1

Решение. Перемножим элементы главной диагонали определителя, затем – элементы, лежащие на параллелях к этой диагонали, и элементы из противоположного угла определителя согласно правилу треугольника. Элементы, входящие в формулу (1.2) со знаком минус строим аналогично, но относительно побочной диагонали.

2 3( 1) 6 2 ( 1) 0 4 ( 5) ( 5) 3( 1) 2 4 2 6 0 ( 1) 6 12 15 16 49.

Замечание. Если применить правило треугольника к определителю треугольного вида

a11 a12 a13 0 a22 a23 ,

0 0 a33

то этот определитель будет равен произведению элементов главной диагонали, то есть a11 a22 a33 .

Определение. Минором элемента определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

4

Минор элемента a ij , стоящего на пересечении i-й строки и j-го

столбца определителя, обозначают Мij. Например, для определителя

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с четной суммой номеров, и со знаком минус, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с нечетной суммой номеров.

Алгебраическое дополнение элемента aij обозначают Aij . Согласно определению:

Например, алгебраическое дополнение элемента a23 0 определителя (1.3) равно минору этого элемента, взятому со знаком минус:

Из определения определителя 3-го порядка вытекает, что

a11 A11 a12 A12 a13 A13 .

Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда определителя на их алгебраические дополнения (под рядом понимается строка или столбец).

Таким образом, имеет место шесть разложений:

5

Можно доказать, что сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.

Пример 4. Вычислить определитель

1 2 3 2 1 2 ,

3 2 1

разлагая его по элементам второй строки. Решение. Согласно теореме разложения имеем:

1.3. Свойства определителей

Формулируя свойства, мы не будем указывать порядок определителя, так как эти свойства справедливы для определителей любого порядка, но доказательства свойств проведѐм для определителей 3-го порядка.

1.Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами, то есть

Действительно, разложим определитель слева по элементам первой строки, а определитель справа по элементам первого столбца. Тогда в обоих случаях согласно теореме разложения получим a11 A11 a12 A12 a13 A13 , что и доказывает неизменность определителя.

Замечание. Определитель в правой части формулы (1.5) называют транспонированным по отношению к определителю в левой части этой формулы.

2.Если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак.

Пусть в определителе

6

например, переставлены первая и вторая строки. Тогда получим определитель

Так как знаки миноров элементов второй строки противоположны зна-

Следствие. Если две строки (столбца) определителя равны, то определитель равен нулю.

В самом деле, если в определителе

a11 a12 a13 a11 a12 a13 .

a31 a32 a33

переставить первую и вторую строки с одинаковыми элементами, то с одной стороны определитель не изменится, а с другой стороны – он поменяет знак, то есть , откуда 0 .

3.Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя.

Пусть дан определитель

Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю.

7

Следствие 2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.

Пусть, например, элементы первой и второй строк определителя пропорциональны. Тогда имеем

4.Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.

Допустим, что элементы первой строки определителя являются суммами двух слагаемых. Тогда имеем:

так как в первых скобках записано разложение по первой строке определителя с элементами a11 , a12 , a13 , а во вторых – разложение опреде-

лителя с элементами b11 , b12 , b13 .

5.Величина определителя не изменится, если к элементам какоголибо ряда определителя прибавить или отнять элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число, то есть составить линейную комбинацию строк или столбцов.

Для доказательства этого рассмотрим определитель

a11 a12 a13 a21 a22 a23 .

a31 a32 a33

Составим определитель, полученный из данного прибавлением к элементам его первой строки элементов второй строки, умноженных на число K.

8

стоящего в скобках, первая и последняя строки равны, а у второго – вторая и последняя строки пропорциональны.

Пример 6. Решить уравнение

x x 1 x 2

x 3 x 4 x 5 0 . x 6 x 7 x 8

Решение. Снова преобразуем определитель, используя свойство 4.

9

Равенство нулю исходного определителя справедливо при любых значениях x, так как у первого определителя две строки равны, а у второгопропорциональны.

Таким образом, x ( , ) .

1.4.Определители 4-го порядка. Методы их вычисления

Определение. Выражение

называется определителем 4-го порядка. Этот определитель можно за-

гебраическое дополнение.

Формулу (1.6) можно записать короче с помощью значка суммиро-

10

Формула (1.7) называется разложением определителя по i-й строке. Можно записать и разложение определителя по j-му столбцу:

4

i 1

Ясно, что формулы (1.7) и (1.8) значительно упрощаются, если все элементы строки или столбца за исключением одного равны нулю.

Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов определителя в нуль с помощью свойств определителей.

Пример 7. Вычислить определитель

2 3 3 4

Решение. Умножая первую строку на –1, прибавим еѐ ко второй и четвѐртой строкам определителя. Имеем

2 3 3 4

0 2 2 2 .

6 2 1 0

0 0 3 9

Далее умножим первую строку на –3 и сложим еѐ с третьей стро-

кой:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца и преобразуем его:

Далее опять обращаем в нуль все элементы первого столбца, кроме одного, для чего умножим первую строку на –7 и прибавим ко второй строке, чтобы на месте элемента –7 получить нуль, а затем вычислим определитель второго порядка:

11

Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании данного определителя, когда все элементы его, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю.

Пример 8. Вычислить определитель

Решение. Вычтем первую строку определителя из остальных его строк. Тогда получим

Этот определитель равен произведению элементов главной диагонали. Таким образом, имеем 8 .

Замечание. Всѐ рассмотренное выше можно обобщить для определителей n-го порядка.

§2. Матрицы

2.1.Операции над матрицами

Определение. Матрицей размера m n называется прямоугольная

am1 am2 amn

состоящая из m строк и n столбцов.

Матрица размера m m называется квадратной.

12