Курс лекций по высшей математике. 1 часть

cos

a x

,

cos

a y

,

cos

az

.

(2.5)

a

a

a

Легко показать, что

1)

cos2

cos2

cos2

1 ;

2)

координаты любого единичного вектора совпадают с его на-

правляющими косинусами:

0

) .

a

(cos , cos

, cos

Говорят, что точка M делит отрезок M1M 2 в отношении

0 ,

если

M 1 M

, или M1 M

MM 2 (рис. 13).

MM 2

Рис. 13

Пусть координаты

точек

M1

и

M 2

известны:

M

1

(x

, y

, z ) ,

1

1

1

M 2 (x2 , y2 , z2) .

Найдем координаты точки M (x, y, z) .

Очевидно,

что

M1M

MM 2

,

где

M1M ( x

x1 , y

y1 , z

z1 ) ,

( ( x2

x ),

( y2

y ), ( z2

z )) .

Приравнивая координаты век-

MM 2

торов, найдем:

x

x1

x2

,

y

y1

y2

, z

z1

z2

.

(2.6)

1

1

1

В частности, если M – середина отрезка M1M 2 , то

1 , тогда

x

x1 x2

,

y

y1

y2

, z

z1 z 2

.

(2.7)

2

2

2

Пример 4. Даны

вершины

треугольника

A(1; 3;

2) ,

B(4; 3; 2) ,

C( 2;

5; 0) . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт

вектора AB (рис. 14).

Решение.

AD

–

медиана, следовательно, D – середина

отрезка

BC,

ее

координаты

находятся

по

формулам

(2.7):

x

4

2

1 ,

y

3

5

1

, z

2

0

1 , то есть

D(1; 1;1) . Медианы

2

2

2

точкой пересечения K делятся в отношении 2:1, значит,

AK

2 ,

KD

тогда по формулам (2.6) найдем координаты точки K: x

1

2 1

1 ,

1

2

y

3

2

( 1)

1

, z

2

2 1

0

. Таким образом, точка пересечения

1

2

3

1

2

1

медиан –

K (1;

; 0) . Найдем координаты вектора

AB по формуле (2.3)

3

и его

длину

по

формуле

(2.2):

(3;0; 4) ;

AB

(4

-1;3

-3; 2 -(

- 2))

AB

32

02

42

5 . Координаты единичного вектора совпадают с

его

направляющими

косинусами.

По

формулам

(2.5) cos

3

,

5

0

4

0

(

3

4

)

cos

0 ,

cos

, следовательно,

AB

;0;

– орт вектора

5

5

5

5

5

2

3

BA

(5; 2; 3) , BC (10; 4; 6) ;

k 0 , следовательно,

10

4

6

BA

BC . Координаты вектора BC больше, значит, он длиннее и точ-

ка A лежит между B и C.

косинус угла между ними:

a b

a

b

cos

, где

(a, b) .

Учитывая, что

b

cos

пр

b ,

a

cos

прb a , можно записать:

a

a b

a

пр

b

b

прb a . Отсюда

a

a

b

.

(2.8)

пр a

b

b

Из физики известно: если

F –

постоянная сила, действующая на

материальную точку, а

l – вектор перемещения точки под действием

этой

силы, то работа,

совершаемая силой F на участке l, равна

A

F l .

Свойства скалярного произведения:

2)

(a b) ( a) b a ( b) ;

3) (a b) c a c b c ;

4)

a b

0

a

0 , или b

0 , или a

b .

Таким образом, a b

0 – условие перпендикулярности векторов.

2 ,

2

5)

a a

a

a

cos 0

a

или,

обозначая a a

a

(скалярный

2 , откуда

2

2 .

квадрат вектора

a

), получим

a

a

a

a

Пусть

известны

координаты

векторов

a и b :

a

( ax ,ay ,az ) ,

b (bx , by , bz ) .

Тогда a b

(ax i

a y

j

az k )

(bx i

by j

bz k )

[по свойствам 2, 3]

ax bx i 2

a y b y

2

ax b y i j

ax bz ik

a y b x ji

j

a y b z jk

az bx ki

az bz

2

az b y k j

k

по свойствам 4,5

ax bx

a y by az bz

Таким образом,

az bz .

(2.9)

a b

ax bx

a y b y